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1、二叉树,2,回顾,本次课程内容,树的定义及术语 二叉树的定义及基本概念 (重点)树与二叉树的存储结构 树与二叉树的遍历 （重点）,树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构定义定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中：有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root)当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree)特点：树中至少有一个结点根树中各子树是互不相交的集合,树的定义,根,子树,树的定义,基本术语结点(node)表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支结点的度(degree
2、)结点拥有的子树数叶子(leaf)度为0的结点孩子(child)结点子树的根称为该结点的孩子双亲(parents)孩子结点的上层结点叫该结点的兄弟(sibling)同一双亲的孩子树的度一棵树中最大的结点度数结点的层次(level)从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层深度(depth)树中结点的最大层次数森林(forest)m(m0)棵互不相交的树的集合,树的相关术语,结点A的度：3结点B的度：2结点M的度：0,叶子：K，L，F，G，M，I，J,结点A的孩子：B，C，D结点B的孩子：E，F,结点I的双亲：D结点L的双亲：E,结点B，C，D为兄弟结点K，L为兄弟,树的度：3,结点A的层次：1
3、结点M的层次：4,树的深度：4,结点F，G为堂兄弟结点A是结点F，G的祖先,树的相关术语,定义定义：二叉树是n(n0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成特点每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点)二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒基本形态,二叉树,性质1：,证明：用归纳法证明之 i=1时，只有一个根结点， 是对的 假设对所有j(1ji)命题成立，即第j层上至多有 个结点 那么，第i-1层至多有 个结点 又二叉树每个结点的度至多为2 第i层上最大结点数是第i-1层的2倍，即 故命题得证,性质2：深度为k的二叉
4、树至多有 个结点(k1),证明：由性质1，可得深度为k 的二叉树最大结点数是,二叉树性质,性质3：对任何一棵二叉树T，如果其终端结点数为n0，度为2的结点数为n2，则n0=n2+1,证明：n1为二叉树T中度为1的结点数 因为：二叉树中所有结点的度均小于或等于2 所以：其结点总数n=n0+n1+n2 又二叉树中，除根结点外，其余结点都只有一个 分支进入 设B为分支总数，则n=B+1 又：分支由度为1和度为2的结点射出，B=n1+2n2 于是，n=B+1=n1+2n2+1=n0+n1+n2 n0=n2+1,二叉树性质,满二叉树定义：,特点：每一层上的结点数都是最大结点数完全二叉树定义：深度为k，有
5、n个结点的二叉树当且仅当其每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时，称为特点叶子结点只可能在层次最大的两层上出现对任一结点，若其右分支下子孙的最大层次为l，则其左分支下子孙的最大层次必为l 或l+1性质性质4：,二叉树性质,二叉树性质,性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1in)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是i/2 (2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2in，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1n，则其右孩子是2i+1,二叉树性质,双亲表示法实现
6、：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域：数据域：存放结点本身信息双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置特点：找双亲容易，找孩子难,typedef struct node datatype data; int parent;JD;JD tM;,树的存储结构,0,1,2,2,3,5,5,5,1,0号单元不用或存结点个数,如何找孩子结点,树的存储结构,孩子表示法多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d,孩子链表：每个结点的孩子结点用单链表存储，再用含n个元素的结构数组指向每个孩子链表,孩子结点：ty
7、pedef struct node int child; /该结点在表头数组中下标 struct node *next; /指向下一孩子结点 JD;表头结点：typedef struct tnode datatype data; /数据域 struct node *fc; /指向第一个孩子结点 TD; TD tM; /t0不用,树的存储结构,如何找双亲结点,树的存储结构,带双亲的孩子链表,树的存储结构,孩子兄弟表示法（二叉树表示法）实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点特点操作容易破坏了树的层次,typedef struct node
8、 datatype data; struct node *fch, *nsib;JD;,树的存储结构,顺序存储结构实现：按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素特点：结点间关系蕴含在其存储位置中浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树,二叉树的存储结构,链式存储结构二叉链表,typedef struct node datatype data; struct node *lchild, *rchild;JD;,在n个结点的二叉链表中，有n+1个空指针域,二叉树的存储结构,三叉链表,typedef struct node datatype data; struct node *lchild
9、, *rchild, *parent;JD;,二叉树的存储结构,树的遍历遍历按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列常用方法先根（序）遍历：先访问树的根结点，然后依次先根遍历根的每棵子树后根（序）遍历：先依次后根遍历每棵子树，然后访问根结点按层次遍历：先访问第一层上的结点，然后依次遍历第二层，第n层的结点,树的遍历,先序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,A,B,E,F,I,G,C,D,H,J,K,L,N,O,M,E,I,F,G,B,C,J,K,N,O,L,M,H,D,A,A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M,
10、N,O,树的遍历,方法先序遍历：先访问根结点,然后分别先序遍历左子树、右子树中序遍历：先中序遍历左子树，然后访问根结点，最后中序遍历右子树后序遍历：先后序遍历左、右子树，然后访问根结点按层次遍历：从上到下、从左到右访问各结点,二叉树的遍历,D L R,先序遍历序列：A B D C,先序遍历:,二叉树的遍历,L D R,中序遍历序列：B D A C,中序遍历:,二叉树的遍历,L R D,后序遍历序列： D B C A,后序遍历:,二叉树的遍历,先序遍历：,中序遍历：,后序遍历：,层次遍历：,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,-,+,a,*,b,-,c,d,/,e,f,二叉树的遍历,总结,树的定义以及基本术语二叉树的定义及相关的5个特性 树4种存储结构与二叉树的3种存储结构 树与二叉树的前序,中序,后序,层次遍历,作业,已知一棵二叉树的先根序遍历序列为ABDGCEHF，中根序遍历序列为BGDAEH CF，试画出该二叉树。已知一棵二叉树的后根序遍历序列为GDEBHFCA，中根序遍历序列为DGBEAF HC，试画出该二叉树 。,预习,数据结构总结,32,
