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1、第二十四章 圆,1、圆有关的性质,2、点和圆、直线和圆的位置关系,3、正多边形和圆,4、弧长和扇形面积,大道教育：陶老师,圆有关的性质,1.什么是圆？,2.垂直圆的直径,3.弧、弦、圆心角,4、圆周角,什么是圆？,自主学习，独立思考1.学前准备：圆的基本要素是_和_，其中_确定了圆的位置， _确定了圆的大小.点A绕点B旋转一周，点A的运动轨迹其实就是一个圆，其中点_是圆心.2.自主探究：圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫做_.,圆心,半径,圆心,半径,B,圆,学习过程,3到定点O的距离等于定长r的所有的点组成的图形叫做_（这也是判断
2、点是否在圆上的方法）.圆的表示方法：以点O为圆心的圆，记作_，读作“_”.4圆中最长的弦长为12 cm，则该圆的半径为_.5如图，半径有_；弦有_；劣弧有_； 优弧有_.,圆,O,圆O,6 cm,OA， OB， OC,AB， AC，BC,学习过程,合作探究，共同提高6典例导学：矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.,分析：要证A，B，C，D四个点在O上，只需证OA=OB=OC=OD.,学习过程,启发点拨，能力提升7如图，一副斜边相等的直角三角板（DAC=45，BAC=30），按如图所示的方式在平面内拼成一个四边形A，B，C，D四点在同一
3、个圆上吗？请说明理由,解：在同一个圆上理由如下：取AC的中点O，连接OB， OD在RtABC中，点O是AC的中点，OB=OA=OC，同理OD=OA=OCOA=OB=OC=ODA， B， C， D四点在同一个圆上,垂直于弦的直径,2自主探究：(1）创设情境，探索垂径定理.如图，如果O的直径CD垂直于弦AB，垂足为M，那么这个图形还是轴对称图形吗？若把圆沿着直径CD折叠你会发现什么？垂径定理的几何语言叙述：CD是O的直径，AB是弦，CDAB，_.(2)垂径定理的推论.推论：平分弦（_）的直径垂直于弦，并 且_.,不是直径,平分弦所对的两条弧,学习过程,3如图，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为
4、E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DEBCDOE=BE4如图，O的直径为10，圆心O到弦AB 的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4B6C7D8,D,D,学习过程,5如图，已知O的直径为20 mm，弦AB=16 mm，则圆心O到AB的距离是（ ）A2 mmB4 mmC3 mmD6 mm6P为O内一点，OP=3 cm，O半径为5 cm，则经过点P的最短弦长为_，最长弦长为_,D,8 cm,10 cm,学习过程,合作探究，共同提高7.典例导学：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37
5、 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径.（结果保留小数点后一位）,启发点拨，能力提升8如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5 cm，弦DE=8 cm，求直尺的宽度,弧、弦、圆心角,自主学习，独立思考1.学前准备：完成以下各题.（1）定义：_叫做圆心角.（2）定理：在_中，相等的圆心角所对_的相等，所对的_也相等.（3）推论1：在_中，如果两条弧相等，那么它们所对_的相等，所对的_相等.,顶点在圆心的角,同圆或等圆,弧,弦,同圆或等圆,圆心角,弦,学习过程,（4）推论2：在_中，如果
6、两条弦相等，那么它们所对_的相等，所对的_相等.（5）定理及推论的综合运用：在同圆或等圆中，两个_、两条_、两条_中如果有一组量相等，则_也相等.,弧,同圆或等圆,圆心角,圆心角,弦,弧,其他两组量,学习过程,2如图，弦AD=BC，E是CD上任一点（C，D除外），则下列结论不一定成立的是（ ）A.B.AB=CDC.AE=EBD.3.如图，AB是O的直径，C，D是 上的 三等分点，AOE=60，则COE的度 数为（ ）A40B.60C.80D.120 4如图，AB是O的直径， ， A=25，则BOD=_.,C,C,50,学习过程,合作探究，共同提高5如图，在O中， ，ACB=60.求证:AOB=
7、BOC=AOC.,学习过程,启发点拨，能力提升6.如图，在O中， ，A=40，求C的度数.,圆周角,自主学习，独立思考1.学前准备：完成以下各题.（1）圆周角的定义：_，叫做圆周角.（2）定理：一条弧所对的_等于它所对的圆心角的_.（3）推论：_所对的圆周角相等； _（或直径）所对的圆周角是直角，_的圆周角所对的弦是直径.（4）圆内接多边形：圆内接四边形的对角_.,顶点在圆上，并且两边都,圆周角,一半,同弧或等弧,半圆,90,互补,与圆相交的角,学习过程,2.自主探究.尝试证明：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.,学习过程,3如图，点A，B，C在O上，若C=30，则AOB=_4如图，
8、O的直径AB与弦CD垂直，且BAC=40，则BOD=_5如图，在O中，已知OAB=22.5，则C的度数为（ ）A135B122.5C115.5D112.5,60,80,D,学习过程,合作探究，共同提高6.如图，O直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，ACB的平分线交O于点D，求BC，AD，BD的长.,学习过程,8.如图，已知O的半径为2，ACB=120，点C与点D分别是劣弧 与优弧 上的任一点（点C，D均不与A，B重合）.（1）求弦AB的长；（2）求ABD的最大面积.,E,F,2 点和圆、直线和圆的位置关系,1.点和圆的位置关系,2.直线和圆的位置关系,3.切线的判定和性质,4.切线的判定和
9、性质的运用,1、点和圆位置关系,自主学习，独立思考1.学前准备：（1）点和圆的位置关系：设O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：_ dr； _ d=r；_ dr.,点P在圆外,点P在圆上,点P在圆内,学习过程,（2）确定圆的条件：过一个已知点可以作_个圆.过两个已知点可以作_个圆，圆心在_上.过不在同一条直线上的三个点确定_个圆，圆心为_交点.（3）三角形的外接圆及三角形的外心：_叫做三角形的外接圆. _叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离_，这个三角形叫做_.,无数,无数,两点连线的中垂线,一,三点连接成三角形三条边的中垂线的,经过三角形三个顶点的圆,三角形外接圆的
10、圆心,相等,圆的内接三角形,学习过程,2经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？试画出圆.,学习过程,3已知O的半径为4，A为线段OP的中点，当OP=10时，点A与O的位置关系为（ ）A在圆上B在圆外C在圆内D不确定4在RtABC中，C=90，AB=5，AC=3，以点B为圆心，4为半径作B，则点A与B的位置关系是（ ）A点A在B上B.点A在B外C.点 A在B内D.无法确定,B,B,学习过程,5.以平面直角坐标系的原点O为圆心，5为半径作圆，点A的坐标为(-3，-4)，则点A与O的位置关系是（ ）A.点A在O上B.点A在O外C.点 A在O内D.无法确定6直
11、角三角形的外心在三角形的（ ）A.内部B.外部C.较长的直角边上D.最长的边上,A,D,学习过程,合作探究，共同提高7如图，在ABC中，ACB=90，AC=12，AB=13，CDAB于D，以C为圆心、5为半径作O，试判断A，B，D三点与C的位置关系.,学习过程,学习过程,启发点拨，能力提升8如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm，AD=4cm.（1）以点A为圆心，4 cm为半径作A，则点B，C，D与A的位置关系如何？（2）以点A为圆心作A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则A的半径r的取值范围是什么？,2、直线与圆的位置关系,自主学习，独立思考1.学前准备（1）直线和圆
12、的三种位置关系：如图A，直线和圆_公共点，那么就说直线和圆_.,无,相离,学习过程,如图B，直线和圆_公共点，那么就说直线和圆_ ，这条直线叫做圆的_ ，这个点叫做圆的_.如图C，直线和圆_公共点，那么就说直线和圆_ ，这条直线叫做圆的_.,只有一个,相切,切线,切点,有两个,相交,割线,学习过程,（2）直线和圆的三种位置关系的判定与性质：设O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有：dr_；d=r _ ；dr _.2当直线l和圆有唯一公共点时，直线l与圆的位置关系是_，圆心到直线l的距离d与圆的半径r之间的关系为_.,直线l与O相离,直线l与O相切,直线l与O相交,相切,d=r,学习过程,
13、合作探究，共同提高3已知AOC=30，点B在OA上，且OB=6，若以点B为圆心，r为半径的圆与直线OC相离，则r的取值范围是_.4O的半径为6，点O到直线l的距离为6.5，则直线l与O的位置关系是（ ）A相离B相切 C相交D无法确定5设O的半径为r，点O到直线l的距离为d，若直线l与O至少有一个公共点，则r与d之间的关系是（ ）AdrBd=rCdrDdr,0r3,A,D,学习过程,启发点拨，能力提升6如图，在RtABC中，C=90，AC=6 cm，BC=8 cm，以点C为圆心、r为半径画圆.（1）当r为何值时，C与直线AB相离？（2）当r为何值时，C与直线AB相切？（3）当r为何值时，C与直线
14、AB相交？,学习过程,3、切线的判定与性质,自主学习，独立思考1.学前准备：并完成以下各题.（1）切线的判定定理：经过半径的_并且_的直线是圆的切线.（2）判断一条直线是否为圆的切线，现已有三种方法：一是看直线与圆公共点的个数;二是看圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的关系;三是利用切线的判定定理.（3）切线的性质定理：圆的切线_的半径.,外端,垂直于这条半径,垂直于过切点,学习过程,2如图，ABC 为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与O相切于点D.求证:AC是O的切线,学习过程,3如图，在ABC中，AB=AC，点O在边AB上，O过点B且分别与边AB，BC相交于点D，E，EFAC，垂足为
15、F求证：直线EF是O的切线,证明：连接OEAB=AC，B=C又OB=OE，B=OEBC=OEBOEACEFAC，OEEF直线EF是O的切线,学习过程,合作探究，共同提高4如图，MAB=30，P为AB上的点，且AP=6，P与AM相切，则P的半径为_.5如图，两个同心圆的半径分别为3 cm和5 cm，弦AB与小圆相切于点C，则AB的长为（ ）A4 cmB5 cmC6 cmD8 cm,3,D,学习过程,启发点拨，能力提升7如图，在ABC中，AB=BC，以AB为直径的O与AC相交于点D，过点D 作DEBC，交AB的延长线于点E，垂足为F.求证：直线DE是O的切线.,证明：连接ODAB=BC，A=C又O
16、A=OD，A=ODAC=ODAODBCDEBC，DEOD直线DE是O的切线,掌握圆的切线长定理及其运用.,自主学习，独立思考1.学前准备：.(1)切线长定义：经过圆外一点的圆的切线上，这_，叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的_，这一点和圆心的连线_.(3)三角形的内切圆：与三角形各边_的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形_的交点，叫做三角形的_.,点和切点之间线段的长,切线长相等,平分两条切线的夹角,都相切,三条角平分线,内心,学习过程,2.已知ABC，求作O，使它与ABC的各边都相切.,学习过程,3.如图，PA，PB是O的切线，切点分别是A，
17、B，已知P=60，那么AOB的度数为（ ） A.60B.120C90D654.如图，点O是ABC的内切圆的圆心，若BAC=80，则BOC的度数为（ ） A.130B.100C50D65,B,A,学习过程,5如图，PA，PB是O的切线，A，B为切点，OAB=30，则APB=_.6如图，PA，PB分别切O于点A，B，若P=70，则C=_.,60,55,学习过程,合作探究，共同提高7.如图，ABC的内切圆O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9，BC=14，CA=13.求AF，BD，CE的长.,学习过程,启发点拨，能力提升8如图，RtABC的内切圆O与BC，AC，AB分别相切于点D，E
18、，F，且AB=5 cm，BC=3 cm，求CE的长.,总结：直角三角形内切圆的半径与三边的关系为_.,正多边形和圆,自主学习，独立思考1学前准备（1）正多边形的定义： _是正多边形.（2）正多边形和圆的关系：把一个圆分成相等的n段弧，顺次连接各分点就得到圆的内接正n边形，这个圆是这个正多边形的_.,各边相等、各角也相等,外接圆,的多边形,学习过程,（3）正多边形的有关概念：正多边形的中心是_；正多边形的半径是_；正多边形的中心角是_；正多边形的边心距是_.（4）在计算时常用的结论：正n边形中心角的度数等于_；正多边形的半径、边心距、边长的一半构成一个_三角形.,正多边形外接圆的圆心,正多边形外
19、接圆的半径,正多边形每一边所对的圆心角,正多边形的中心到正多边形 一边的距离,直角,学习过程,6 cm,3有一个正多边形的中心角是60，则其为_边形.4正六边形ABCDEF的边长为6 cm，则这个正六边形的半径R=_，边心距r6=_，面积S6=_.,正六,学习过程,5若同一个圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为r3，r4，r6则r3r4r6等于（ ）ABC123D3216正三角形内切圆的半径r与外接圆的半径R之间的关系为（ ）A4R=5rB3R=4rC2R=3r DR=2r,A,D,学习过程,合作探究，共同提高7.如图，有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面
20、积.（结果保留小数点后一位）,学习过程,启发点拨，能力提升8用尺规作图：作一个正六边形、一个正三角形、一个正方形.第二十四章 圆,4、弧长和扇形面积,1、弧长与扇形面积的计算公式,2、圆锥的侧面积和表面积,学习过程,自主学习，独立思考学前准备：1.圆的周长和面积:（1）圆的周长： _（写公式，下同）；（2）圆的面积：_.2.什么叫弧长? _.,C=2r,圆周上两点之间弧的长度,S=r2,学习过程,自主探究：探究一：n 的圆心角所对的弧长3设圆的半径为R：（1）圆的周长可以看作_ 的圆心角所对的弧长；（2）1 的圆心角所对的弧长是_； （3）2 的圆心角所对的弧长是_；（4）n 的圆心角所对的弧
21、长是_我们可得到：n 的圆心角所对的弧长为_.,360,学习过程,4120 的圆心角所对的弧长是12 cm，则此弧所在的圆的半径是_cm5若半径为6，圆心角为120，则此弧长是（ ）A3B4C5 D66在RtABC中，斜边AB=4，B= 60，将ABC绕点B按顺时针方向旋转60，顶点C运动的路线长是（ ）ABCD,18,B,B,学习过程,探究二：n 的圆心角所对的扇形面积7（1）扇形的定义：_叫做扇形；（2）圆的面积可以看作是_ 的圆心角所对的扇形的面积;（3）设圆的半径为R，1 的圆心角所对的扇形面积S扇形=_;（4）设圆的半径为R，2 的圆心角所对的扇形面积S扇形=_;,由组成圆心角的两条
22、半径,360,和圆心角所对的弧围成的图形,学习过程,（5）设圆的半径为R，n 的圆心角所对的扇形面积S扇形=_.我们可得到：n的圆心角所对的扇形面积为_.,学习过程,探究三：观察弧长公式与扇形面积公式的关系8已知扇形的圆心角为120，半径为6，则扇形的面积是_.9已知扇形的面积为12，半径为6，则它的圆心角等于_.10已知一段弧长等于12，半径为4，则这段弧组成的扇形面积为_.11钟面上的分针长为1，从9点到9点30分，分针在钟面上扫过的面积是（ ）ABCD,12,120,24,A,学习过程,合作探究，共同提高12.如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高0.3 m.求
23、截面上有水部分的面积.（结果保留小数点后两位）,分析：S=S扇形OAB-SOAB，求S扇形OAB的关键是求出圆心角.,学习过程,启发点拨，能力提升13如图，AB是O的直径，弦AC=2，ABC=30，求图中阴影部分的面积.,计算圆锥的侧面积与表面积.,自主学习，独立思考1.学前准备：弧长公式为_；扇形的面积公式为_2.自主探究：（1）圆锥的侧面积公式：_ 圆锥的全面积公式：_（2）一个圆锥的母线长为9，底面圆的半径为6，则这个圆锥的侧面积是（ ）A81B27C54D18,S侧=rl,S全=rl+r2,C,学习过程,（3）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，
24、高为 ，则这个圆锥的侧面积是（ ）A4B3C D2（4）已知RtABC的一条直角边AB=12 cm，另一条直角边BC=5 cm，则以AB边为轴旋转一周，所得到的圆锥的表面积是（ ）A.90 cm2B.209 cm2C.155 cm2D.65 cm2（5）用一圆心角为120、半径为6 cm的扇形做成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径是（ ）A1 cmB2 cmC3 cmD4 cm,B,B,A,学习过程,合作探究，共同提高3.如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为12 m2，高为3.2 m，外围高1.8 m的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡？ (取3.142，结果取整数),学习过程,启发点拨，能力提升4如图，从一个直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，求圆锥的底面圆半径,
