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1、2.3 无穷小量与无穷大量,一、 无穷小量的概念二、无穷小量的性质三、无穷小量的比较四、无穷大量,9/24/2022,2.3 无穷小量与无穷大量一、 无穷小量的概念9/24/2,1、定义,极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).,一、无穷小量的概念,9/24/2022,1、定义极限为零的变量称为无穷小量(简称无穷小).一、无穷小,注意:,这里指极限，包括数列极限和六种形式的 函数极限；无穷小量是相对某个极限过程而言；无穷小量是极限为零的变量，而不是绝对值很小的数；数0可视为无穷小量，但无穷小量不一定是0。,9/24/2022,注意:这里指极限，包括数列极限和六种形式的 函,例如,9/24/2
2、022,例如9/24/2022,2、函数极限与无穷小量之间的关系,9/24/2022,2、函数极限与无穷小量之间的关系9/24/2022,9/24/2022,9/24/2022,9/24/2022,9/24/2022,.,9/24/2022,.9/24/2022,二、无穷小量的性质,定理1 在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证,9/24/2022,二、无穷小量的性质 定理1 在自变量的同一变化过程中,有,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.,9/24/2022,注意无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.9/24/2022,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.,证
3、,9/24/2022,定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证9/24/202,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,都是无穷小,定理3 无穷小量除以极限不为零的变量，其商仍是无穷小.,9/24/2022,推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.,不可比.,观察各极限,三、无穷小的比较,9/24/2022,例如,极限不同, 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.不可比,1、定义:,9/24/2022,1、定义:9/24/2022,
4、定理(等价无穷小替换定理),证,2、等价无穷小代换,9/24/2022,定理(等价无穷小替换定理)证2、等价无穷小代换9/24/20,四、无穷大量 在自变量的变化过程中绝对值无限增大的变量称为无穷大.,9/24/2022,四、无穷大量 在自变量的变化过程中绝对值无限增大的变量称,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注:,无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,9/24/2022,特殊情形：正无穷大，负无穷大注:无穷大是变量,不能与很大的,不是无穷大,无界，,9/24/2022,不是无穷大无界，9/24/2022,定理4 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.,五、无穷小与无穷大的关系,9/24/2022,定理4 在同一自变量变化过程中,无穷大的倒数为无穷,
