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1、第3章 恒定磁场,31 恒定磁场的基本规律32 恒定磁场的边界条件33 矢量磁位34 标量的磁位35 电感36 磁场的能量和力37 恒定磁场的应用,31 恒定磁场的基本规律,311 磁感应强度B,1 毕奥萨伐尔定律 毕奥萨伐尔定律给出一个电流元产生的磁感应强度,一个线电流回路产生的磁感应强度场为,同理，可以写出体电流和面电流产生的磁感应强度场,本节简要地复习大学物理中已经学过的恒定磁场的基本规律。,源到场点的方向,2磁感应线方程,可以仿照电力线方程写出磁感应线方程，在直角坐标系中为,圆柱坐标系中的磁感应线方程为,球坐标中的磁感应线方程为,312 恒定磁场的基本方程,其中 是闭合回路l内包围的所
2、有电流（包括传导电流和磁化电流）。有电？介质时，恒定磁场的基本方程可以写为,恒定磁场的基本方程也是包括高斯定理和环路定理,其中 是闭合回路 l 内包围的所有传导电流。,下面来证明（3.10）式。为了简化，只讨论无界真空中的磁场。在直流回路L的磁场中任取一闭合曲面S，穿过S面的磁通量,上式的推导中利用了（1.101）式，利用矢量恒等式,（见附录3）可得,因为,，所以,由高斯定理可以写出（3.12）式的微分形式,为：,图3. 1中的P点（场点）是积分路径L上的一个点，电流回路C所包围的表面对场点P构成的立体角为。P点沿回路L位移dl 时，立体角改变d，这同保持P点不动，而回路C位移dl 时立体角的
3、改变是完全一样的。,下面我们来证明（3.11）式，在直流闭合回路C的磁场中任取一个闭合回路L，如图3. 1所示，由毕奥萨伐尔定律可以写出,图3. 1 证明安培环路定理示意图,即图中S与S之间的环形表面面元为 ，是图中阴影部分平行四边形的面积， 整个环形的面积为dS对P点的立体角为,不变但立体角发生了变化。表面的增量为,图 3-10 环路定律,从图3. 1中可以看出，如果回路C位移dl，则回路包围的表面由S变为S，面积,S、S、dS构成的闭合曲面对P点的立体角为零，即12d0，所以立体角的变化为,这就是P点位移dl 时立体角的改变量。P点沿着回路L移动一周时，立体角的变化为,面对O点的立体角是2
4、，与1等量异号，所以整个闭合曲面对O点所张的立体角,图3. 1 证明安培环路定理示意图,回顾：如果O点位于闭合曲面之外，如图2. 3（b）所示。从O点向闭合曲面作切线，所有的切点构成的曲线把闭合曲面分成两部分：S1面和S2面， S1面对O点的立体角是1，是负值；S2,张角最大,比较（3.14）式和（3.15）式可得,环积分的结果取决于，一般分为两种情况： 积分回路L不与电流回路C套链，如图3.1所示。可以看出，当从某点开始沿闭合回路L绕行一周并回到起始点时，立体角又回复到原来的值，即0，由（3.16）式, 若积分回路L与电流回路C相套链，即L穿过C所包围的面S，如图3. 2所示。如果取积分回路
5、的起点为S面上侧的A点，终点为在S面下侧的B点。由于面元对它上表面上的点所张的立体角为（一2），对下表面上的点所张的立体角为（2），所以S对A点的立体角为（一2），对B点的立体角为（2），2（2）4，由（3.16）式,图3.2 积分回路L与电流回路C相套链,S,1是负值,2是正值,O点位于闭合曲面外,图3.3 积分回路L包围的电流,因为L与C相套链，I也就是穿过回路L所包围平面S的电流，而且当电流与回路L成右螺旋关系时I为正，反之I为负。综合上述两种情况，可以用一个方程表示为,其中， 是L所包围的电流的代数和，在图3. 3中,积分与I3无关。必须说明的是:环积分与I3无关，而被积函数H（r）却
6、是三个电流回路产生的总磁场强度。,由斯托克斯定理，（3.18）式的微分形式可以写为,（3.13）式和（3.20）式给定了恒定磁场的散度和旋度，根据亥姆霍兹定理，恒定磁场的性质是完全确定的。,313 磁介质的磁化,常用公式,其中M是磁化强度矢量。,面磁化电流密度为,体磁化电流密度为,（3.23）、（3.24）适用于各向同性的线性介质，其中 是介质的磁化率。其中是介质的磁导率， 是真空磁导率， 是介质的相对磁导率。,根据r和m的取值可以把磁介质分为顺磁质、抗磁质（顺磁质和抗磁质统称为非铁磁质、非磁性物质）和铁磁质。 顺磁质的m0 （例如铝、锰、氧等），抗磁质的m 1（例如铁、钴、镍等），并且不是常
7、数，随磁场的强弱变化（从铁磁质的磁滞回线上可以看出）。,关于线性和非线性介质、各向同性和各向异性介质、均匀和非均匀介质的概念与2.1.6节中介绍的电介质中的相关概念类似。,铁磁物质的B与 H不成线性关系，且 B与H的函数关系随铁磁物质的结构而异，但我们仍然用式（3.23）式和（3.24）来表示，只是其中的不再是常数。在磁介质中还有一种各向异性的介质，其B和H不再是同方向的矢量，磁导率为张量。,例题3.1 证明（3.26）式,证明：研究磁介质可以用分子电流模型，任何物质的分子都是由原子组成的，原子中原子核带正电，电子带负电，以恒速绕原子核作圆周运动。分子中所有电子的运动可以等效为一个电流i，称为
8、分子电流，它相当于一个微小电流环可以等效为磁偶极子 。分子电流与其环绕的面积S的乘积称为分子磁矩pm（等效磁偶极矩），表达式为,其中i 和S、 pm的方向满足右手关系，如图3. 4所示。,图3.4 分子电流和分子磁矩,磁化强度矢量,没有外磁场时，由于介质内大量分子无规则的热运动，各分子磁矩的排列是杂乱无章的，这时介质没有被磁化。如图（a）所示。 在外磁场中，每个分子磁矩都受到一个力矩的作用，使其在一定程度上转向外磁场方向，介质被磁化，如图3. 5所示。外磁场越强，分子磁矩的排列越整齐，如图（b）所示。单位体积中分子磁矩的矢量和就越大，,（a) 磁偶极子随机排列的磁性物质；,图3.5 介质磁化,
9、(b) 外场B使磁偶极子有序排列；,先计算穿过介质内任一曲面S的磁化电流Im，曲面S的边界为C，如图3.6所示。可以看出，在所有的分子电流中，只有环绕边界C的分子电流对穿过S面的磁化电流有贡献。为了计算所有环绕边界C的分子电流，采用微积分的方法，先计算环绕边界C上任一线元dl的分子电流。,定义磁化强度矢量等于单位体积中分子磁矩的矢量和,图3. 6 （立体图） 穿过介质内S面的磁化电流,媒质内部磁偶极子的有序排列， 相当于沿媒质表面流动的电流,(c) 排列好的电流环等效于沿物质表面的电流,如图3-11(c)所示。 这些电流称为束缚电流， 它在媒质内部产生一个附加场。,dl,相交,图3. 6 穿过
10、介质内S面的磁化电流 图3. 7环绕线元dl的分子电流,以dl 为轴线作一个斜的圆柱面，底面S等于分子电流的面积，并与分子电流平行，长度为dl，如图3. 7所示。可以看出，只有中心在圆柱面内的分子电流环绕dl，而中心在圆柱面内的分子电流的数目，就是圆柱面内分子的数目。设介质的分子密度为N，分子电流为i，则环绕线元dl 的分子电流对磁化电流的贡献为,单位体积分子数,（立体图）,dl,由（3.30）式可以写出,所以,穿过S面的总的磁化电流为,上式左侧的磁化电流可以写成体磁化电流密度对S面的积分，右侧的线积分可以利用斯托克斯定理变换为面积分，可得,最后可得,斜圆柱体积,套在dl上的分子数,磁化强度矢
11、量等于单位体积中分子磁矩的矢量和,单位体积分子数,均匀磁介质内部的分子电流相互抵消，介质表面出现磁化电流，如图3. 8所示。作一个对比，金属导体中自由电子定向运动形成的电流称为传导电流；空间中带电粒子定向运动形成的电流称为运流电流。,图3. 8 磁介质表面的磁化电流,3.1.4 磁场的计算方法,1 利用毕奥萨伐尔定律计算磁场,根据毕奥萨伐尔定律，线电流产生的磁感应强度为,体电流、面电流产生的磁感应强度，可以写出类似的方程。利用毕奥萨伐尔定律计算磁场，有两类问题：直接利用毕萨定律积分,计算直线电流的磁场,例题3.2 计算长度为l的直线电流I的磁场。 解：采用圆柱坐标系，直线电流与z轴重合，直线电
12、流的中点位于坐标原点，如图3. 9所示。,r源点到场点P的距离，下面例题中应为R。,，源点的位置矢量 ， 到场点P的距离矢量为代入（3.32）式可得,显然磁场的分布具有轴对称性，可以只在等于某一常数的平面内计算磁场。从图3. 9中可以看出，直线电流上的任一电流元， 场点P的位置矢量,图3. 9 例3.2,R,积分见下页,一段直线电流的两端无限延长即得到无限长直线电流，即,利用（3.33）式可以求得无限长直线电流所产生的磁场为,例题3. 3 求半径为a的线电流圆环在其垂直轴线上的磁场。 解：采用圆柱坐标系，圆环轴线与z轴重合，圆环位于z=z平面内，如图3. 10所示。圆环上的任一电流元 ，场点P
13、的位置矢量 ，源点的位置矢量,Idl到场点P的距离矢量为,图3. 10 计算载流圆环轴线上的磁场,上式中,因此,圆环中心处的磁场（z=z ）为, 利用中的结论迭加 利用毕奥萨伐尔定律计算磁场的另一类问题需要利用(3.34)式或（3.35）式，再利用叠加原理计算。,例题3. 4 一条扁平的直导体带，宽为2a，中心线与轴z重合，流过电流I，证明在第一象限内,图3. 11 例题3. 3,无限长直线电流,线电流圆环,其中 ,如图3. 11所示。,解：利用微积分的方法求解，把导体带分割成许许多多条无限长载流直导线，第一象限内P点的磁场等于所有这些无限长载流直导线在P点产生的磁场的叠加。设分割出的任意一条
14、无限长载,流直导线的宽度为dx，其上的电流为 ,在P点产生的磁场为,x分量为,缺,缺负号,所以,，,代入（3.37）式可得,上式中含有三个变量,，作一个变量代换，由,同样需要作一个变量代换，由,代入（3.38）式可得,由图3. 11中可以看出,，,沿x方向。dB的y分量为,2 利用安培环路定理计算具有轴对称、面对称的问题，计算磁场可以利用安培环路定理，没有磁介质时安培环路定理的表达式为,有磁介质时安培环路定理的表达式为,等式右侧是对环路所包围的所有传导电流求和。,例题3. 5 长直导体圆柱中电流均匀分布，电流密度为J，其中有一平行的圆柱形空腔，如图3. 12所示。计算空腔内的磁场并证明空腔内的
15、磁场是均匀的。,解：设半径为b带有空腔的导体中的电流方向向外 ,可以看成是由半径为b的实心导体圆柱（电流方向向外 ）与半径为a的实心导体圆柱（电流方向为向里 ）的叠加。半径为b的实心导体圆柱单独存在时,由安培环路定理,图3. 12 例题3. 3,可以解出,用矢量可以表示为,半径为a的实心导体圆柱单独存在时，由安培环路定理可以解出,空腔内的磁场为,其中C是在如图3. 12所示的横截面内，由半径为b的实心导体圆柱的轴线指向半径为a的实心导体圆柱轴线的一个常矢量，所以空腔内的磁场是均匀的。,z,例题3. 6 铁质的无限长圆管中通有电流I，管的内、外半径分别是a和b。已知铁的磁导率是，求管壁中、管内、
16、外的磁感应强度B，并计算管壁中的体磁化电流密度Jm和面磁化电流密度Jms。 解：设圆柱坐标系的z轴与圆管的轴线重合，场是轴对称的。电流沿z轴方向流动，磁场只有分量，管壁中，由安培环路定理,所以,有磁介质时安培环路定理的表达式为：,圆管外，由安培环路定理,所以,圆管内，由安培环路定理,所以,管壁中（arb）的磁化强度为,管壁中的体磁化电流密度为,在ra、rb处的面磁化电流密度为,面磁化电流密度和体磁化电流密度:,3.1.5 磁路,由于磁力线形成闭合回路，因而可以将磁通和闭合电路中的电流相比拟。磁通在磁性材料中流动的闭合通路称为磁路（magnetic circuit）。在电路中电流完全在导线内流动
17、，在导线外部没有任何泄漏。磁性材料中的磁通不能完全被限定在给定的路径中，总有一些漏磁，但是如果磁性材料的磁导率比周围物质的磁导率大得多，绝大部分磁通将集中在磁性材料内，泄漏的磁通可以被忽略。磁路在分析、计算电机、变压器、电磁铁、继电器等器件的问题时有广泛的应用。,1 磁路的欧姆定律如图3. 13所示，一个铁芯磁环上绕有N匝线圈，通以电流I，由于铁芯的磁导率0，磁感应线主要在磁环内流通，在忽略环外漏磁的条件下，H沿磁环内的积分为,可以解出铁芯内的H和B分别为,铁芯内的磁通为,图3. 13 闭合磁路,但我们仍然用式（3.23）式和（3.24）来表示，只是其中的不再是常数。在磁介质中还有一种各向异性
18、的介质，其B和H不再是同方向的矢量，磁导率为张量。,铁磁物质的B与 H不成线性关系，且 B与H的函数关系随铁磁物质的结构而异，,其中r0是磁环的平均半径，当r0d 时，利用泰勒级数展开，取一级近似值，可得,所以,其中l=2r0 是磁环的周长，S=hd 是磁环的横截面积。若令NI=em （安匝数）为磁动势， 为磁阻，则,模仿电路的概念，（3.39）式称为磁路的欧姆定律。可以画出图3. 13的等效回路，如图3. 14所示。由于铁磁材料是非线性介质，磁导率是磁通密度的函数，所以由铁磁材料构成的磁路是非线性磁路。,图3. 14 闭合磁路的等效回路,2 有气隙的磁路 如果在磁环上开一个很小的切口，即磁路
19、上有一个很窄的空气隙时，如图3.15所示。我们可以近似地认为B线穿过空气隙时仍然均匀地分布在S=hd 的横截面上，即铁芯内的B和空气隙中的B相等。但是铁芯内、外的H不同，分别设为Hi 和Hg，利用安培环路定理可以得到,上式中的t是空气隙宽度（t2r0 ），由,代入上式可得,图3.15 有气隙的磁路,铁芯和空气隙中的磁感应强度为,上式左边分子和分母同乘以Shd 可得,因为,分别是铁芯部分和空气隙部分的磁阻,所以铁芯和空气隙组成了两个磁阻串联的磁路,等效回路如图3. 16所示，磁路中的磁通量为,s,图3. 16 有气隙磁路的等效回路,磁阻,铁芯和空气隙中的磁感应强度为,铁芯和空气隙中的磁场强度分别为,因为0，所以HgHi。,
