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1、2.7 一维谐振子,本节我们来讨论一维谐振子问题。,一维谐振子的哈密顿量为：,满足的定态定谔方程为：,2.7 一维谐振子,为方便求解，引入系数：,则方程可改写为：,这是一个变系数的二阶常微分方程，当 很大时， ，上式中的 可略去。从而，得到上式的渐进方程,2.7 一维谐振子,其解 就是原方程的解，又由于波函数在 时的有限性条件，得,在 有限时应该有限，在 时它的行为也必须保证波函数有限。,2.7 一维谐振子,为了求出在整个空间都合适的解，可以将系数 视为 的某一特定函数 ，假设方程的解为,代回薛定谔方程，得到待定系数 满足的方程,2.7 一维谐振子,其中：,对 作泰勒展开,可由,得,2.7 一
2、维谐振子,若 为无穷级数时， 在 时将趋向无穷大。为了在 时，波函数仍有限， 必须断为多项式。因为如果 是多项式，当,时，它趋于无穷的行为永远比 趋于零慢，从而保证了 在 是有限。,2.7 一维谐振子,此时，有,这是厄米方程，其解为厄米多项式。,由（2.7.2）可知方程(2.7.1)有解的条件为,2.7 一维谐振子,1.级数表示：,式中,厄米多项式有三种重要表示：,2.7 一维谐振子,3.微分表示：,2.积分表示：,2.7 一维谐振子,厄米多项式具有如下性质：,1.递推关系：,2.微分性质：,2.7 一维谐振子,3.正交归一性：,4.完备性：,式中的展开系数为：,2.7 一维谐振子,由式（2.
3、7.1）即可得能量本征值 为：,叫振动量子数。,相应的 为,2.7 一维谐振子,从而其波函数为：,式中归一化常数 为：,由（2.7.2）可见，一维谐振子的能量也是量子化的，并且能量间隔相等，为 。,一维谐振子基态能量： 叫零点能。,2.7 一维谐振子,1、按经典力学的结论，一维谐振子的能量如图,谐振子只能处于 的范围内， 的区域则是经典禁区。,经典与量子的比较,2.7 一维谐振子,而在量子力学中，由于隧道效应，粒子可以到达经典禁区，也就是说在所谓经典禁区内发现粒子的概率不为零。,2、按经典力学的规律，在 处振子的速度最大停留时间最短，在 处振子的速度为零停留时间最长。将这一规律应用于微观粒子，自然会得到在 处粒子出现的概率最小，而在 处粒子出现的概率最大。,而实际情况如何呢？,2.7 一维谐振子,由 时的波函数及概率密度的图：,2.7 一维谐振子,可以看出，在量子数 较小的时候，粒子位置的概率密度的分布与经典结论明显不同。,可以推断，随着量子数 的增大，概率密度的平均值将越来越接近经典结论。,
