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1、风子编辑,抽 屉 原 理,五年级,教育目标,认识抽屉模型，学会用抽屉模型解决问题,教育重点,掌握抽屉模型的构造方法：数的分组法、图形分割法、染色法及剩余类法,教育难点,分清楚什么是抽屉，什么是苹果。,掌握抽屉模型的构造方法：数的分组法、图形分割法、染色法等,抽屉模型在实际生活中的应用,概 念,定义：一般情况下，把n+1或多于n+1个苹果放到n个抽屉里，其中至少有一个抽屉里必定有至少两个苹果。,推理：把多于mn个苹果随意放进n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有m+1或以上个以上的苹果。,抽屉1,抽屉2,抽屉n,每个抽屉里有m个苹果,多余r个苹果，不足以每个抽屉再分配一个,把剩下的苹果，尽量的给每个
2、抽屉分配一个，则抽屉里有m或m+1个苹果。,苹果抽屉=rq 若q=1，则至少有（r+1）个苹果在同一个抽屉里 若q=x（1x(n-1)，则至少有(r+1)个苹果在同一个抽屉里 若q=0，则至少有r个苹果在同一个抽屉里,用公式来计算,将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是通常所说的极限思想、特殊值方法,利用最值原理,第一课 基础部分,例1、从1，2，3，100这100个数中任意挑出51个数来，证明在这51个数中，一定有：1）2个数互质；2）2个数的差为50；3）8个数，它们的最大公约数大于1.,【分析】1）我们知道，两个相邻的数互质，100个数按2个分成一组，则51个
3、数必定有2个数属于同一组。,所以，我们可以先把100个数分组为1，2，3，4，99，100。即51个苹果，按编号放入50个抽屉中，必定有一个抽屉有两个苹果。而这两个苹果的编号一定为连续的两个自然数。,2）还是对100个数进行分组，使这两个数的差为50。分组为1，51，2，52，50，100,如题1），同样道理，必定有两个苹果的编号的差为50。,3）我们要使8个数必定在最大公约数大于1的组中。我们知道100内有26个非合数，而剩下的合数，必定是2、3、5或7的倍数。所以可以按如下分类：,第一组：1和大于7的质数1，11，13，89，97共22个第二组：2的倍数2，4，6，98，100共50个第三
4、组：3的倍数3，6，9，96，99，共33个第四组：5的倍数5，10，15，95，100，共20个第五组：7的倍数7，14，21，91，98，共14个,51个苹果中先取出22个不符合要求的，剩下29个，294=71，即必定有8个苹果来自于第二到第五组。,例2、问在1，3，5，7，97，99这50个奇数中，最多能取出多少个数，使其中任何一个数都不是另一个数的倍数。,【分析】首先可以明确的是这50个数都是奇数，所以若要使一个是另一个的倍数，则至少是3倍关系。那么我们可以想想，哪些数肯定不是倍数关系呢？,因为 993=33，所以3599这些数必定没有倍数关系。现在我们要对小于等于33的这些数进行分类
5、，并找到与大于33的数的关系，并分类放在同一组。,1，3，9，27，81，5，15，45，7，21，63，11，33，99，13，39，17，51，19，57，23，69，25，75，29，87，31，93，共11组。,根据要求，上面11组中的数，每组只能选取1个，而每组都包含了一个超过33的数，所以最多能取出33个数。,例1、2用“数的分组法”来构造抽屉原理的。,例3、在一个边长为1的正方形内（含边界），任意给定9个点（其中没有三点共线），证明：在以这些点为顶点的各个三角形中，必有一个三角形，它的面积不大于1/8.,【分析】根据三角形面积变换所学的知识，我们知道下图中三角形面积是正方形面积的
6、一半.,而当A、C在不同边上时，如ACB面积小于正方形一半。,C,当A、B、C中的一点，或多点在正方形内时，面积则会更小。,所以，我们可以通过对正方形的分割，再考虑有三个点必定落在某一部分即可。,根据题目给定的数据，把边长为1的正方形分割为相同的四部分，如图,把四个小正方形看作为抽屉，9个点为苹果，因为94=21,所以必定有3个点落在同一个小正方形内。,显然，落在小正方形内的三个点构成的三角形的最大面积为1/8,这就是采用图形分割法来构造抽屉,例4、如图是一个3行10列共30个小正方形的长方形，现在把每个小方格涂上红色或黄色，请证明无论怎么涂法一定能找到两列，它们的涂色方式完全相同。,【分析】
7、我们先来思考下，总共有多少种涂色方法。即有多少个抽屉。,因为只有两种颜色，每列有三格，所以总共有23=8种涂法。我们把这8种涂法看作八个抽屉，10列看作为10个苹果。,因为108=12，所以，至少有2列，他们的涂色方法完全相同。,这就是用“染色法”来构建抽屉问题的方法,例5、一副扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？,【分析】首先，我们要了解一副牌的组成。,一副牌由2个大小王，4种花色，每个花色13张牌，同一花色的牌的点数不同，同一点数的牌的花色不同。,题目要求确保取到2张相同点数的牌。于是，我们把牌的不同点数看作抽屉，对每个抽屉可按牌的点数作编号，接着根据极
8、端条件，把13张不同点数的牌分别放在自己的抽屉。,现在，每个抽屉都是有牌的，只要我们再随便找出一张牌，必定有一个抽屉里有2张牌了。所以，最少要取13+1+2=16张牌,这是用“剩余类法”构造抽屉,例6、有一个大口袋，里面装着许多球，每个球上都写着一个数字，其中写0的有10个，写1的有11个，写2的有12个，写9的有19个。如果闭着眼睛从袋中取球，那么至少要取出多少个球，才能保证取出的球中必有4个球，上面所写的数字恰好组成2009.,【分析】首先，我们构建10个抽屉，每个抽屉编号为09,根据“剩余类法”（极限条件或者说最差手气法），先把不是0、2、9的全都放到抽屉里，这是抽屉里应该有11+13+
9、14+15+16+17+18=104个,因为手气很差，所以在凑齐2009前，总时摸到没用的球。写9的球要比2的多，写2的要比0的多。所以在摸出第2个0前，其它的球必须全摸完。,显然，至少要取出11+12+13+19+2=137个球。,第二课 提高部分,例1、放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球。有66名同学来仓库拿球，要求每人至少拿一个球，至多拿2个球。问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？,【题目解读】题目要求研究所拿球种类相同的同学数量，所以球的配组方式对应模型中的抽屉。那么球的配组方式总共有几种呢？,因为每人拿的球12个，且有三种球，所以总共有33=9种不同的可能。,因为 6
10、69=73，所以至少有7+1=8名同学所拿的球的种类完全一样。,例2、一副扑克牌，共有54张，问：至少从中摸出多少张牌才能保证至少有5张牌的花色相同；四种花色的牌都有；至少有3张牌是红桃。,【题目解读】首先要搞懂一副牌的组成：大小王各一张，四种花色，每种花色13张。,需要确保5张牌的花色相同，则四种花色看作4个抽屉，从最“坏”情况分析，先拿出2张王，4个抽屉再各放四张牌，最后再拿出一张牌放在任何抽屉即可。所以至少要摸出44+1+2=19张。,要四种花色的牌都有，则采用最“坏”情况，应先摸出2张王，再拿出3种花色的所有牌，合计313+2=41张，最后再拿出1张，就能保证四张花色的牌都有了。,这是
11、第的一种特例，只要先把2张王和除红桃外的其它牌拿出，再在剩下的牌中，随便拿出3张，就确保至少有3张牌是红桃。所以，至少需要拿出2+133+3=44张,例3、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起。如果让你闭上眼睛去摸，(1)你至少要摸出几根才敢保证至少有两根筷子是同色的？为什么？(2)至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子，为什么？,【题目解读】3种颜色的筷子各10根，可以把筷子的三种颜色定义为抽屉,1）要保证至少有两根筷子是同色的，则应该至少摸出的筷子为： （2-1）3+1=4根,2）这里要注意单位，两双即四根，根据抽屉模型，应该摸出： （4-1）3+1=10根,例4、夏令营组织2000名
12、营员活动，其中有爬山、参观博物馆和到海滩游玩三个项目。规定每人必须参加一项或两项活动。那么至少有几名营员参加的活动项目完全相同？,【题目解读】问的是参加活动项目完全相同的人数，所以可以把项目看作抽屉，把2000名营员先平均的放进去。那么有几个抽屉呢？,因为规定每人必须参加一项或两项活动，所以总共有3+3=6个抽屉,20006=3332,至少有一个抽屉中有333+1=334（件）物品，即至少有334名营员参加的活动项目是相同的。,例5、有120人从A、B、C三个候选人中投票选举一人评为三好学生，投票时每人只能投一次票，每票只能选一人，得票最多的人当选。统计票数的过程中发现，在前81张选票中，A得
13、21票，B得25票，C得35票。那么在剩余的选票中，C至少再得几张票才可保证一定当选？,【题目解读】对于投票问题，可以把三个候选人看作抽屉，120人每人选择一个抽屉。,本题还是一个“竞争性”问题，所以考虑不再给对C威胁小A投票。这样，实际上B、C合计有120-21=99票,C要确保能当选，则至少应该得到半数以上，即50票。所以在剩余的票中，C至少需要再得到50-35=15张。,例6、用红、蓝两种颜色把一个25（即2行5列）的长方形中的每个小方格都随意染一种颜色。证明：必有两列，他们的涂色方式完全相同。,【题目解读】这是一个染色问题。因为用两种颜色涂色，且只有两列，则只有如下四种染色的方法。,所
14、以，可以看作有4个抽屉。,因为 54=11，所以至少有两列，涂色方式完全相同,课 堂 练 习,1、从1，2，3，4，1988，1989这些自然数中，最多可以取多少个数，其中每两个数的差不等于4。,2、在一个边长为1的等边三角形内随意放置10个点。试说明：至少有两个点之间的距离不超过1/3.,3、给出一个3行9列共27个小方格的长方形，将每个小方格随意涂上白色或红色。求证：无论如何涂色，其中至少有两列涂色方式相同。,4、现有64个乒乓球，18个乒乓球盒，每个盒子最多可以放6个乒乓球，如果把这些球全部装入盒内，不许有空盒。那么，至少有多少个乒乓球盒里的乒乓球数目相同。,答案：996,答案：4,提示：将三角形每边三等分，可得到9个完全相同的边长为1/3的等边三角形。,知识点小结,
