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1、5.4 序贯二次规划（SQP）法,化工学院 * *,Company name,序贯二次规划（SQP）法,Company name,1. SQP法简介,SQP法(又称WHP算法）的基本思想是:在某个近似解xk处, 将原非线性规划问题(式(5-1)化成如下的规划问题:,目标函数是二次的,约束条件是二次的,1. SQP法简介,Company name,1.1 SQP法简介-只有等式约束,Company name,1. 1 SQP法简介-只有等式约束,这是一个n+l个方程和n+l个变量的非线性方程组。若有解存在,则可得到惟一解x*, 且满足原问题最优解的必要条件。,1. 1 SQP法简介-只有等式约束
2、,牛顿迭代求解,1. 1 SQP法简介-只有等式约束,SQP法求解,1. 1 SQP法简介-只有等式约束,SQP法求解,SQP法最优性必要条件为,牛顿迭代法,1. 2 SQP法简介非等式约束,Company name,上述思想推广到含有不等式约束非线性规划的一般情形也是正确的。然而,在WHP算法中, 并不直接取x作为新的近似点, 往往以x作为一个搜索方向,通过一维搜索求步长来确定下一个迭代点,即另外,在WHP算法中, 类似于无约束最优化方法中的变尺度法, 式(5-34)中的矩阵Qk不直接取广义Lagrange函数的二阶偏导数矩阵 。通常取Q0=I(单位矩阵),以后各次计算按一定的格式进行修正。
3、,1.3 SQP法计算步骤,Company name,1 将非线性规划问题转化为二次规划问题(式(5-34);,3 对该二次规划问题进行迭代求解;,2. 二次规划的求解,Company name,Lagrange乘子技术,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,原二次规
4、划问题可以通过解这m+n个线性方程组得到,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2（m+n)个变量和2（m+n)个方程，所以解是唯一的。,Q是正定矩阵，因此f(x)一定是一个严格的凸函数，而其可行域是一个凸集（因是线性函数），因而其局部最小也必定是全局最小。,此解必定是原二次规划的最优解,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,线性方程组的求解-线性规划单纯形二步法的第一步。惟一的约束限制是式(5-61)和式(5-62)必须随时满足。由于此处只是求方程组(5-55)到式(5-62)的一个可行解, 这一可行解必定是原二次规划的最优解,因此没有必要继续进
5、行第二步的计算。,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解-Lagrange乘子技术,Company name,2. 二次规划的求解例题,Company name,2. 二次规划的求解例题,Company name,2. 二次规划的求解例题,根据式(5-55 )到式( 5-62 ) ,该问题的必要条件为-4-1+2 x1-2x2+21+2 = 00- 2-2x1+4x2+1-42 = 02x1+x2-6 = -y1x1-4x2-0 = -y2x10, x20, y10, y20, 10 , 20, 10, 20和1
6、y1 = 0, 1 x1 = 0， 2y2 = 0, 2 x2 = 0,Company name,2. 二次规划的求解例题,这样,单纯形二步法的第一步模型为min F=z1 +z2s .t 2 x1-2x2+21-1+z1=4 -2x1+4x2+1-42-2+z2=0 2x1+x2+y1 =6 x1-4x2+y2 =0 x1 0, x2 0, y1 0, y20, 1 0, 20,1 0, 2 0, z1 0, z2 0和附加条件 1y1 =0, 1 x1 = 0， 2y2 =0, 2 x2 =0,Company name,列出初始单纯形表5-4。,2. 二次规划的求解例题,Company n
7、ame,换入变量,换出变量,主元素,3,2. 二次规划的求解例题,经过运算,得到单纯形表5-5。,Company name,换入变量,主元素,换出变量,2. 二次规划的求解例题,经过运算得单纯形表5-6。,Company name,换入变量,主元素,换出变量,经过运算得单纯形表5-7。,2. 二次规划的求解例题,Company name,通常的做法是要用一个函数作为一维搜索的依据, 这种函数称为效益Merit 函数,或称为下降(descent)函数。S.P.Han提出利用精确罚函数,如 作为效益函数,其中r（相当于精确罚函数中的M）0。根据精确罚函数的定义, 当r取得充分大时, 函数 (5-6
8、6)的局部最小与问题(式(5-1)是一致的。,Company name,3.一维搜索确定步长,步长的选取应使得精确罚函数(5-66)的值下降, 即这就可以用以前那种精确的一维搜索对罚函数 求极小来确定步长。,Company name,3.一维搜索确定步长,Company name,4.矩阵Qk的校正,Company name,4.矩阵Qk的校正,Company name,4.矩阵Qk的校正,Company name,5.化工中的应用实例,有一苯、甲苯闪蒸过程, 苯、甲苯混合物通过一单级绝热闪蒸器进行分离, 如图5-9所示。为提高苯的回收率,闪蒸器底部物流一部分作为产品, 另一部分作为循环流经泵
9、与新鲜料液混合后再次进入闪蒸器。试调整闪蒸压力p及分流系数s( =物流的流量/ 物流的流量),使气相产物苯的产量最大。,max,Company name,5.化工中的应用实例,已知进料状态见表5-8。且可认为混合物为一理想体系。,Company name,5.化工中的应用实例数学模型,Company name,5.化工中的应用实例数学模型,Company name,5.化工中的应用实例数学模型,Company name,5.化工中的应用实例数学模型,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解思想,上述原模型原则上可用序贯二次规划法求解。然而,由于化工生产的复杂性, 一般流
10、程优化问题的数学模型min(max) f(x)s .t . g(x) 0 (5-95) h(x) =0其规模相当庞大，常有数以万计的过程变量x和非线性很强的过程方程式h(x) =0以及技术要求不等式g(x)0, 从以上简单的闪蒸问题也可以看出这一点。,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解思想,Biegler 和Hughes 提出了一种将优化与序贯模块法模拟结合的方法。参与调优的变量或决策变量的数目相对来说是比较少的,一般只占23 , 剩下的变量大多只是模拟过程中的内部变量。 为此,可将目标函数及约束函数中的变量分为两部分, 一部分叫调优变量,仍记作x, 另一部分叫从
11、属变量,记作r, 即x=(x, r ),Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解思想,一部分由原模型中的目标函数、技术要求不等式约束g(x, r)0和切割方程(若有回路)C(x, r)0组成的调优模型,即min(max) f(x, r)s .t . g(x, r) 0 C(x, r) 0 (5-96)另一部分则由原模型中的过程方程式构成的过程模拟模型,仍记作: h(x, r) =0 (5-97),Company name,5.化工中的应用实例调优模型和过程模拟模型,(1) 调优模型考虑到数学上叙述的方便和与前面序贯二次规划的连贯性,我们不妨设:x1 切割变量,物流中苯流
12、量的估算值;x2 切割变量,物流中甲苯流量的估算值;x3 切割变量,物流焓值的估算值;x4 调优变量,闪蒸压力;x5 调优变量, x5 =F5/ F4 ,分流系数;x6 物流中苯流量的计算值( x6 =F2 C71 );x7 物流中甲苯流量的计算值( x7 =F7 C72 );x8 物流的焓值计算值( x8 =I7 )。选定闪蒸压力x4 和分流系数x5 为调优变量, 则以气相物流中苯的流量F3 C31为最大的并与式(5-96)相对应的调优模型为,Company name,5.化工中的应用实例调优模型和过程模拟模型,min f(x, r)s .t . g1 (x,r) = x4 - 1.00g2
13、 (x,r) =1.5 - x4 0g3 (x,r) = x5 - 0.20g4 (x,r) =0.8 - x5 0g5 (x,r) =100 - x1 0g6 (x,r) = x1 0g7 (x,r) =100 - x2 0g8 (x, r) = x2 0 (5-98)g9 (x, r) =10000.0 - x3 0g10 (x, r) = x3 0C1 (x, r) = x1 - x6 =0 C2 (x, r) = x2 - x7 =0 C3 (x, r) = x3 - x8 =0,物流苯流量的估算值=计算值物流中甲苯流量的估算值=计算值物流焓值的估算值=计算值,化工中的应用实例调优模型
14、和过程模拟模型,显然,模型(5-98)中只有x4 , x5 被选为调优变量, 但在以下具体计算过程中, 将切割变量x1 x3 也当作调优变量来处理, 这样调优变量x=(x1 , x3 , x2 , x4 ,x5 )T(请注意),而从属变量r=( x6 , x7 , x8 )T。,Company name,Company name,5.化工中的应用实例调优模型和过程模拟模型,(2) 过程模拟模型混合器模型为式(5-72)式(5-74)。闪蒸器模型,考虑到迭代求解的方便, 定义e=F3/ F2 (5-99)为汽化率,则对式(5-75)式(5-79)重新整理后得,5.化工中的应用实例调优模型和过程模
15、拟模型,其中Kj 由式(5-80)式(5-82)求得, 因此闪蒸器模型为式(5-80)式(5-82)和式(5-100)式(5-101)。,Company name,Company name,5.化工中的应用实例调优模型和过程模拟模型,泵的模型为式(5-88)式(5-90)。,Company name,5.化工中的应用实例调优模型和过程模拟模型,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,求解过程如下:,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,其中F1,F7=x1+x2,c1j,c7j=x1/(x1+x2)已知,Company name,5
16、.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,f(x,r)=F3c31g1 (x,r) = x4 - 1.0g2 (x,r) =1.5 - x4g3 (x,r) = x5 - 0.2g4 (x,r) =0.8 - x5g5 (x,r) =100 - x1g6 (x,r) = x1 g7 (x,r) =100 - x2 g8 (x, r) = x2 g9 (x, r) =10000.0 - x
17、3 g10 (x, r) = x3 C1 (x, r) = x1 - x6 C2 (x, r) = x2 - x7 C3 (x, r) = x3 - x8,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,Company name,5.化工中的应用实例不可行路径法的求解过程,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,常数项，可先略去,5.化工中的应用实例求解结果,第一次迭代:取初始点x0=(54.0,38.0,3628.0,1.01,0.51)T, 表5-9为模拟结果(略去量纲)。,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,5.化工中的应用实例求解结果,Company name,化工学院,Thank You !,
