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1、2.1平面曲线,内容：曲率、相对曲率、伏雷内标架、伏雷内公式等重点：曲率与相对曲率的计算,2.1 平面曲线-伏雷内标架,设平面曲线 C: r = r(s) 以弧长为参数，则其切向量 a (s) = r (s) 是一个单位向量， 即 a (s) a (s) = 1两边求导数得 a (s) a (s) = 0，所以 a (s) 垂直于 a (s)，这说明 a (s) 是曲线的法向量令 b = a / | a |，则对于每一个 s，r(s) ; a (s), b (s) 构成平面曲线 C 上的一个幺正标架，我们称之为曲线 C 上的伏雷内标架,由导数的定义我们可知 b 总是指向曲线弯曲的那一侧,C,a
2、(s),a(s+Ds),a(s+Ds),2.1 平面曲线- b 的指向,2.1 平面曲线-伏雷内公式,由 b 的定义有 a (s) = |a (s)| b (s)令 k(s) = |a (s)|，则有a (s) = k (s)b (s).我们把 k (s) 叫曲线 C 在 r(s) 处的曲率定理. （伏雷内公式）我们有 a = kb , b = ka .,以上伏雷内公式叫平面曲线的基本公式,2.1 平面曲线-曲率计算公式,平面曲线为直线的充分必要条件是其曲率为零,如果曲线方程为 y = y(x)，取 x 为参数，则曲线的参数表示为 r = (x, y(x)，其曲率为,定理. 设曲线 C: r(
3、t) = (x(t), y(t)，则其曲率为,2.1 平面曲线-例子,例. 求椭圆 (x2/a2) + (y2/b2) = 1 的曲率,解：椭圆可参数化为 r(t) = (a cost, b sint)，参数方程为 x = acost, y = bsint，所以有x = asint, x = acost,y = bcost, y = bsint.代入曲率公式得,练习题1求曲线 y = sinx 的曲率2求曲线 x = acos3t, y = asin3t 的曲率,2.1 平面曲线-标准伏雷内标架,前面我们定义了平面曲线上的伏雷内标架 r(s) ; a (s), b (s)但伏雷内标架不一定是平
4、面正标架（即它们关于平面上的标准基的分量的行列式不一定为正数）但我们总可以在曲线上选取一单位法向量 n(s)，使 r(s) ; a (s), n(s) 构成正标架，这个标架叫平面曲线的标准伏雷内标架,a,b,a,n,2.1 平面曲线-相对曲率与伏雷内公式,因 a / n，所以可令 a (s) = kr (s) n(s)我们称 kr 为曲线的相对曲率注意：相对曲率可正可负定理. 我们有下述形式的伏雷内公式：a = krn ,n = kra .,2.1 平面曲线-相对曲率计算公式,如果曲线由 y = y(x) 给出，则相对曲率为,kr = x y y x ；,特别地，当用自然参数时，相对曲率为,定理. 在一般参数下，相对曲率为,1求曲线 x = t2, y = t3 的相对曲率2求曲线 y = 2px2 的相对曲率,练习题,2.1 平面曲线-在一点附近的结构,设曲线 C: r = r(s)则当 k (s) 不为 0 时，曲线近似于抛物线当 k (s) = 0，但 k (s) 不为 0 时，曲线近似于一条近似立方抛物线（看证明）,
