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1、按位移求解空间问题（1）,按位移求解空间问题（2）,代入平衡微分方程,按位移求解空间问题（3）,得到按位移求解空间问题时需要的基本微分方程：,其中：,按位移求解空间轴对称问题（1）,同样方法，运用以下三组方程可以得到按位移求解空间轴对称问题时需要的基本微分方程：,按位移求解空间轴对称问题（1）,同样方法，运用以下三组方程可以得到按位移求解空间轴对称问题时需要的基本微分方程：,按位移求解空间轴对称问题（2）,同样方法，运用以下三组方程可以得到按位移求解空间轴对称问题时需要的基本微分方程：,半空间体受重力及均布压力（1）,设有半空间体，密度为，在水平边界上受均布压力q, 以边界面为xy面，z轴铅直
2、向下。试求解半空间体的位移以及应力分量。,a,b,c,F,o,应力状态（1）,x,z,y,px,py,pz,n,空间问题,平面问题,应力状态（2）,x,z,y,px,py,pz,n,注：如果已知空间中一点的六个应力分量，就可以得到任一斜面上的正应力以及切应力，因此可以说六个应力分量决定了一点的应力状态。,应力边界条件,x,z,y,n,若图示实线斜面是受有面力作用的边界面 ，则：,上式为空间问题的应力边界条件。,主应力（1）,若某一斜面上只有正应力 ，于是该面上的全应力在坐标上的投影成为：,于是：,又有：,因此可求解主应力大小及方向： 。,主应力（2）,若有非零解，则：,主应力的存在（3）,注：
3、该方程的三个解一定为实数，即总存在三个互相垂直的主应力。,主应力（4）,1）在受力物体内任意一点，一定存在三个互相垂直的应力主面以及对应的三个主应力。2）在受力物体内的任意一点，三个互相垂直的面上的正应力之和是不变量（不随坐标系变化），并且等于该点的三个主应力之和。3）三个主应力中最大的一个就是该点的最大正应力，最小的一个就是该点的最小正应力。4）最大与最小的切应力，在数值上等于最大主应力与最小主应力之差的一半，作用在通过中间主应力并且“平分最大主应力与最小主应力的夹角”的平面上。,几何方程及位移边界条件,采用与平面问题的几何方程一致的推导方法，可以得到：,位移边界条件：,体应变,单位体积的改
4、变称为体应变，用表示：,体应变与位移的关系：,物理方程（1）,：体积应力,体积模量,物理方程（2）,用应变表达应力：,空间问题小结,对于空间问题，一共有15个未知函数，它们是6个形变分量，6个应力分量，3个位移分量。而我们也有15个基本方程，它们是6个几何方程，6个物理方程，3个平衡方程。此外，求出的解还必须满足位移边界条件以及应力边界条件。,轴对称问题,在空间问题中，如果弹性体的几何形状，约束情况以及所受的外力作用都是对称于某一轴（通过这个轴的任一平面都是对称面），则所有的应力，形变以及位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。,在描述轴对称问题中的应力，形变及位移时，宜采用圆柱坐标，z。这样可以使得应力分量，应变分量，位移分量都是，z 的函数，不随 变化。另外，所有物理量必须对称过 z 轴的任何平面，凡不符合对称性的物理量为零。,x,z,y,P,C,A,B,轴对称问题的平衡方程与几何方程,x,z,y,P,C,A,B,轴对称问题的平衡方程与几何方程,x,z,y,P,C,A,B,其中：,体积应变：,体应力：,轴对称问题的平衡方程与几何方程,x,z,y,P,C,A,B,
