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1、第六章 弹性力学的边值问题及其性质,6.1 弹性力学边值问题,弹性力学 主讲 邹祖军 第六章 弹性力学的边值问题及其性质,2.2 关于边值条件的进一步说明,6.3 叠加原理,6.4 解的存在性和唯一性,6.5 位移解法,6.6 应力解法,6.7 圣维南原理,6.8 不均匀弹性体中应力和应变的间断和连续,第六章 弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题,一、平衡微分方程,二、几何方程,（6.1）,6.1 弹性力学边值问题,（6.2）,应变协调方程,第六章 弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题,三、本构方程,用应力表示应变的物理方程,（6.3b）,第六章 弹性力学的边值问题
2、及其性质6.1 弹性力学边值问题,用应变表示应力的物理方程,(6.3a),第六章 弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题,3个平衡方程,6个几何方程,6个物理方程.共15个方程,15个未知量即3个位移,6个应变分量,6个应力分量.,四、边界条件,（6.4）,应力边界条件,位移边界条件,第六章 弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题,在 上,在 上,（6.5）,第一类边值问题应力边值问题,第二类边值问题位移边值问题,第三类边值问题混合边值问题,求应力分量和位移分量,已知体力和面力,求应力分量和位移分量,已知体力和边界位移,求应力分量和位移分量,已知体力和部分面力和部分边界
3、位移,弹塑性力学问题就是偏微分方程组的边值问题.微分提法,第六章 弹性力学的边值问题及其性质6.1 弹性力学边值问题,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.2 关于边界条件的进一步说明,6.2 关于边界条件的进一步说明,设a是一个单位矢量。则边界上某一点在a方向的常见边界条件是下列三种条件之一：,A.已知a方向的位移为 ,即,（6.6）,B.已知a方向的面力为 ,即,（6.7）,C.a方向是弹性支撑,即,（6.8）,它表示a方向的面力和位移成正比且方向相反。其中k是已知表面S上的点的函数.,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.2 关于边界条件的进一步说明,在同一点的同一方向上只能已知一个
4、条件。,弹性体必须满足整体平衡条件。,只对边界条件(6.4)和(6.5)来讨论问题,6.3 叠加原理,(d),第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.3 叠加原理,(a),(b),(c),基本方程和边界条件是线性,叠加原理成立,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性,6.4 解的存在性和唯一性,A.解的存在性,弹性体在载荷作用和合理的约束下总有相应的位移场和应力场.实际的弹性力学问题总是有解的.如总体平衡条件不满足,边界上位移不连续,则弹性力学边值问题不一定存在.,B.解的唯一性,线性弹性力学解的唯一性定理:对弹性力学边值问题,应变场和应力场的解是唯一的,位移场的解可能
5、不唯一,不同的位移场间相差一个刚体位移,若位移边界条件足以确定刚体位移,则位移场的解也是唯一的.,(a),第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性,(b),(c),(d),设和(c)对应的应变能密度是W,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.4 解的存在性和唯一性,逆解法:预先选取一组位移或应力函数,由此确定其它的未知函数,然后验证是否满足基本方程和边界条件,如果满足,则根据解的唯一性定理,该组位移或应力函数以及由其确定的求知函数的解就是所求的解.,半逆解法:在所有的未知量中,根据问题特点或已有研究成果,预先假设一部分未知量为已知,然后利用基本方程和边界条件,确定其余的
6、未知量.,弹性力学空间问题有15基本方程，15个未知函数。实际上解边值问题用两种方法：位移解法和应力解法,位移解法（以位移作为基本未知函数，拉梅方程）,将几何方程代入应变表示应力的物理方程。得弹性方程,（a）,6.5 位移解法,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理 6.5 位移解法,展开,（b）,将式（a）代入平衡微分方程，整理后得：,（6.9a）,式（6.9a）是以位移表示的平衡微分方程，又称拉梅方程,式中：,拉普拉斯算子,体积应变,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法,（6.1）,因,（6.9b）,（6.9c）,在没有体力作用且不考虑固体运动时,体力为常量时,对式(6.9b
7、)取散度则,（6.12）,（6.11）,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法,所以体力为常量时，体积应力和体积应变均为调和函数,体力为常量时,对式(6.9b)两边作用Laplace算子,得,用位移表示的应力边界条件为：,因此体力为常量时，位移、应变和应力都是双调和函数。,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法,（6.13）,从几何关系和上式得,（6.14）,再用本构关系和上式，得,（6.15）,位移解法：在给定的边界条件下求解拉梅方程。求得位移分量.,由几何方程确定应变分量，再由物理方程求得应力分量,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.5 位移解法,把(a)代
8、入(6.5)，得,（6.10）,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法,将应力表示应变的物理方程代入应变协调方程中，并利用平衡微分方程加以简化和整理便得到,应力解法（应力为基本未知函数，贝脱拉密-米切尔方程）,6.6 应力解法,P固定,使,(3.34b),（a）,令,(a)与原来协调方程等价，将胡克定律(6.3b)代入上式得,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法,把平衡方程代入上式的第二项，得,（b）,令,，并求和,（c）,（6.16a）,把式(c)代回式(b)，得,或,（6.16b）,式(6.16)就是应力协调方程,又称贝脱拉密-米切尔方程。当体力为常数时，上式
9、又可简化为：,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法,应力解法：在给定的边界条件下求解平衡微分方程与应力协调 方程组成的偏微分方程组。求得应力分量.由物理方程,确定应变分量，再由几何方程求得位移分量。,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法,对单连通物体，以应力为未知量的应力边值问题可归结为,（6.17）,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.6 应力解法,在边值问题(6.17)中，有9个方程，6个未知函数，这似乎是矛盾的。,（6.18）,（6.19）,对式(6.16b)两边取散度,利用式(c)，上式简化成,是调和函数。调和函数有性质：若在边界上调和函数为零，则在
10、域内也处处为零。所以若在边界上平衡方程成立，则在域内也自动成立。因此边值问题(6.17)和下列边值问题等价。,问题的提出：,求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。,如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。,1. 静力等效的概念,两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。,这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。,6.7 圣维南原理,(Saint-Venant Principle),第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,原理：,若把物体的
11、一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,3.圣维南原理的应用,(1),对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。,(2),有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,4.圣维南原理的例外,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,存在裂缝,比作用面很小的尺寸,例:,图示矩形截面水坝
12、，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可由圣维南原理求解。,y方向力等效：,对O点的力矩等效：,x方向力等效：,注意：,必须按正向假设！,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,上端面：,（方法2）,取图示微元体，,可见，与前面结果相同。,由微元体的平衡求得，,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.7圣维南原理,6.8 不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理6.8不均匀弹性体中应力和应变的间断和连线,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理 本章小结,本章小结,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题,本章习题,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题,第六章 弹性力学的边值问题及一般原理 本章习题,
