弹性力学简明教程第四版 徐芝纶第六章ppt课件.ppt

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1、第六章 用有限元法解平面问题,第五节 单元的结点力列阵与劲度列阵,第四节 单元的应变列阵和应力列阵,第三节 单元的位移模式与解答的收敛性,第二节 有限单元法的概念,第一节 基本量及基本方程的矩阵表示,概述,第六节 荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,第六章 用有限元法解平面问题,例题,第十一节 应用变分原理导出有限单元法的基本方程,第十节 计算实例,第九节 计算成果的整理,第八节 解题的具体步骤 单元的划分,第七节 结构的整体分析结点平衡方程组,习题的提示与答案,教学参考资料,第六章 用有限单元法解 平面问题,概述1.有限元法(Finite Element Method，简称FEM) 是弹力的

2、一种近似解法。首先将连续体变换为离散化结构，然后再应用结力方法或变分法进行求解。,FEM,2. FEM的特点 （1）具有通用性和灵活性。,简史,3. FEM简史 FEM是上世纪中期才出现，并得到迅速发展和广泛应用的一种数值解法。 1943年柯朗第一次在论文中提出了FEM的 概念。,（2）对同一类问题，可以编制出通用程 序，应用计算机进行计算。（3）只要适当加密网格，就可以达到工程 要求的精度。,1956年，特纳等人提出了FEM。 20世纪50年代，平面问题的FEM建立，并应用于工程问题。 1960年提出了FEM的名称。 20世纪60年代后，FEM应用于各种力学问题和非线性问题，并得到迅速发展。

3、 1970年后，FEM被引入我国，并很快地得到应用和发展。,简史,导出方法,5. 本章介绍平面问题的FEM，仅叙述按位 移求解的方法。且一般都以平面应力问 题来表示。,4. FEM的两种主要导出方法: 应用结力方法导出。 应用变分法导出。,6-1 基本量和基本方程的 矩阵表示,采用矩阵表示,可使公式统一、简洁，且便于编制程序。 本章无特别指明，均表示为平面应力问题的公式。,面力位移函数应变应力结点位移列阵结点力列阵,基本物理量：,体力,基本物理量,物理方程 其中D为弹性矩阵，对于平面应力问题是,FEM中应用的方程：,几何方程,应用的方程,结点虚位移， 对应的虚应变。 在FEM中，用结点的平衡方

4、程代替平衡微分 方程，后者不再列出。,应用的方程,i,j,虚功方程,其中,以下来导出FEM。 1. 结构离散化将连续体变换为离散 化结构；,6-2 有限单元法的概念,FEM的概念，可以简述为：用方法求解弹力问题结力。即 1. 将连续体变换为离散化结构。 2.再应用结力方法进行求解。,FEM的概念,结力研究的对象是离散化结构。如桁架，各单元（杆件）之间除结点铰结外，没有其他联系（图（a）。,弹力研究的对象，是连续体（图（b）)。,结构离散化,图 6-2,将连续体变换为离散化结构（图（c）：即将连续体划分为有限多个、有限大小的单元，并使这些单元仅在一些结点处用绞连结起来，构成所谓离散化结构。,结构

5、离散化,与 相比，两者都是离散化结构；区别是，桁架的单元是杆件，而图（c）的单元是三角形块体（注意：三角形单元内部仍是连续体）。,结构离散化,例如：将深梁划分为许多三角形单元，这些单元仅在角点用铰连接起来。,图（c）,图（a）,2.应用结构力学方法(位移法)进行求解:,分析步骤如下：,结力法求解,仿照桁架的结力位移法，来求解图（c）的平面离散化结构。其中应注意，三角形单元内部仍是连续体，应按弹力方法进行分析。,（2) 应用插值公式, 由单元结点位 移 ，求单元的位移函数,（1）取各结点位移 为基 本未知量。然后对每个单元,分别求出各物理量,并均用 来表示。,结力法求解,这个插值公式称为单元的位

6、移模式，表示为,（5）应用虚功方程，由单元的应力 ，求出 单元的结点力，表示为,（4）应用物理方程，由单元的应变 ，求 出 单元的应力，表示为,（3）应用几何方程，由单元的位移函数d， 求出单元的应变，表示为,结力法求解,结点对单元的作用力，作用 于单元，称为结点力，以正标向为正。 单元对结点 的作用力，与 数 值相同,方向相反， 作用于结点。,结力法求解,（6）将每一单元中的各种外荷载，按虚功 等效原则移置到结点上，化为结点荷 载，表示为,结力法求解,各单位移置到i 结点上的结点荷载 其中 表示对围绕i 结点的单元求和；,结力法求解,(7) 对每一结点建立平衡方程。,各单元对i 结点的结点力

7、,作用于结点i上的力有：,为已知值, 是用结点位移表示的值。通过求解联立方程 ，得出各结点位移值，并从而求出各单元的应变和应力。,结力法求解,整体分析： 建立结点平衡方程组，求解各结点 的位移。,2.应用结构力学方法求解离散化结构, 对单元进行分析：求出 （1）单元的位移模式， （2）单元的应变和应力列阵， （3）单元的结点力列阵， （4）单元的结点荷载列阵。,1. 将连续体变换为离散化结构。,归纳起来，FEM分析的主要内容：,思考题1. 桁架的单元为杆件，而平面体的单元为三角形块体，在三角形内仍是作为连续体来分析的。试考虑后者在用结构力学方法求解时，将会遇到什么困难？2. 在平面问题中，是否

8、也可以考虑其它的单元形状，如四边形单元？,FEM是取结点位移 为基本未知数的。但其中每一个单元仍是连续体，所以按弹力公式求应变、应力时，必须首先解决：如何由单元的结点位移 来求出单元的位移函数 应用插值公式，可由 求出位移d。这个插值公式表示了单元中位移的分布形式，因此称为位移模式。,6-3 单元的位移模式与 解答的收敛性,位移模式,泰勒级数展开式中，低次幂项是最重要的。三角形单元的位移模式，可取为 插值公式 在结点 应等于结点位移值 由此可求出,三角形单元,其中 包含 将式 按未知数 归纳，可表示为 或用矩阵表示为,三角形单元,N 称为形（态）函数矩阵。,三角形单元,A为三角形 的面积（图示

9、坐标系中， 按逆时针编号），,其中,三角形单元,三结点三角形单元的位移模式，略去了二次以上的项，因而其误差量级是 且其中只包含了 的一次项，所以在单元中 的分布如图（a）所示， 的分布如图 所示。,三角形单元,(a),(b),(c),图 6-5,1,FEM中以后的一系列工作，都是以位移模式为基础的。 所以当单元趋于很小时，即 时，为了使FEM之解逼近于真解，即为了 保证FEM收敛性,位移模式应满足下列 条件：,收敛性条件,（1）位移模式必须能反映单元的刚体位移。 （2）位移模式必须能反映单元的常量应变。 因为当单元 时，单元中的位移和应 变都趋近于基本量刚体位移和常量 位移。,收敛性条件,收敛

10、性条件,可见刚体位移项在式（a）中均已反映。,与刚体位移相比，,将式（a）写成,（3）位移模式应尽可能反映位移的连续性。 即应尽可能反映原连续体的位移连续 性。 在三角形单元内部，位移为连续； 在两单元边界ij 上， 之间均为线 性变化，也为连续。,对式（a）求应变，得,收敛性条件,可见常量应变也已反映。,为了保证FEM的收敛性，（1）和（2）是必要条件，而加上（3）就为充分条件。,收敛性条件,思考题1. 应用泰勒级数公式来选取位移模式，为什么必须从低次项开始选取？2. 试考虑：将结构力学解法引入到求解连续体的问题时，位移模式的建立是一个关键性工作，它使得单元(连续体)内部的分析工作都有可能进

11、行了。,6-4 单元的应变列阵和应力列阵,位移函数,其中，,单元中的位移函数已用位移模式表示为,应用几何方程，求出单元的应变列阵 ：,应变,应变,S称为应力转换矩阵，写成分块形式为,再应用物理方程，求出单元的应力列阵：,B 称为应变矩阵，用分块矩阵表示，,对于线性位移模式，求导后得到的应变和应力，均成为常量，因此，称为常应变（应力）单元。应变和应力的误差量级是 其精度比位移低一阶，且相邻单元的应力是跳跃式的。,应力,思考题1.如果在位移模式中取到泰勒级数中的二次幂项，略去 高阶小量，试考虑位移、应变和应力的误差量级。,6-5 单元的结点力列阵与 劲度矩阵,现在来考虑其中一个单元：,模型,图 6

12、-7,在FEM中，首先将连续体变换为离散化结构的模型。,（2）单元与周围的单元在边界上已没有联 系，只在结点 互相联系。,（1）将作用于单元上的各种外荷载，按静 力等效原则移置到结点上去，化为等 效结点荷载。故单元内已没有外荷载。,假想将单元与结点i 切开，则,其数值与 相同，而方向相反。,结点力,以沿正坐标向为正。对单元而言，这是作 用于单元上的外力。 单元作用于结点的力，为,结点作用于单元上的力，称为结点力，,按虚功方程，在虚位移上，外力的虚功等于 应力的虚功。,结点力,而其内部有应力作用，,考察已与结点切开后的单元 ，则此单元上作用有外力结点力 ，,应用虚功方程，求单元的结点力：,假设发

13、生一组结点虚位移 则单元内任一点（x,y）的虚位移为单元内任一点（x,y）的虚应变为 代入虚功方程：在单元中，外力（结点力 ）在虚位移（结点虚位移 ）上的虚功，等于应力 在虚应变 上的虚功，即,虚功方程,式(b)是由应力求结点力的一般公式。,因为 是独立的任意的虚位移，虚功方程对任意的 均应满足， 得出,其中 与 无关，故式(a) 成为,代入,(b),式（c）是由结点位移求结点力的一般公式，k 称为单元的劲度矩阵,其中,再将应力公式代入上式，得,单元劲度矩阵,对于三角形单元，B矩阵内均为常数， 有,代入B，D，得出k如书中（6-37）及（6-38）所示。,（1） 是66的方阵， 中每一个元素都

14、表示发生单元结点位移时所引起的结点力。,（2）由反力互等定理， 所以 是对称矩阵，以对角线为对称轴。,单元劲度矩阵k的性质：,（3）当单元作刚体平移时，如 ui=uj=um=1，三角形内不产生应力和应变，结点力也为0。,（4）由（3）可导出行列式| |=0。,（5） 的元素与 单元的形状和方位等 有关，但与单元的大小和刚体的平动及 作 度转动无关。,因此, 中每一行（或列）的元素之和为零（其中第一、三、五元素之和或二、四、六元素之和也为0）。,例题（书中P.117页），以直角三角形单元为例，计算了应力转换矩阵S和单元劲度矩阵 。 从例题中可以看出，将单元边界上的应力向结点移置，化为作用于结点上

15、的力，正好就是结点力。在FEM中，单元边界之间的联系和相互作用力，都向结点简化，归结成为结点的铰结和结点力。 思考题 试求出书中例题的位移模式。,66荷载向结点移置 单元的结点荷载列阵,在FEM中，与结力相似，须将作用于单元中的外荷载向结点移置，化为等效结点荷载，,（2）变形体静力等效原则在任意的虚位移上，使原荷载与移置荷载的虚功相等。 刚体静力等效原则只从运动效应来考虑，得出移置荷载不是唯一的解；变形体的静力等效原则考虑了变形效应，在一定的位移模式下，其结果是唯一的，且也满足了前者条件的。 在FEM中，采用变形体的静力等效原则。,1. 移置原则（1）刚体静力等效原则使原荷载与移置荷载的主矢量

16、以及对同一点的主矩也相同。,移置原则,2. 集中力的移置公式 原荷载 作用于单元中任一点 为单位厚度上的作用力；移置荷载 作用于结点 假设发生一组结点虚位移 ，则 点的虚位移为 使移置荷载的虚功等于原荷载的虚功：,集中力,对于任意的虚位移 ，虚功方程都必须满足，得 3. 单元边界 上面力 的移置公式 应用式 ，将 代之为 并在边界 上积分，得,面力,应用式 ，将 代之为 并对单元域A积分，得 当位移模式为线性函数时，由虚功方程得出的移置荷载，与按刚体静力等效原则得出的结点荷载相同。,4. 单元内体力 的移置公式,体力,思考题1. 试导出书中例题的荷载移置公式。,在单元分析中，从单元的结点位移求

17、位移分布求应变求应力求结点力，为单元的内力分析；外荷载移置到结点荷载，为单元的外力分析。 下面考虑整体分析。 假设将结点i与周围的单元切开，则围绕i结点的每个单元， 对i 结点有结点力( ）的作用, 也有外荷载移置的结点荷载（ ）的作用。,67结构的整体分析 结点平衡方程组,i 结点的平衡条件为 其中 是对围绕i 结点的单元求和。 对某一个单元 ，,结点平衡条件,代入式 ，可表示为 在式 中， 是单元内部的结点编号， 称为局部编 号； 是整体结构的结点编号，称为整体 编号。 将式 按整体结点编号排列，得整个结构的平衡方程组。,其中 整体结点位移列阵， 整体结点荷载列阵， 整体劲度矩阵， 中元素

18、 是相同整体编号的单元劲度矩阵元素 叠加而成。 考虑结构的约束条件后，从式 求出 ，就可以求出各单元的位移和应力。,结点平衡方程组,例1 列出图示结构i 结点的平衡条件。,例2 （见书中P.121）,有限单元法的具体计算步骤，主要是 1、划分单元网格，对单元和结点编号。 2、选定直角坐标系，按程序要求填写和输入有关信息。读者须要注意：直角坐标系应与书中规定的方向一致，单元内的ijm的局部编号应按书中规定的右手规则编号。,68解题的具体步骤 单元的划分,否则会使三角形的面积出现负号等问题。 3、使用已编好的程序进行上机计算。事先须将有限单元法的公式，计算方法和步骤都编入程序。 4、对成果进行整理

19、、分析。 对第1和第4步的工作，也尽可能让计算机执行，以减少人工的工作量。如自动划分网格，整理成果等。,关于单元的划分：注意几点,（1）单元大小问题,（2）单元在不同部位的合理布置问题,（3）三角形三个内角最好较接近,（4）利用对称性和反对称性,（5）厚度突变之处和材料不同之处,（6）载荷作用（集中力或突变分布载荷）处,（7）水利闸坝工程问题,（8）结构具有凹槽或孔洞等应力集中处等。,对于结点位移的成果，可以直接采用。 三结点三角形单元的应力的成果，由于采用的是线性位移模式，不但应力的精度,在有限单元法中，位移的精度较高，其误差量级是，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是，即与单元的大

20、小成正比。,69计算成果的整理,较低，而且还产生了所谓应力的波动性。即在相邻的两单元中，如果一个单元的应力比真解低，则相邻单元的应力会比真解高，如图。,图 6-9,应力的波动性在三结点三角形单元中较为显着。原因是，由于计算出的应力的精度较低。假设单元的应力成果为 ，其中 为真解，为误差。则由于在i，j结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的单元的应力趋近于。这就产生了应力的波动性。,为了提高应力的精度，解决应力波动性问题，可以采用两种应力成果的整理方法：,一般地讲，两相邻单元平均法的精度较好，因为它涉及的区域范围较小。,（1）两相邻单元平均法。,（2）绕结点平均法。,此外，在受面力边界线附

21、近，由于应用了静力等效原理将面力简化为结点荷载，因而得出的应力误差较大。可采用向外插值的方法（例抛物线插值）来解决。,为了提高应力的精度，可以采用两种方法。一是加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。二是可以采用较多结点的单元，并使位移模式中包含一些高幂次的项，从而提高位移和应力的精度。一般在位移模式中若包含较高次幂的项，不但可使位移和应力的精度提高，而且应力的波动性和边界应力的精度低等问题也可得到改善。,610计算实例,1. 楔形体受自重及齐顶水压力。 2. 简支梁受均布荷载。 3. 圆孔附近的应力集中。,书中应用三结点三角形单元，计算了下列例题：,在整理应力成果时，读者应注意，应用三角

22、形单元时，,（1）采用两单元平均法和绕结点平均法的 应力成果比较接近，但前者的精度略 好于后者。,（2）边界面的应力,应采用向外插值的方法 求出。,611应用变分原理导出 有限单元法基本方程,在FEM中，将连续体变换为离散化结构之后，有两种导出FEM公式的主要方法：,（2）建立单元的位移模式，求出单元中的 位移分布，,1.按结力方法导出FEM公式,（1）取结点位移为基本未知数；,（3）由几何方程求出单元的应变，,（4）由物理方程求出单元的应力，,按结力方法导出FEM公式,（5）由虚功方程求出单元的结点力，,（6）由虚功方程求出单元的结点荷载 ，,（7）建立结点平衡方程组，,按结力方法导出FEM

23、公式,（1）变分原理中的极小势能原理是,2. 按变分法导出FEM公式 保留上述（1）-（4）步骤，然后应用极小势能原理导出FEM基本方程。,按变分法导出FEM公式,对于平面问题，,对于连续体,变分的宗量是位移函数 变分方程 可表示为总势能 对 的导数等于0，即,变分宗量由 变换成,（2）将经典变分原理应用到离散化结构，则,总势能、形变势能和外力势能，可以用单元的势能之和来表示,其中 为三角形单元的面积。应用前面记号,内力势能为,其中 为三角形单元的受面力边界。引用前面记号,外力势能为,总势能为,故总势能极小值条件 变换为,（3）对于离散化结构，泛函数 的宗量变 换为,则式(n) 成为,引用矩阵

24、运算公式，,其中,代入式(o) ，得出与结力方法导出的相同方程，,从物理意义上讲，将连续体的经典变分原 理(g) 或 (i) 应用到离散化结构，成为式(p) 。,比较物理意义：式(g)表示总势能的整体极值条件;式(p)表示总势能在所有结点处的极值条件。,凡是与微分方程对应的变分原理存在的任何问题，均可应用变分法导出FEM。,第六章例题,例题1,例题2,例题3,例题4,例题,例题1 平面问题中采用的四结点矩阵单元，如图所示。该单元的结点位移列阵是,第六章例题,b,a,采用的位移模式是,其中的系数 ,由四个结点处的位移值,应等于结点位移值 的条件求出。,a,b,读者试检查其收敛性条件是否满足？并估

25、计位移和应力的误差量级。,第六章例题,例题2 平面问题中采用的六结点三角形单 元，如图所示。 该单元的结点位移列阵为 其位移模式取为,第六章例题,可以相似地表示。然后由六个结点处的条件求出 读者试检查其位移模式的收敛性，并估计其位移和应力的误差量级。,例题3 在空间问题中，采用的最简单的单元，是如图所示的四结点四面体单元，其位移模式是,第六章例题,试考虑如何求出其系数 并检查位移模式的收敛性条件,并估计其位移和应力的误差量级。,例题4 图（a）所示的深梁，在跨中受集中力F的作用，若取 试用有限单元法求解跨中的位移。,第六章例题,返回,第六章例题,返回,解： 1.将图 划分网格，化为离散化结构，

26、如图（b）所示。由于结构具有对称性，可取 1/2 部分进行分析，如 所示。,（a）,图（c）,2. 中，只有两个未知结点位移 其余的结点位移均为零。 未知的结点位移列阵是 对应的结点荷载列阵是 3.下面我们直接来建立对应于未知结点 位移的平衡方程式，,第六章例题,图（c）,4.对于三角形单元，按照结点的局部编号 结点力一般公式是,第六章例题,当 且结点的局部编号如图 时，单元 的单元劲度矩阵均如书中 所示。 对于 单元，结点的局部编号与整体编号的关系是 将书中 的k和结点编号代入式 ，有,第六章例题,其中 由上式，得出 I单元中 不存在，而,第六章例题,对于 单元，结点的局部编号与整体编号 的

27、关系是 。再将书中 的k代入式（c），得,第六章例题,其中 由上式，可得 单元 的结点力 5.将各单元的结点力代入式 得 从上两式解出结点位移值，,第六章例题,显然，位移,第六章例题,第六章 习题的提示和答案,6-1 提示：分别代入 的公式进行运 算。 6-2 （3）中的位移，一为刚体平移，另一为 刚体转动，均不会产生应力。其余见书 中答案。 6-3 求i结点的连杆反力时，可应用公式 为对围绕i结点的单元求和。,6-4 求支座反力的方法同上题。 6-5 单元的劲度矩阵k，可采用书中 的结果，并应用公式 求 出整体劲度矩阵的子矩阵。 6-6 求劲度矩阵元素同上题。应力转换矩阵 可采用书中 的结果

28、。 6-7 求劲度矩阵元素可参见 的结 果，再求出整体劲度矩阵元素 答案见书中。,习题提示和答案,6-8 当单元的形状和局部编号与书中图6- 10相同时，可采用 的单元 劲度矩阵。 答案：中心线上的上结点位移 下结点位移 6-9 能满足收敛性条件，即位移模式不仅 反映了单元的刚度位移和常量应变， 还在单元的边界上，保持了相邻单元 的位移连续性。,习题提示和答案,第六章 教学参考资料,（一）本章的学习重点及要求 有限单元法的两种主要导出方法： (1)结构力学方法首先将结构离散化，把连续体变换为离散化结构，再应用结构力学方法求解。这种导出方法，采用了工程技术人员熟悉的结构力学方法，它的物理概念清晰

29、，易为工程技术人员理解和接受。故在书中主要用这种方式导出有限单元法。,教学参考资料,(2)变分方法同样将连续体化为离散结构，再将连续体中的变分原理推广应用到离散化结构，从而导出有限单元法。这种导出方法是连续体上的经典变分法的推广，导出方法简单，应用也非常广泛。有限单元法的多数文献是采用变分方法导出的。 除此之外，加权余量法等也可以导出有限单元法。,教学参考资料,（二）本章内容提要 1.有限单元法是20世纪中期发展起来的弹性力学数值解法。它是解决各种力学问题和进行结构分析的非常有效的数值方法，具有极大的通用性和灵活性，可以编制通用程序上机进行计算，能够解决各种复杂工程问题的分析并达到所需的精度。

30、,教学参考资料,2.弹性力学中的有限单元法，是将连续体变换为离散化结构，然后应用结构力学方法求解，或者应用变分法求解。,教学参考资料,3.有限单元法中的公式，可以用统一的 形式表示： 单元的位移模式 单元的应变列阵 单元的应力列阵 单元的结点力列阵,教学参考资料,单元的结点荷载列阵 结点平衡方程组,对于各种问题和各种单元，都可以用上述公式表示，只是各矩阵中的具体元素不同而已。,教学参考资料,4.位移模式表示单元中的位移分布形式。它是应用插值公式，由结点位移值，求出单元中的位移函数表达式。 为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式必须满足下列条件： （1）必须反映单元的刚体位移； （2）必须反映

31、单元的常量应变； （3）尽可能反映位移的连续性。,教学参考资料,5.单元中的应变列阵和应力列阵，可以根据单元中的位移函数（位移模式），分别应用几何方程和物理方程求出。 6.单元中的结点力列阵，是内力向结点简化的结果；单元中的结点荷载列阵，是外力向结点简化的结果。它们都可以应用虚功方程导出。,教学参考资料,7.应用结构力学方法导出有限单元法的基本方程时，结点的平衡方程组 表示离散化结构中，各结点的平衡条件。 应用变分方法导出有限单元法的基本方程时，式 表示弹性体总势能在各结点处的极小值条件。,教学参考资料,（三）FEM的说明 1.有限单元法可以应用于各种弹性结构的问题，如 杆系结构桁架，刚架，梁

32、等，常采用 两铰接 点杆件单元，两刚结点杆件单元， 梁单元等。 平面问题平面应力问题和平面应变问题，常采用三结点三角形单元，六结点三角形单元，四结点矩形单元，平面等参数单元等。,教学参考资料,空间问题空间体问题，常采用四结点四 面体单元，八结点六面体单元，空间等参数单元等。,薄板弯曲问题采用板单元。 薄壳问题采用壳体单元。 组合结构综合采用 上述各种单元， 对组合结构进行分析。,教学参考资料,2.有限单元法可以应用于各种非线性力学问题，如物理非线性问题（弹塑性问题等），几何非线性问题（大挠度问题等），接触非线性问题，土力学和岩石力学等问题。,教学参考资料,3.在国内外，已经有许多通用的有限单元法程序，可供分析结构时使用。,