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1、2022年12月29日星期四,1.2.应用举例,解,三,角,形,的应用,解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和“测量”。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。,解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。,我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的周髀算经里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪， 我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦,正弦定理,余弦定理,（R为三角
2、形的外接圆半径）,解三角形理论在实际问题中的应用,实际应用问题中有关的名称、术语,1.仰角、俯角、视角。,（1）.当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。,（2）.当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。,（3）.由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）,水平线,视线,视线,仰角,俯角,2.方向角、方位角。,（1）.方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于900的水平角叫方向角。,（2）.方位角：指北方向线顺时针旋转到目标方向线所成的角叫方位角。,点A在北偏东600，方位角600.,点B在北偏西300，方位角3300.,点C在南偏西450，
3、方位角2250.,点D在南偏东200，方位角1600.,3.水平距离、垂直距离、坡面距离。,水平距离,垂直距离,坡面距离,坡度（坡度比） i: 垂直距离/水平距离,坡角: tan=垂直距离/水平距离,A,B,C,问题一：测量距离问题,（1）：有一点可到达,解三角形,解三角形的应用-实地测量举例,想一想：例1： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,解三角形,解三角形的应用-实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,A,B,C,在B的同一侧选定一点C,解三角形,解三角形的应用-实地测量举例,想一想： 如何测定河两岸两点A、B间的距离？,C,简解:由正弦定理可得AB/sin
4、=BC/sinA,55,若BC=55, =510 , =750,求AB的长.,问题一：测量距离问题,（2）：两点都不可到达,解斜三角形,解三角形的应用-实地测量举例,例2、 如何测定河对岸两点A、B间的距离？,A,B,如图在河这边取一点D，构造三角形ABD，能否求出AB?为什么？,解斜三角形,解三角形的应用-实地测量举例,例2、 为了测定河对岸两点A、B间的距离，在岸边选定a公里长的基线CD，并测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，求A、B两点的距离.,A,B,D,C,a公里,分析：在四边形ABCD中欲求AB长，只能去解三角形，与AB联系的三角形有ABC和ABD，利用其一可求AB。,BC
5、A=，ACD=，BDC=，ADB=，,练习1.一艘船以32.2n mile / h的速度向正北航行。在A处看灯塔S在船的北偏东20o的方向，30min后航行到B处，在B处看灯塔在船的北偏东65o的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？,练习2如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为 ，AC长为1.40m，计算BC的长（保留三个有效数字）,（1）什么是最大仰角？,（2）例题中涉及一个怎样的三角形？,在ABC中已
6、知什么，要求什么？,抽象数学模型,解：由余弦定理，得,答：顶杆BC约长1.89m。,练习3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄CB绕C点旋转时，通过连杆AB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点A在 处。设连杆AB长为 cm,曲柄CB长为60cm,曲柄自 按顺时针方向旋转60，求活塞移动的距离。,解：,练习3,总结,实际问题,问题二：测量高度问题,（1）：底部不可以到达,问题二：测量高度问题,（2）：底部可以到达,问题三：测量角度问题,例5:我海军舰艇在A处获悉某渔船发出的求救信号后,立即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角)为
7、,距离A为10海里的C处,并测得渔船正沿方位角 的方向以9海里/时速度向某岛P靠拢,我海军舰艇立即以21海里/时的速度前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间。,解：,练习：,解：如图，在ABC中由余弦定理得：,我舰的追击速度为14n mile/h,又在ABC中由正弦定理得：,故我舰行的方向为北偏东,练习2：如下图，已知半圆的直径AB=2，点C在AB的延长线上，BC=1，点P为半圆上的动点。以PC为边作等边PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC的面积的最大值。,解：,1、解决应用题的思想方法是什么？,2、解决应用题的步骤是什么？,实际问题,数学问题（画出图形）,解三角形问题,数学结论,分析转化,检验,小结：,把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。,1、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；2.建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）3.求模（正确运用正、余弦定理求解）4，还原。,小结：求解三角形应用题的一般步骤：,
