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1、几种特殊类型的一阶微分方程,Ricatti方程,形如 = + + 2 的方程称为Ricatti方程，其特点是方程右端是关于y的二次函数。Liouville在1841年证明了除特殊情况外，其通解不可能用初等函数和初等函数的积分来表示。但如果已知Ricatti方程的一个特解= 1 ，令= 1 则方程可化为 = q +2 1 + 2 这是一个Bernoulli方程，对其求解后，就可得到Ricatti方程的解。,解方程 = 2 2 2,我们可知= 1 是一特解。令= 1 ，则原方程化为 = 2 + 2 这是一个Bernoulli方程，=0是一特解。两边同除 2 ,可得 1 = 2 1 +1这是一个关于
2、 1 的线性方程，通解为 1 = 3 3 2 ，再带回变量y，得到原方程的解为= 3 2 3 + 1 和= 1 ,Ricatti方程,定理：设Ricatti方程形如 + 2 = （1），其中,都是常数，且0.设0且0.当=0，2， 4 2+1 ， 4 21 （=1,2,）时，方程可通过适当变化为可分离变量型微分方程。证明：不妨假设a=1.当=0时，（1）化为 = 2 ，是可分离变量型微分方程；当=2时，令=,有 =+ =+ 2 2 = + 2 即 = 1 + 2,当= 4 2+1 时，做变换= 1 +1 ，= +1 1 带入原方程，得 + 2 = 1 +1 2 ，其中n= 4 21 .再做变换
3、= 1 ，= 2 ，其中和分别是新的自变量和未知函数，可得 + 2 = 1 +1 2 ,其中= 4 1 2 1 +1 .显然与相比，变为1，重复上述步骤，最后可化为=0的情形。m= 4 21 时，可类似证明。,Euler方程,形如 () + 1 (1) + 1 + 0 = （2）的方程称为Euler方程，其中 ， 1 , 1 , 0 是实常数，且 0.由于当=0时，各阶导数项的系数都是零，故可以假设0.只考虑0，当0时，可先作变量替换=再类似求解。作变量替换= ln ，则= ，且 = = 1 2 2 = 1 2 2 2 ， 3 3 = 1 3 3 3 3 2 2 +2 ,一般地，如果 = 1 ( + 1 1 1 + 1 )则 +1 +1 = 1 +1 +1 +1 + 1 k + 1 2 2 2 1 因此，将 , 2 2 , 3 3 , 带入（2）式，Euler方程可化为常系数线性方程。,解方程 3 +5 2 +7 +8=0，0,令= ln ，方程化为 3 3 +2 2 2 +4 +8y=0.对应的齐次方程的特征方程为 3 +2 2 +4+8=0，特征根为 1 =2， 2,3 =2,原方程的通解为= 1 2 + 2 cos 2 + 3 sin 2 = 1 1 2 + 2 cos 2 ln + 3 sin 2 ln ,
