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1、,第三节 一阶微分方程在经济学中的综合应用,第十章 微分方程与差分方程,在研究各经济变量之间的联系及其内在规律时，常 需要建立某一经济函数及其导数所满足的关系式，并 由此确定所研究函数的形式，从而根据一些已知的条 件来确定该函数的表达式。 从数学上讲，就是建立微分方程并求解微分方程。 下面举一些一阶微分方程在经济学中应用的例子。,一、分析商品的市场价格与需求量 (供给量) 之间的 函数关系,例1 某商品的需求量 Q 对价格 P 的弹性为 P 1n3 , 若该商品的最大需求量为 1200 (即 P = 0 时, Q = 1200) , ( P 的单位为元 , Q 的单位为 kg ) . 1. 试
2、求需求量 Q 与价格 P 的函数关系; 2. 求当价格为 1 元时 , 市场对该商品的需求量; 3. 当 P + 时 , 需求量的变化趋势如何 ?,解 1. 由条件可知,即,分离变量并求解此微分方程 , 得,( C 为任意常数 ),由 得 , C = 1200 ,2. 当P = 1 (元)时 ,3. 显然 P + 时 , Q 0 , 即随着价格的无限增大 , 需求量将趋于零 .,例2 设某商品的需求函数与供给函数分别为 (其中 a , b , c , d 均为正常数) 假设商品价格 P 为时间 t 的函数 , 已知初始价格 P ( 0 ) = 且在任一时刻 t , 价格 P ( t ) 的变化
3、率总与这一时刻 的超额需求 成正比(比例常数为 k 0 ) . 1. 求供需相等时的价格 (均衡价格) ; 2. 求价格 P ( t ) 的表达式 ; 3. 分析价格 P ( t ) 随时间的变化情况 .,解,1. 由 得,2. 由题意可知,将 代人上式 , 得,(1),解此一阶非齐次线性微分方程 , 得通解为,由 P ( 0 ) = 得,则特解为,3. 讨论价格 P ( t ) 随时间的变化情况 .,由于 为常数 , k ( b + d ) 0 , 故当 t + 时, 从而 (均衡价格)(从数学上讲 , 显然均衡价格 即为微分方程(1)的平衡解 , 且由于 故微分方程的平衡解是稳定的) .,
4、由 与 的大小还可分三种情况进一步讨论(见下图),1) 若 ，则 ，即价格为常数，市场无 需调节达到均衡；,2) 若 ，因为 总是大于零且趋 于零，故 P ( t ) 总大于 而趋于 ；,3) 若 ，则 P ( t ) 总是小于 而趋于 .,由以上讨论可知，在价格 P ( t ) 的表达式中的两项： 为均衡价格，而 就可理解为均衡偏 差.,例3 某林区实行封山养林，现有木材 10 万立方米， 如果在每一时刻 t 木材的变化率与当时木材数成正比 . 假设 10 年时这林区的木材为 20 万立方米 . 若规定， 该林区的木材量达到 40 万立方米时才可砍伐，问至 少多少年后才能砍伐 .,二、预测可
5、再生资源的产量，预测商品的销售量,解 若时间 t 以年为单位，假设任一时刻 t 木材的 数量为 P ( t ) 万立方米，由题意可知,( k 为比例常数),且,该方程的通解为,将 t = 0 时 , P = 10 代人 , 得 C = 10 , 故,再将 t = 10 时 , P = 20 代人 , 得 于是,要使 P = 40 , 则 t = 20 . 故至少 20 年后才能砍伐 .,例4 假设某产品的销售量 x ( t ) 是时间 t 的可导函数 , 如果商品的销售量对时间的增长速率 与销售量 x ( t ) 及销售量接近于饱和水平的程度 N x ( t ) 之积成正比 (N 为饱和水平
6、, 比例常数为 k 0) , 且当 t = 0 时 , 1. 求销售量 x ( t ) ; 2. 求 x ( t ) 的增长最快的时刻 T .,解 1. 由题意可知,( 2 ),分离变量 , 得,两边积分 , 得,解出 x ( t ) , 得,( 3 ),其中 由 得 , B = 3 , 故,2. 由于,令 得,当 t T 时 , 故,时 , x ( t ) 增长最快 .,在生物学、经济学中，常遇到这样的量 x ( t )，其增 长率 dx/dt 与 x ( t )及 N x ( t ) 之积成正比 ( N 为饱和值) , 这时 x ( t ) 的变化规律遵循微分方程 (2)，而 x ( t
7、) 本身按 Logistic 曲线 (3) 的方程而变化 .,微分方程 (2) 称为 Logistic 方程，其解曲线 (3) 称为 Logistic 曲线 .,例5 某商场的销售成本 y 和存贮费用 S 均是时间 t 的 函数，随时间 t 的增长，销售成本的变化率等于存贮 费用的倒数与常数 5 的和，而贮存费用的变化率为存 贮费用的 (1/3) 倍 . 若当 t = 0 时，销售成本 y = 0，存 贮费用 S = 10 . 试求销售成本与时间 t 的函数关系及存 贮费用与时间 t 的函数关系 .,三、成本分析,解 由已知,(4),(5),解微分方程 (5) 得,由 得 , C = 10 ,
8、 故存贮费用与时间 t 的函数,关系为,将上式代入微分方程 (4) , 得,从而,由 得 从而销售成本与时间 t 的函,数关系为,四、公司的净资产分析,对于一个公司，它的资产的运营，我们可以把它简 化地看作发生两个方面的作用。一方面，它的资产可 以象银行的存款一样获得利息，另一方面，它的资产 还需用于发放职工工资。,显然，当工资总额超过利息的盈取时，公司的经营 状况将逐渐变糟，而当利息的盈取超过付给职工的工 资总额时，公司将维持良好的经营状况。为了表达准 确起见，假设利息是连续盈取的，并且工资也是连续 支付的。对于一个大公司来讲，这一假设是较为合理 的。,例6 设某公司的净资产在营运过程中，象
9、银行的 存款一样，以年5%的连续复利产生利息而使总资产 增长，同时，公司还必须以每年200百万元人民币的 数额连续地支付职工的工资。 1. 列出描述公司净资产 W (以百万元为单位)的微分 方程 ; 2. 假设公司的初始净资产为 (百万元)，求公司的 净资产W( t ) ; 3. 描绘出当 分别为 3000 , 4000 和 5000 时的解曲 线 .,解 先对问题作一个直观分析.,首先看是否存在一个初值 , 使该公司的净资产不 变 . 若存在这样的 , 则必始终有,利息盈取的速率 = 工资支付的速率,即,所以 , 如果净资产的初值 (百万元) 时 , 利息 与工资支出达到平衡 , 且净资产始
10、终不变 . 即 4000 (百 万元)是一个平衡解 .,但若 (百万元) , 则利息盈取超过工资支出 , 净资产将会增长 , 利息也因此而增长得更快 , 从而净资 产增长得越来越快 ;,若 (百万元) , 则利息的盈取赶不上工资的 支付 ; 公司的净资产将减少 , 利息的盈取会减少 , 从而,净资产减少的速率更快 . 这样一来 , 公司的净资产最终 减少到零 , 以致倒闭 .,下面将建立微分方程以精确地分析这一问题 .,1. 显然 净资产的增长速率 = 利息盈取的速率 工资支付速率,若W 以百万元为单位 , t 以年为单位 , 则利息盈取的 速率为每年 0.05 W 百万元 , 而工资支付的速
11、率为每年 200 百万元 , 于是,即,(6),这就是该公司的净资产 W 所满足的微分方程 .,令 则得平衡解,2. 利用分离变量法求解微分方程 (6) 得,( C 为任意常数 ),由 得,故,3. 若 则W = 4000 即为平衡解 .,若 则,若 则,在 的情形 , 当 t 27.7 时 , W = 0 , 这意味着 该公司在今后的 28 个年头将破产 .,下图给出了上述几个函数的曲线 . W = 4000 是一个 平衡解 . 可以看到 , 如果净资产在 附近某值开始 , 但 并不等于 4000 (百万元) , 那么随着 t 的增大 , W 将远离 故 W = 4000 是一个不稳定的平衡
12、点 .,例7 在宏观经济研究中 , 发现某地区的国民收入 y , 国民储蓄 S 和投资 I 均是时间 t 的函数 . 且在任一时刻 t , 储蓄额 S( t ) 为国民收入 y( t ) 的1/10 倍 , 投资额 I( t )是 国民收入增长率 dy/dt 的 1/3 倍 . t = 0 时 , 国民收入为 5 (亿元) . 设在时刻 t 的储蓄额全部用于投资 , 试求国民 收入函数 .,五、关于国民收入、储蓄与投资的关系问题,解 由题意可知,由假设 , 时刻 t 的储蓄全部用于投资 , 那么 S = I , 于 是有,解此微分方程得,由 得 C = 5 . 故国民收入函数,而储蓄函数和投资函数为,本节结束,
