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1、13-1,2022/12/29,类型一、可分离变量微分方程,第二节 一阶微分方程 的常见类型及解法,类型二、齐次方程,类型三、一阶线性微分方程,13-2,2022/12/29,分离变量,类型一、可分离变量的微分方程,两边同时积分,13-3,2022/12/29,例1. 求微分方程,的通解.,解: 分离变量得,两边积分,得,即,( C 为任意常数 ),或,说明：在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.,13-4,2022/12/29,例2. 解初值问题,解: 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,13-5,2022/12/29,
2、例3. 求下述微分方程的通解:,解: 令,则,故有,即,解得,（C 为任意常数）,所求通解:,13-6,2022/12/29,类型二、齐次方程,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,13-7,2022/12/29,例4. 解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( C 为任意常数 ),13-8,2022/12/29,例5. 解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,(C 为任意常数),13-9,2022/12/29,类型三、一阶线性微分方程,若 Q(x) 0,称为一阶线性非齐次微分方程.,称为一阶线性齐次微分方程;,13-10,2022/12/29,1. 解齐次方程,分离变量得,两边积分得,故通解为,13-11,2022/12/29,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,设通解,两端积分得,13-12,2022/12/29,例6. 解方程,解: 先解,即,积分得,即,（常数变易法）令,代入非齐次方程解得,故原方程通解为,注: 亦可直接带公式计算！,13-13,2022/12/29,思考与练习,求下列方程的通解：,提示:,(1) 分离变量,(2) 方程变形为,
