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1、有关集合论的调研姓名：李坚强 学号090501211（惠州学院数学系2009级应数2班，邮编：516007，E-mail:550270521xqqx）摘要：集合论关键词：集合论，康托，元素，基本规律，公理化集合论1. 引言集合论是研究集合的数学理论。它是数学的一个分支，但在数学中却占有一个机器独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的几乎所有领域。因此我们说集合论是现代数学的的基础。集合论的起源可以追溯到16世纪末，主要是对数集进行了卓有成效的研究。但集合论实际发展是由德国数学家康托在19世纪70年代到80年代创立的。康托提出了基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础。因此，康托被
2、誉为集合论的创始人。2. 正文集合的基本定义与性质概括集合的定义集合是集合论的主要研究对象，也是数学中的基本概念。一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。如北京、天津、上海三城市；全体英文大写字母；阿Q正传中出现的不同汉字;全体自然数；平面上的所有直线,都是集合的例。但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。事物m是集合S的元素有时也说成m属于S 或S含有m，记为mS。如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。 集合与集合的关系按照集
3、合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。如北京、天津、上海，A,B,C,Z，对于虽有困难，但原则上还是办得到的。但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质 P(x)来加以概括。如例 中的集合可表示为xx 是自然数。这种表示也适用于有穷集，如北京、天津、上海=xx=北京或x=天津或x =上海=xx为中国现有直辖市。一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母来记它。如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,
4、记为B包含于A 。例如，偶数全体包含于自然数全体。空集被看作是任何集合的子集。任一集合A都是它自己的子集,即A包含于A 。A的异于自己的子集 B称为 A的真子集,记为BA 。两集合的相等（即含有同样的元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当 A包含于B且B包含于A 。包含关系还具备传递性：即由 A包含于B,B包含于C可得A包含于C。要注意的是,属于关系与包含关系包含于是有区别的：是元素对集合的关系，而包含于是集合对集合的关系。可以有包含于，但不成立。 集合之间的基本规律从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记为AB（A与B中的相同元素
5、在并集中出现一次）。以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记为AB。以属于A而不属于B 的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记为AB；特别,当B包含于A时,可记为CAB，称为B关于A的补（集）。例如A=0,1,3,B=0,3,5,10，则AB0,1,3,5,10,AB=0,3,AB=1。并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，即对任意的A，B，C，有 AB=BA，(AB)C=A(BC)，AB=BA，(AB)C=A(BC)， A(BC)=(AB)(AC)，A(BC)=(AB)(AC)。它们与差运算一起服从德摩根定律： S(AB)=(SA)(SB)，S(AB)=(
6、SA)(SB)。这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有 ,。集合的集合一个集合也可以以其他集合为元素。这就是所谓集合的集合，如上面例就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。一个集合 A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。例如,当A=1,2,3时，P(A)=,1,2,3,1,2,1,3,2,3,1,2,3。集合的集合是所谓集合族的特殊情形。一般而论,如果对于某一集合I()的每一个元素II，都指定有一个确定的集合Ai，那么，这些Ai的全体就称为一个集合族,记为Ai,iI。例如,当I=N即自然数全体时,Ai,IN就是集合序列：A1,A2,A3,。集
7、合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。对于集合族Ai,II,可定义它的并为x对某II,xAi，记为。仿此,可定义它的交为x对一切II，xAi,记为。特别当I=1,2,n时，通常将并写成,将交写成；当n=2时，就是上面的A1A2和A1A2。当I=N时，通常将并写成，将交写成。两个对象，b按一定次序（譬如在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为，称为它的第一坐标,b称为第二坐标。两个序对，当且仅当 = ,b=b即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。因此,除非=b,。也可直接定义为,b,虽不大自然,却很精确。同样可定义一般的有序n组。设A，B为两个集合，从A，B中各取一个
8、元素，b所作序对的全体组成一个集合,即A且bB,它称为A与B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为AB。直积概念也可从两个因子推广到n个因子，A1A2An，记为，特别当各Ai均等于A时，称为A的n次直幂,记为An，它相当于所有从0,1,n-1到A的映射全体组成的集。推而广之，所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A。集合论产生的背景集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。在一八世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的
9、精确描述。在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象连续函数的描述。在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了
10、。这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。集合论的诞生先驱数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781一八48）也是一位探索实无穷的先驱，他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体，他认为这个事实必须接受。例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合。为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。不过，后来康托尔
11、指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。另外，他还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。因此，他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。应该说，他是康托尔集合论的先驱。 问题出现黎曼（一八26一八66）是在一八54年的就职论文关于用三角级数表示函数的可能性中首次提出“唯一性问题”的。大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的？但他没有给予回答。一八70年海涅（一八21一八81）证明：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立
12、？康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。 奠定基础早在一八70年和一八71年，康托尔两次在数学杂志上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。一八72年他在数学年鉴上发表了一篇题为三角级数中一个定理的推广的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形。为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。 集合论诞生一八73年11月29日康托尔在
13、给戴德金（一八311916）的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。这个时期应该看成是集合论的诞生日。集合论的发展成为系统学科然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。罗素悖论在1900年第二次国际数学大会上，著名
14、数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“数学已被算术化了。今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。”然而这种自得的情绪并没能持续多久。不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。这就是1902年罗素得出的罗素悖论。 罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。这样，不论何种情况都存在着矛盾。第三次数学危机这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地。绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中。
15、这就是数学史上的第三次数学危机。危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去。1908年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF公理系统。原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现。这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论。与此相对应，在1908年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论。公理化集合论是对朴素集合论的严格处理。它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机。集合论的现状公理化集合论公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康
16、托尔为我们创造的乐园中赶出去。从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等。而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的。因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结。“它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一。康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献。” 对争议公理的研究由哥德尔不完全性定理可知，如果ZF是无矛盾的，则在ZF中不能证明自身的无矛盾性,所以在公理集合论中只考虑相对
17、无矛盾性问题。已经证明，如果ZF是无矛盾的，则NBG也是无矛盾的。选择公理（AC）和连续统假设（CH）有重要地位，是集合论中长期研究的课题。AC成为数学史上继平行公理之后最有争议的公理，CH是一八78年康托尔提出来的，简单的说，就是关于直线上有多少点的问题。 近40年来在AC和CH研究方面取得不少进展。1938年，哥德尔证明了：从ZF推不出AC的否定，从ZFC推不出CH的否定，即AC对于ZF，CH对于ZFC是相对无矛盾的.1963年，科恩（1934 ）创立著名的力迫法，证明了AC对于ZF,CH对于ZFC的相对独立性,即从ZF推不出AC,从ZFC推不出CH。综合这两个结果,得出AC在ZF中,CH
18、在ZFC中都是不可判定的。此外，大基数问题，无穷组合论的研究亦有很大进展，70年代以来，决定性公理的研究与它们交织在一起，有很大的进展，同时，人们还在寻找迄今尚未发现的与其它公理无矛盾的可信赖的新的公理，以期在更有效的途径上来解决连续统问题，这方面的工作成为集合论当前研究的主流。集合论在近代数学中的作用集合论是现代数学中重要的基础理论。它的概念和方法已经渗透到代数、拓扑和分析等许多数学分支以及物理学和质点力学等一些自然科学部门，为这些学科提供了奠基的方法，改变了这些学科的面貌。几乎可以说，如果没有集合论的观点，很难对现代数学获得一个深刻的理解。所以集合论的创立不仅对数学基础的研究有重要意义，而
19、且对现代数学的发展也有深远的影响。3. 结论集合论的诞生与在近现代中的应用为数学这一人类只是的摩天大厦奠定了另一个高耸的地基。从集合论中，我们可以看出数学的无限创意与无穷的潜能。在数学的研究上，我们要做的就是不断的去探究，不断地摸索，在正确与错误的数学历史中追求真理的存在。只有永不满足对数学的学习，才能在人类的数学知识上不断成长。就像康托一生受过磨难。他以及其集合论受到粗暴攻击长达十年。康托虽曾一度对数学失去兴趣，而转向哲学、文学，但始终不能放弃集合论。康托能不顾众多数学家、哲学家甚至神学家的反对，坚定地捍卫超穷集合论，与他的科学家气质和性格是分不开的。康托的个性形成在很大程度上受到他父亲的影
20、响。他的父亲乔治瓦尔德玛康托在福音派新教的影响下成长起来。是一位精明的商人，明智且有天份。他的那种深笃的宗教信仰强烈的使命感始终带给他以勇气和信心。正是这种坚定、乐观的信念使康托义无返顾地走向数学家之路并真正取得了成功。今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。数学，让我们生活更精彩；数学，让我们追求更充实！4.附录康托小传一八45年生于圣彼得堡，后来移居德国，一八62年进入苏黎世上大学，一八63年转入柏林大学学工程。受大数学家维尔斯特拉斯(k.Weierstrass)的影响改学数学，一八67年获柏林大学博士学位。一八69年到哈雷大学任教，一八79年升为正
21、教授。尽管康托本人很想到柏林大学任教，但由于当时的数学权威克罗内克反对康托的集合论，受到百般阻挠。这给康托带来了巨大的精神压力，一八84年患精神忧郁症。1904年参加了第三次国际数学家大会，会上，他的精神受到强烈刺激，立即被送往医院。随后的十几年，他大都处于严重的抑郁状态中。19一八年死于哈雷大学附属精神病诊所。致谢 感谢潘庆年老师的指导！5.参考文献1育才数学网康托尔与集合论.2维基百科3金贤安。厦门大学数学科学学院。集合论引言12.29.202211:4911:49:2722.12.2911时49分11时49分27秒12月. 29, 2229 十二月 202211:49:27 上午11:49:272022年12月29日星期四11:49:27
