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1、例：苏格拉底论断前提“所有的人都是要死的”“苏格拉底是人”结论“所以苏格拉底是要死的”,P,Q,R,PQR,不是命题演算的有效推理,？,问题的提出,例1：小张是大学生2：小李是大学生Q1：2大于3Q2：6大于4不同原子命题之间是有内在联系的，但命题逻辑限定原子命题是不能拆分的，无法研究这种内在联系解决问题的方法：分析原子命题，分离其主语和谓语考虑一般和个别，全称和存在,命题逻辑的局限性,第4章 一阶逻辑基本概念,3,知识结构图,能够独立存在的事物，思维的对象通常用小写英文字母a、b、c、.表示个体常项用小写英文字母x、y、z.表示任何个体，则称这些字母为个体变项,5,个体,在原子命题中，用来刻
2、划一个个体的性质或几个个体之间关系的成分称为谓词。刻划一个个体性质的词称为一元谓词；刻划n个个体之间关系的词称为n元谓词。谓词与个体词一起才能表示命题。用A(a)表示“a具有性质A”(或“a属于A类”)，用B(a1,a2,an)表示“a1,a2,an关系满足B”。,谓词,(1) 5是质数 (2) 张明生于北京(3) 7=32P(x)：x是质数G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京H(x, y, z) ：x=yz,例,P(5),G(a,b),H(7,3,2),例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。(1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6. 解：
3、(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 F(b)F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。 (2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。 命题符号化为0元谓词的蕴涵式 G(b,a)G(a,c) 由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。,练习,小张不是工人张三和李四是表兄弟小莉是非常聪明和美丽的实数x大于实数y大灰狼偷吃了小羊羔, W(a) a: 小张,P(a,b) a:张三，b:李四,P(a)Q(a) a:小莉,R(x):x是实数G(x,y): xy,R(x)R(y)G(x,y),P(x)Q(y)E(x,y),谓
4、词常项一个字母代表一特定谓词（具体的性质或关系）, 则称此字母为谓词常项(量)。例如P(x)表示“x是质数”这种模式的判断,P就是谓词常项。谓词变项若字母代表任意谓词（泛指的性质或关系）, 则称此字母为谓词变项论域谓词命名式中个体变项的取值范围个体域与全总域空集不能作为论域,由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命题函数，表示为P(x1,x2,xn)。由一个或若干个简单命题函数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是质数”，则P(1)为F，P(2)为T。,命题函
5、数,例 A(x)：x身体好 B(x)：x学习好 C(x)：x工作好表示“如果x身体不好，则x的学习与工作都不会好”的复合命题函数A(x)(B(x)C(x),例 “所有的正整数都是素数” “有些正整数是素数”假设只有两个正整数a和b个体域为a,bP(x)：x是素数,P(a) P(b),P(a) P(b),除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量词有两个全称量词和存在量词。,表示“每个”、“任何一个”、“一切”、“所有的”、“凡是”、“任意的”等量词后边的个体变元，
6、指明对哪个个体变元量化，称为量词后的指导变元例所有人都是要死的D(x)：x是要死的个体域：所有人构成的集合x D(x),全称量词,表示“有些”、“一些”、“某些”、“至少一个”等指导变元例有些有理数是整数P(x)：x是整数个体域：有理数集合xP(x),存在量词,含有量词的命题的真值与论域有关含有量词的命题的表达式的形式与论域有关全总个体域宇宙间所有的个体聚集在一起所构成的集合约定除特殊说明外，均使用全总个体域对个体变化的真正取值范围，用特性谓词加以限制,全总个体域（全总域）,所有的人都是要死的有的人活百岁以上D(x)：x是要死的G(x) ：x活百岁以上个体域E为全体人组成的集合x D(x)x
7、G(x)全总个体域引入特性谓词M(x)：x是人x(M(x) D(x)x (M(x)G(x),例,对全称量词, 特性谓词作为条件式之前件加入对存在量词, 特性谓词作为合取项而加入例(a) 没有不犯错误的人F(x)：x犯错误 M(x)：x是人 x (M(x)F(x)(b) 凡实数, 或大于零，或等于零，或小于零R(x)：x是实数L(x, y)：xyE (x, y) ： x = yS(x, y)：x yx(R(x) L(x, 0) E (x, 0) S (x, 0),特性谓词添加规则,例 将下列命题符号化，并讨论真值。（1）所有的人长着黑头发。（2）有的人登上过月球。（3）没有人登上过木星。（4）在
8、美国留学的学生未必都是亚洲人。,解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。（1）所有的人长着黑头发。 令F(x):x长着黑头发， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)F(x)。 命题真值为假。（2）有的人登上过月球。 令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)G(x)。 命题真值为真。,（3）没有人登上过木星。 令H(x):x登上过木星， M(x):x是人。命题符号化为 x(M(x)H(x)。 命题真值为真。（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号化x(F(x)G(x) 命题真值为真。,假设论域有限
9、,不妨设论域D=1,2,3xP(x)？xP(x) P(1) P(2) P(3)xP(x)？xP(x) P(1) P(2) P(3)若论域无限可数，概念可以推广两个量词共轭xP(x) xP(x)xP(x) xP(x),x取遍论域中的所有值,T,关于x的命题函数A(x)取值皆为T,全称命题xA(x)的真值为T,F,关于x的命题函数A(x)取值皆为F,存在命题xA(x)的真值为F,x取遍论域中的所有值,总之： 1.全称命题xA(x)为真，当且仅当aD，A(a)皆为真 2.全称命题xA(x)为假，当且仅当aD，A(a)为假。 3.存在命题xA(x)为真，当且仅当aD，A(a)为真。 4.存在命题xA(
10、x)为假，当且仅当aD，A(a)皆为假。,谓词逻辑中比较复杂命题的符号表达式与论域有关系例：每个自然数都是整数论域D=NI(x)：x是整数x I (x)论域为全总个体域特性谓词N(x)：x是自然数x(N(x)I(x),命题符号化,(1)所有大学生都喜欢一些歌星。 S(x)：x是大学生，X(x)：x是歌星，L(x,y)：x喜欢y x(S(x)y(X(y)L(x,y) (2)发光的不都是金子。P(x)：x发光，G(x)：x是金子x(P(x)G(x) (3)某些人对食物过敏F(x, y)：x对y过敏，M(x)：x是人， G(x)：x是食物 x (M(x)y(G(y)F(x,y),例：将下列命题符号化
11、,(4)每个人都有些缺点 H(x, y)：x有y，M(x)：x是人， S(x)：x是缺点 x(M(x) y(S(y)H(x,y)(5)尽管有人聪明, 但未必人人聪明 M(x)：x是人， S(x)：x聪明 x(M(x)S(x)x(M(x)S(x)(6)所有老虎都能吃人(7)不管白猫黑猫，凡能逮住耗子的就是好猫(8)无论是步行的、骑马的、乘车的，凡口渴的皆要喝水,所有教练员都是运动员；(J(x)，L(x)某些运动员是大学生；(S(x)某些教练员是年老的，但是健壮的；(O(x)，V(x)金教练虽不年老，但不健壮；(j)不是所有运动员都是教练员；某些大学生运动员是国家选手；(C(x)没有一个国家选手不
12、是健壮的；所有老的国家选手都是运动员；没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女；(W(x)，H(x)有些女同志既是教练员又是国家选手；所有运动员都钦佩某些教练员；(A(x, y)有些大学生不钦佩运动员。,练习：将下列命题符号化,x(J(x)L(x)x(L(x)S(x)x(J(x)O(x)V(x) J(j)O(j)V(j) x(L(x)J(x)x(S(x)L(x)C(x) x(C(x)V(x)x(C(x)O(x)L(x) x(W(x)C(x)H(x) x(W(x)J(x)C(x) x(L(x)y(J(y)A(x,y)x(S(x)y(L(y)A(x,y),练习参考答案,所有教练员都是运动员；(J(x
13、)，L(x)某些运动员是大学生；(S(x)某些教练员是年老的，但是健壮的； (O(x)，V(x)金教练虽不年老，但不健壮；(j)不是所有运动员都是教练员；某些大学生运动员是国家选手；(C(x)没有一个国家选手不是健壮的；所有老的国家选手都是运动员；没有一位女同志既是国家选手又是家庭妇女 (W(x)，H(x)有些女同志既是教练员又是国家选手；所有运动员都钦佩某些教练员；(A(x, y)有些大学生不钦佩运动员。,(1) 如果明天下雨，则某些人将被淋湿,几个特别的例子,定义命题词P：明天下雨， M(x)：x是人，W(x)：x将被淋湿P x(M(x) W(x),(2) 有且仅有一个偶素数,A(x)：x是偶素数 x(A(x), y(A(y)x=y),或者,x(A(x)y(xyA(y),(3) 顶多只有一台机器是好的 A(x)：x是好机器,用符号 !xA(x) 表示有且仅有一个个体满足A,xy(A(x)A(y)x=y),用符号 !xA(x) 表示顶多有一个个体满足A,思考：用E(x)表示“x是偶数”， P(x)表示“x是素数”，公式会是怎么样？,(4) 如果人都爱美，则漂亮衣服有销路 M(x)：x是人，L(x)：x爱美， C(y)：y是衣服， B(y)：y是漂亮的，S(y)：x有销路,x(M(x)L(x) y(C(y)B(y) S(y),
