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1、非线性数学物理方程的格子Boltzmann建模与模拟,华中科技大学数学与统计学院复杂系统仿真中心Center for Simulation of Complex Systems施保昌Email: http:/,2009.10. 2010.08.19- 2011.09.,提 要,研究背景 流体运动的数学模型和数值方法 Lattice Boltzmann 方法(LBM)简介 LBM模拟：复杂流动与非线性系统 结语,1 研究背景,数学的地位；网络时代；三种基本语言； 复杂性科学与非线性 物理系统、生命系统与社会系统； 混沌、分形、孤立子 、湍流、斑图、螺旋波， 科学计算：第三种科学方法 验证与发现；
2、科学（高性能）计算：算法计算机； 美国基金委蓝带工作组报告：基于仿真的工程科学 高性能计算举世瞩目 HPCC、ASCI、IT2、 Blue Gene、美洲豹 高性能计算的水平已成为国家综合国力和国际竞争力的重要标志，是世界各国竞相争夺的战略制高点，已成为发展科学技术具有战略重要性的手段 天河一号（09第五）星云（10第二）,经典物理学最后的疑团？！,20世纪最重要的科学进展之一,科学计算：第三种科学方法,科学发现的重要手段,孤立子、混沌、CT等的发现；分子结构、化学物质,科学计算的核心：计算数学,计算机带来的物理学：孤子、遍历问题、混沌、MD、夸克禁闭，计算物理、计算生物学 ,美国基金委蓝带工
3、作组报告（2006）： 基于仿真的工程科学SBES,通过仿真实现工程科学的变革,SBES是一门为工程系统的仿真提供科学和数学基础的学科；其基本构件是计算与应用数学、工程科学和计算机科学；未来工程和科学的国家优先权，对于确保国家在科学和工程方面的继续领先至关重要；足以影响和改变二十一世纪工程科学的研究之路；仿真工程和计算科学是确保美国安全的基础；,拓展 世界技术评估中心（WTEC）报告（2009）：基于仿真的工程与科学SBE&S,SBE&S是SBES的拓展，体现了多学科（交叉）特性，它涉及用计算机建模与模拟来求解工程和自然系统的物理模型的数学问题；调查发现，国外的SBE&S活动很强，并且在某些战
4、略领域可与美国竞争或领先于美国。,美斥巨资打造国立数学研究所（科学时报 2010-8-19） 布朗大学获NSF1550万美元资助兴建计算与实验数学研究所,布朗大学数学教授Jill Pipher将出任该所所长一职，她表示：“强大高效的计算工具的出现，已经将数学研究的各个层面引领到了一个新的局面中。而ICEM要做的，就是支持和加强数学和计算科学的互动关系，以解决关系到国计民生的许多新的重大问题。” 她补充说，数学与计算科学交叉起来，会给社会带来许多好处。例如开发出更加先进的搜索引擎、安全通讯设备和尖端的路由器等。 ICEM已经开始与计算机行业的三大巨头谷歌、IBM和微软达成了合作共识。这三家公司会
5、分别派代表进驻研究所担任科学顾问，这意味着该所的研究成果将更有可能具有实际的应用价值，包括医疗、通信、金融服务以及国家安全等。 “与这些IT公司和数学界建立良好的合作关系，是ICEM成立的一个主要的目标。”应用数学教授Jan Hesthaven（该所副所长）说。 该所最重要的任务之一就是将迅猛发展的计算科学资本化。为了达到这个目的，研究者将寻求拓展计算与实验科学应用范围的方法，支持计算科学的理论研究，并解决计算机应用中产生的数学问题。 ,科学计算的核心计算数学 Computational Mathematics or Numerical Mathematics,随着科学计算的兴起和发展，几乎所
6、有的学科都在走向定量化和精确化，各种科技领域与科学计算的结合产生了一系列计算性的学科分支：计算物理、计算化学、计算生物学、计算流体力学、计算地质学、计算气象学(数值天气预报)、计算材料学、计算金融学、计算语言学等等，甚至出现了社会计算、经济计算与政策模拟和情感计算等研究领域，而其中计算数学是这一切新学科的理论基础、核心和联系纽带。 GPU,云计算,数学的地位与作用,数学教育本质上是一种素质教育,数学是一种语言、一个工具、一个基础、一门科学、 一门技术、一种文化，；高新技术本质上是一种数学技术李大潜：将数学建模思想融入数学类主干课程，中国大学数学，2006,CareerCast2009全美职业排
7、名,CareerCast2010全美职业排名,最佳职业榜 1) 数学家 2) 精算师 3) 统计师 4) 生物学家5) 软件工程师 6) 电脑系统分析师 7) 历史学家8) 社会学家 9) 工业设计师 10) 会计师,1) 精算师 2) 软件工程师 3) 系统工程师 4) 生物学家 5) 历史学家 6) 数学家 7) 律师助理 8) 统计学家 9) 会计师 10) 牙医助理 11) 哲学家 12) 气象学家 13) 科技文章撰写员 14) 银行主管 15) 网页设计师,从五个方面评估：工作环境、收入、就业前景、体力耗费、压力,福布斯杂志2010职场十大黄金硕士专业排行榜,助理医师 2) 计算机
8、科学 3) 土木工程 4) 数学 5) 物理学6) 信息技术 7) 人力资源管理 8) 经济学 9) 地质学 10)工商管理,中级劳动力薪酬中间值：96900美元预期就业增长率：22%就业成长，包括更换需求：51%普通职业：精算师、统计学家、高中老师,CareerCast2011全美职业排名排名 职业 薪酬(万美元)1 软件工程师 8.7；2 数学家 9.4；3 精算师 8.7；4 统计学家 7.3；5 计算机系统分析师 7.7；6 气象学家 8.5；7 生物学家7.4；8 历史学家 6.3；9 听力矫治专家 6.3；10 牙科护理员 6.7,李大潜院士：关于大力提倡和推动以问题驱动的应用数学
9、研究的建议,Date: Tue, 25 Jul 2006 09:19:44 +0800关于大力提倡和推动以问题驱动的应用数学研究的建议在数理科学部第三次科学基金项目研究成果报告会上的发言摘要：根据数学学科的特点，应该从更有利于学科发展的全局着眼，大力提倡和推动以问题（而不是以文献）驱动的应用数学研究，在新颖而丰富多彩的客观需求的推动下，迎接我国应用数学的跨越式发展。关键词：现代应用数学，问题驱动的应用数学研究,几类典型问题及计算（模拟）,元胞自动机CA分形Fractal复杂流动非线性数学物理方程： 对流扩散方程与反应扩散方程， 斑图、孤立子（波），,一种新科学 S. Wolfram,CA：一种
10、通用、有效的复杂系统建模方法或计算模型,1D CA Rule 90演化规则演化：,2D CAs,分形（Fractal）几何 Mandelbrot，英国的海岸线有多长,Science，1967,M-Set & J-Set,分形艺术,动力系统混沌,气象学家E. Lorenz, 1963年在一篇论文中提出一个貌似荒谬的论断：“一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。” （蝴蝶效应）,应用：混沌电路、通信、预测、优化、图像处理,复杂流动：湍流turbulence,大多数流动呈现湍流形态湍流（紊流）是一种高度复杂的三维非稳态、带旋转的不规则流动。在湍流中的流体的各种物理参数，如速
11、度、压力、温度等都随时间与空间发生随机的变化。从物理结构上说，可以把湍流看成是由各种不同尺度的涡旋叠合而成的流动，这些漩涡的大小及旋转轴的方向分布是随机的。晴空湍流、湍流尾流是引起飞行事故的主要元凶之一有效地描述湍流的性质至今仍然是物理学中的一个重大难题：“经典物理学最后的疑团”,复杂流动：湍流turbulence,凡高的激情绘画蕴涵湍流现象数学公式据英国泰晤士报2006年7月15日的报道，来自墨西哥国立自治大学的物理学家乔斯.阿拉贡经过研究发现，凡高的画作里出现的那些深浅不一的漩涡竟然和半个世纪后科学家用来描述湍流现象的数学公式不谋而合。 （星空、星星下有柏树的路、麦田上的乌鸦 等）阿拉贡表
12、示：“星夜和凡高其他充满激情的作品是他在陷入精神极不稳定的状态下完成的，这些作品抓住了湍流现象的本质。”,绕流问题: 卡门涡街,绕流问题: 卡门涡街,1940年11月7日上午在风的作用下坍塌的美国华盛顿州塔科玛海峡大桥,复杂流动： 多孔介质内流动(渗流)和传热,自然界和工程应用中最常见和最基本的现象之一自然界：岩石、土壤、动植物组织工程应用：过滤、催化、冷却等,孔隙结构复杂,脑动脉瘤血流动力学建模与模拟,动脉瘤形成、生长至破裂成因 两个学派：高流效应（High-flow effect）和低流效应（Low-flow effect）血流动力学建模：基于图像的个体化计算模型 image-based
13、patient-specific computational model挑战性问题：支架虚拟配置技术；血管模型和配置的支架的匹配；发展合适的边界条件（支架安放前、后）；较大的计算网格数学模型：不可压NS方程（牛顿、非牛顿流体）,Fig. Streamlines for the four aneurysm models, pre-stented case (top row), with Neuroform stent (second row), left helical stent (third row) and right helical stent (bottom row). Patient
14、 1: ad; Patient 2: eh; Patient 3: il; Patient 4: mp.,反应扩散系统：斑图动力学,斑图(Pattern)指的是在空间或时间上具有某种规律性的非均匀宏观结构，是由系统中微观参量之间以一定方式相互作用而导致的宏观量有序分布的状态，是由于体系内部决定的、自发的对称性破缺引起体系本身重新自组织的结果。在自然界中广泛存在着各式各样的斑图，例如，动物体表花纹、流体中的对流斑图、法拉第系统中的表面波斑图、化学反应系统中的斑图、细菌群体中的竞争与合作增长行为、非线性光学系统中的斑图以及气体放电中的斑图等。斑图动力学就是研究此类时空结构的自组织形成、选择、演化的
15、动力学共性。,动物体表花纹(斑图),动物体表花纹(斑图),螺旋波Spiral wave,螺旋波是系统远离平衡态时由于系统自组织形成的一类特殊斑图，在心肌、铂表面的CO氧化以及化学反应等系统中都能观测到螺旋波的存在它可能涉及到的领域包括数学 、物理 、力学、天文 、化学 、生物、医学等学科！螺旋波有时是有害的，例如在心肌中，螺旋波的存在会导致心动过速，在一些参数下，螺旋波 会自发失稳而进入时空湍流态 ，它的存 在被认 为是心室失颤的一种机制 ，而心室失颤会引发心脏猝死，这在疾病死亡中占有很高的比率因此，需要发展低振幅地、快速地控制和消除螺旋波与时空混沌的方法！,螺旋波模拟,t=100,t=500
16、,t=300,t=1000,螺旋波控制,螺旋波广泛存在于生物，物理，化学等诸多非线性体系中：如液晶中的Ising-Block相变，流体中的 Rayleigh-Benard对流，粘性霉菌群体的自组织演化，心脏中的电信号，铂金表面一氧化碳的氧化反应，反应扩散系统中的化学波等。不同体系中螺旋波的实例表明，螺旋渡的动力学行为存在跨系统的普适规律研究螺旋波跨系统的普适规律、失稳机制及其控制有着重要的科学理论价值和广泛的应用前景。,心肌组织表面的螺旋波,本图片由华南理工大学刘深泉教授提供,本图片由华南理工大学刘深泉教授提供,心肌组织表面的螺旋波的破碎,本图片由华南理工大学刘深泉教授提供,研究螺旋波的意义,
17、实验研究表明：心动过速(Tachycardia)及心颤(Fibrillation) 致死与螺旋波的自组织及螺旋波破裂有密切的关系。 正常的心脏由一个耙波源（窦房结）控制，耙波断开后产生螺旋波，对应于心率过速；螺旋波失稳至螺旋波湍流态，系统开始进入时空混沌，对应于心颤。而心颤致死的过程与螺旋波的失稳有密切的关系，怎样将心脏中的螺旋波肌电信号消除掉是当前心脏病学研究的热点之一，从控制的角度看，主要为电信号刺激、光照和药物刺激。,心脏系统内心肌电信号出现了螺旋波心律不齐，心动过速 螺旋波破碎引起缺陷湍流纤颤（Fibrillation）,可能引起猝死心脏疾病是人类最大的生命杀手，而纤颤致死是重要形式。
18、美国等用大量能力和经费研究心脏疾病控制。,螺旋波控制,除颤（Defibrillation）操作,大电压电击心脏外 5000V心脏内 100V病人痛苦，伤及心脏细胞和身体不考虑病人特点，效果差别大,低强度除颤 （Low-amplitude defibrillation） 研究纤颤不同机制，发展有针对性的除颤手段,孤立子（波） soliton,非线性PDE的一类稳定的、能量有限的不弥散解。即它能始终保持其波形和速度不变。孤立波在互相碰撞后，仍能保持各自的形状和速度不变，好像粒子一样，故又称之为孤立子，简称孤子。孤子的这种特性使之在等离子物理学、高能电磁学、流体力学和非线性光学等领域中得到广泛的应用
19、。1973年，孤立波被引入到光纤传输中。在频移时，由于折射率的非线性变化与群色散效应相平衡，光脉冲会形成一种基本孤子，在反常色散区稳定传输。由此，逐渐产生了新的电磁理论光孤子理论，从而把通信引向非线性光纤孤子传输系统这一新领域。光孤子就是能在光纤中传播的长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超大容量的光通信。,2.流动及非线性系统的 数学模型和数值方法,两种途径：微观与宏观方法流体运动的几个相关基本概念： 张量；应变率张量与旋转张量；质量力（体力）与表面力（面力）；应力张量；本构方程流体运动的基本方程组非线性数学物理方程： 对流扩散方程与反应扩散方程及扩展 两
20、类方程是描述自然现象的基本方程！,流体的描述方法,?,微观分子模型,统观连续模型,宏观与微观的桥梁,SKLCC,各种方法的适用范围,划分标准：系统的Knudsen数Kn=/l，刻画流体的连续特性,Kn,0.001,0.1,10.0,连续区,滑移区,过渡区,自由分子区,牛顿方程Boltzmann 方程,Burnett、super-Burnett ?Boltzmann 方程,NS + 滑移边界Boltzmann 方程,NS方程Boltzmann 方程,各种模型和方法的适用范围,介观模型(Boltzmann方程)可用于从自由分子流到连续流的跨尺度流动!,SKLCC,几个相关基本概念,张量(Tenso
21、r)速度分解：应变率(Strain)张量S与旋转张量A质量力（体力）与表面力（面力）应力(Stress)张量P本构关系（方程）constitutive relations,几个相关基本概念,n阶张量(Tensor),张量运算（乘法）,一阶、二阶缩并,(n+m阶张量),流体运动的基本方程组,流体运动的基本定律（力学）质量守恒律，动量平衡律，动量矩平衡律；（热力学）能量守恒律（第一定律），熵不等式（第二定律）补充方程：本构关系（方程），状态方程数学表达式：连续、动量及能量方程输运性质；雷诺输运定理初始条件与边界条件(定解条件)无量纲化,流体的输运性质,由非平衡态转向平衡态时物理量的传递性质，主要指
22、动量输运：粘滞现象 牛顿定律 能量输运：热传导现象 Fourier定律质量输运：扩散现象 Fick第一定律(单位面积的动量、热量或质量流量： 常数势梯度）,数学表达式：连续、动量及能量方程,雷诺输运定理连续动量能量(总能),流体运动的基本方程组: 等价形式,连续动量能量动能内能,不可压流体：,连续动量能量,流体运动的基本方程组,初始条件与边界条件无量纲化常用无量纲参数Reynolds, Rayleigh, Prandtl, Grashof Schmidt, Lewis, Richardson,初始及边界条件,2D空腔流 Lid-Driven Cavity Flow：,Geometry,u=U,
23、 v=0,u=0v=0,u=0v=0,u=0, v=0,L,无量纲化,NS方程：,非线性数学物理方程,对流扩散方程(质量守恒)反应扩散方程： 斑图动力学，螺旋波，Heat/Poisson/Burgers/sine-Gordon/Schrdinge/KGS /Dirac/Ginzburg-Landau/Zakharov System/KdV/ Buckley-Leveret/ 等诸多方程孤立子（波）：一类稳定的、能量有限的不弥散解，即它能始终保持其波形和速度不变。,非线性数学物理方程（特例）,对流方程(双曲守恒率)Klein-Gordon-Type方程： Poisson-Type方程Burgers-Type方程,
