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1、先看前例电路如下，当t=0时开关由1至2，系统输出为 电流，试确定电流i(t)及其导数在 t=0时刻前后的值。,即是要求t=0-与0+时刻电流及其导数的值。,由观察可知，t=0-时刻电路应处于稳定状态，于是,2.3 LTI系统的单位冲激响应,由前所讲已知，当-t时系统方程为,当t=0+时刻，由于电感电流不会突变，于是,可见，在当t=0时刻的前后，电路中状态发生了跳变。,即系统方程的右边出现冲激信号，t=0时刻的条件会发生跳变。,一、单位冲激响应,单位冲激响应h(t)是系统在零状态时，由单位冲激作用之下产生的输出响应。因此，它是一个零状态响应。,但是，单位冲激信号(t)仅在t=0时刻不等于0，当
2、t0时(t)=0，因此系统在t0时的响应是零输入响应的形式。,因此，在时域求解的情况下，hp(t)与t=0+时条件的确定成了h(t)求解的关键。,例如、设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。,1/解：此时方程应为, 求特征根，确定齐次通解。, 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可见， 中应有强度为1的冲激，而 中没有冲激存在，否则 中将有冲激的导数出现。因此， 中没有特解出现。,因为,所以, 由t=0+时刻的初始条件，确定待定系数。,所以,对于低阶方程的另一种解法是，将含待定系数的h(t) 代入方程，然后使方程两边相等以确定待定系数。,2/解：此时方程应为,
3、求特征根，确定齐次通解。, 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可设：在t=0时刻,于是在t=0时刻,将这两式代入以上方程,即有,于是在t=0时刻，系统的特解,B0u=- u表示在t=0时刻系统由于冲激作用引起的跳变，,跳变值B0= -1 。它是在单位冲激信号的作用下，系统在t=0+时刻建立起来的状态。利用此状态可以确定齐次响应中的待定系数。, 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。,所以,一般的，对于如下形式的微分方程,当NM，单位冲激响应中只有自由响应；当NM，则还有受迫响应分量：冲激和冲激的各阶导数。,例如 设系统方程如下，试求系统的单位冲激响应h(t)。
4、,解：此时方程应为, 求特征根，确定齐次通解。,所以t0时,或表示为：, 确定特解，并确定t=0+时刻的初始条件。,比较以上方程两边可设：在t=0时刻,于是在t=0时刻,由此得到，h(t)中特解等于0；将以上三式代入以下方程,所以,由此得到t=0+时刻的条件：, 确定齐次解中的待定系数，求出系统的单位冲激响应。,所以,二、离散时间系统的单位样值响应,单位样值响应h(n)是系统在零状态时，由单位样值信号作用之下产生的响应。因此，它是一个零状态响应。,同样，单位样值信号(n)仅在n=0时刻等于1，其它时刻(n)=0，因此系统在n0时的响应是零输入响应。,因为是差分方程的时域求解，除了有类似于以上单
5、位冲激响应求解的方法外，还可以用迭代法求解响应。,下面还是通过举例，说明单位样值相应的求解。,例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。,解、此时以上方程可以写成,解法一（迭代法）：将方程写成如下形式,考虑到系统是因果的和零状态的，当n=0,当n=1,当n=2,同样，在大多数情况下不易得到封闭的解。,解法二：,由因果性与零状态条件，通过迭代求得一组初始条件，进而求n0时的零输入响应。,设在n0以后,由以上,所以,求得,考虑到,所以,解法三：,方法二中的初始条件是由h(-2)=h(-1)=0和(0)=1迭代得来的。二阶系统，确定系数有两个条件足够，我们可以用n=-1和0时的条件，进而求n0时的零输入响应。,设在n0以后,将,作为条件,所以,例如：已知系统差分方程，求系统的单位样值响应h(n)。,解、此时以上方程可以写成,解法一：先用迭代法，求得h(0)=1，h(1)= -1/6 ，再,设在n0以后,因此,所以,解法二：,将以上方程看成是以下两方程的和,所以有,考虑到系统的线性与时不变性,系统的单位样值响应,由前例可知,所以,
