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1、力学竞赛辅导,材料力学,江汉大学机电建工学院,力学教研室,力学竞赛辅导 材料力学江汉大学机电建工学院力学教研室,一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他发现当地居民的确都是成双结队并且好像以某种相互配合的方式过桥。他觉得很奇怪，为什么 2 个人可以过桥而 1 个人却不能。等周围没有其它人时他想独自试试，结果没走到半程，就把独木桥压断了而掉入水中。,根据事后他的调查，小河宽 4 米，独木桥长 6米，如图 1所示横跨在小河上（支撑点可以认为是铰链约束）。独木桥采用当地的轻质木材做成，等截面，允许最大弯矩为M=600N.m 。为方便假设每人的体重均为 800N，而独木桥的重量不计
2、。请你分析一下：,一位游客在某处发现有座独木桥，上面写着：禁止独自一人过桥。他,1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ （3）当地居民过桥时两人需要进行配合，你认为两人应如何配合才能安全过桥？,1）本问题与力学中的什么内容有关系？ （2）如果一个,（1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：梁的弯曲、弯矩。 （2）如果一个人想过桥，最多能走多远？ 该问题简化为下图，设人从 B 向 A走去，载荷 P与 B 点距离为x，AB 间的距离为L。,易求出支座 B 点的约束力为 RB=P(L-x)/L则 AB 间最大弯矩为 M(x)=P(L-x)/ L 根据允许最
3、大弯矩为M 600N m ，有 P(L-x)x/L M 代入数据，解出 x 1， x 3,（1）本问题与力学中的什么内容有关系？ 关键词：梁的弯曲,例1. 图示为双杠之一梁, 每一梁由两根立柱支撑, 设两柱之间的跨度为l ; 每一梁具有两个外伸段, 设每一外伸段的长度均为a, 假定运动员在双杠上作动作时在每个梁上只有一个作用点, 力的作用线垂直于横梁. 试决定在双杠的设计中, l与a的长度的最佳比值, (即运动员在上运动时, 其上的弯矩值的变化最小) 设梁与立柱间的连接为铰接. (第二届题),解:,当运动员在中点时, 杠梁的最有最大弯矩为,当运动员在杠梁的两端时, 杠梁的立柱处根部最有最大弯矩
4、为Pa,例1. 图示为双杠之一梁, 每一梁由两根立柱支撑, 设两柱之,例2. 一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上. 钢筋单位长度的重量为q, 抗弯刚度为EI. 钢筋的一端伸出桌边B的长度为a.试求钢筋自由端A的挠度.,(第五届题),解:,考虑先满足MD = 0,计算模型如下图,为满足D = 0 , 则令,于是有:,例2. 一根足够长的钢筋放置在水平刚性平台上. 钢筋单位长度,例3. 求如下连续梁铰链处转角的间断值. (第三届题),对于AC梁的C点,对于BC梁的C点,例3. 求如下连续梁铰链处转角的间断值. (第三届题)对于A,例4. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h, 宽为b
5、, 长为l , 材料的弹性模量为E, 它们在自由端与刚性杆BD固接. (1) 试求截面K K 的轴力和弯矩; (2) 如果采用电测法测量截面K K 的轴力和弯矩, 试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.,解:,(1) 由整体平衡及两铜片相同的弯曲变形(不考虑轴向变化), 可推得A、C处水平力均等于F/2.,取AB片分析受力,又,(第五届力学竞赛试题),例4. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h,整体分析受力,同理可分析DC片得知,整体分析受力la同理可分析DC片得知,例4. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h, 宽为b,
6、长为l , 材料的弹性模量为E, 它们在自由端与刚性杆BD固接. (1) 试求截面K K 的轴力和弯矩; (2) 如果采用电测法测量截面K K 的轴力和弯矩, 试确定贴片与接线的方案(选择测量精度较高的方案)并建立由测试应变表示的内力表达式.,(2)采用全桥测量电路,a. 测弯矩电路,贴片如图,例4. 图示所示传感器, AB和CD为铜片, 其厚度为h,a. 测弯矩电路,(考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号),b. 测轴力电路,a. 测弯矩电路(考虑两侧弯曲应力和拉伸应力符号)b. 测轴,例5. 一半径为a、长为 l 的弹性圆轴,其弹性模量为E, 泊松比为 , 现将轴套在一刚性的厚管内, 轴和管之间
7、有初始间隙, 设轴受集中力F作用, 当F = F1 时轴与刚性壁恰好接触, 求F1 的值; 当F F1 后, 管壁和轴之间有压力, 记f 为摩擦系数, 这时轴能靠摩擦力来承受扭矩, 当扭矩规定为M时, 求对应的F值.,由胡克定律,在轴与管间由间隙到恰好接触时,(第三届力学竞赛试题),例5. 一半径为a、长为 l 的弹性圆轴,其弹性模量为E,由于圆筒是刚性的, 则圆轴的径向和环向不再改变,由胡克定律,上式中,上两式联立求解:,由均匀应力及平衡条件可知,当轴周边受径向压力由于圆筒是刚性的, 则圆轴的径向和环向不再,例5. 一半径为a、长为 l 的弹性圆轴,其弹性模量为E, 泊松比为 , 现将轴套在
8、一刚性的厚管内, 轴和管之间有初始间隙, 设轴受集中力F作用, 当F = F1 时轴与刚性壁恰好接触, 求F1 的值; 当F F1 后, 管壁和轴之间有压力, 记f 为摩擦系数, 这时轴能靠摩擦力来承受扭矩, 当扭矩规定为M时, 求对应的F值.,若此时轴上有扭矩M, 则扭矩M与轴承受的摩擦力偶矩保持平衡,例5. 一半径为a、长为 l 的弹性圆轴,其弹性模量为E,例6. 两种材料组成的矩形截面梁,其上部材料为I, 截面为A1 , 弹性模量为E1 ; 下部材料为II. 横截面为A2 , 弹性模量为E2 ,且E2 E1 ,如图示. 假设平面假定依然成立, 试推导在线弹性范围内,纯弯曲时横截面上正应力
9、的计算公式.,解,几何方程:,物理方程:,静力学关系:,横截面上有, 中性轴方程,对于同一材料, 中性轴方程(过截面形心),例6. 两种材料组成的矩形截面梁,其上部材料为I, 截面为A,变化图,变化图,A1 对中性轴的惯性矩,A2 对中性轴的惯性矩,由,变化图变化图A1 对中性轴的惯性矩A2 对中性轴的惯性矩,例7. 在半径为R的刚性圆柱面上, 放一平直的钢板BB, 两端作用对称载荷F. 钢板的弹性模量为E, 其厚度为h, 宽度为b, 在力F的作用下处于弹性小变形状态, 且R h. 求: (1) 钢板在开始接触圆柱面A点附近时的载荷F0 ; (2) 当F F0 , 钢板与圆柱面CAC接触时,
10、求B、C两点的挠度差WBC与载荷F的关系.,解:,(1) 钢板A处开始有变形,由,(2),对于C处,(B),例7. 在半径为R的刚性圆柱面上, 放一平直的钢板BB,(B),例8. 如图示, 为传递扭矩T, 将一实心圆轴与一空心圆轴以紧配合的方式连接在一起. 设两轴间均匀分布配合压强p , 摩擦系数为 , 实心轴直径为d , 空心轴的外径为D , 连接段长度为L, 两轴的材料相同. 求: (1) 两轴在连接段全部发生相对滑动时的临界扭矩值Tcr ;(2) 设初始内外轴扭矩均为零, 当传递的扭矩从零增加到 T = 2/3Tcr 时, 绘制内轴在连接段L的扭矩图. (假定材料力学关于圆轴扭转的公式全
11、部成立) ( 第四届力学竞赛题),解:,(1) 由题意可有:,取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力,例8. 如图示, 为传递扭矩T, 将一实心圆轴与一空心圆轴以,取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力,摩擦力偶集度,T2: 二轴无相对滑动时空心轴截面上的扭矩值,设二轴无相对滑动时实心轴截面上的扭矩值为T1,显然,由所给的条件可得:,考虑受力体的平衡,取实心轴及与其固连的部分空心轴分析受力摩擦力偶集度T2:,考虑受力体的平衡,考虑实心轴L1段受力,考虑受力体的平衡考虑实心轴L1段受力,实心轴扭矩图,空心轴扭矩图,如果T = Tcr,实心轴扭矩图,空心轴扭矩图,实心轴扭矩图空心轴扭矩图如果T =
12、 Tcr 实心轴扭矩图空心,例9. 如图示, 曲杆AB的轴线是半径为R的四分之一圆弧, 杆的横截面是直径为d的实心圆, d R , 杆的A端固结, B端自由, 并在B端作用有垂直于杆轴线所在平面的集中力F. 已知材料的拉压弹性模量为E, 剪切弹性模量为G, 许用拉应力为. (1) 试按第三强度理论,求许用载荷F (2) 求在载荷F的作用下, 自由端绕轴线的转角B . (第四届力学竞赛题),解:,(1) 取BC段曲梁分析平衡受力,当0 900 时,A处截面为危险截面,例9. 如图示, 曲杆AB的轴线是半径为R的四分之一圆弧,(2) 忽略剪力引起的变形,在B端沿轴向加一单位力偶T = 1,由平衡条
13、件:,由莫尔积分,对应截面上,(2) 忽略剪力引起的变形在B端沿轴向加一单位力偶T = 1,例10. 图示矩形截面梁, A端固支, B端铰支. 现设梁的下、上表面温度分别升高了T1和T2 , 且T1 T2 ,而温度沿截面的高度按线性变化. 试用能量法求截面B的转角.梁的尺寸如图, 材料的线胀系数为 . (第五届力学竞赛题),解 :,先求B处支反力,由例3可知,由简单载荷的挠度公式可得,例10. 图示矩形截面梁, A端固支, B端铰支. 现设梁的,亦由例3可知,另,由叠加法可得:,其中,亦由例3可知另,由叠加法可得:其中,例11: 一个体重为G的跳水运动员站在厚为2a, 长为L的悬臂梁跳板的端部
14、. 已知梁的许用应力为, 梁的刚度为EI. 试求他的允许起跳高度(第一届力学竞赛复试题),解:,由题意,应有:,由上式可解出最大起跳高度,例11: 一个体重为G的跳水运动员站在厚为2a, 长为L的悬,例12. 两根相同的梁AB、CD,如图示放置. 二者自由端间距 = Wl3/3EI . 当重为W的物件突然加于AB梁的B端时,求CD梁C点的挠度. (第三届力学竞赛题),解:,(梁自重不计),设C点的挠度为y,由题意及能量守恒原理,上式可简化为,解之,得:,例12. 两根相同的梁AB、CD,如图示放置. 二者自由端间,例13. 图示均质等截面直梁AB, 由高h处水平自由坠落在刚性的支座D上, 梁在
15、变形中仍处于弹性变形阶段.设梁长为2l , 梁的单位长重量为q , 梁的抗弯刚度为EI . 试求梁内的最大弯矩. (第五届竞赛试题),解:,这是一冲击载荷问题,由能量原理,对比教科书上,例13. 图示均质等截面直梁AB, 由高h处水平自由坠落在刚,由能量原理,梁内最大弯矩,由能量原理梁内最大弯矩,例14. 长为l 的悬臂梁, 在距固定端S处放一重量为W的重物, 重物与梁之间的摩擦系数为f , 在自由端处作用一力F. 求: (1) 什么条件下不加力F, 重物就能滑动? (2) 若需加力F才能滑动时, 力F的大小是多少? (第三届力学竞赛题),解:,(1) 求梁S处的转角,由自锁的条件可知,若滑动
16、, 应有:,即是重物,(2)考虑有F力时系统的临界平衡,此时, S处的转角为:,由,解之,例14. 长为l 的悬臂梁, 在距固定端S处放一重量为W的重,例15. 有一实心圆杆受力如图示. 已知直径d = 200(mm), F = 200 (kN), E = 200103 (MPa), = 0.3 , = 170(MPa). 已测得在杆的表面上K点处 45 = 3104 . 试用第四强度理论校核强度. (第三届力学竞赛题),解:,由杆件的受力状态,取K处单元体分析,由已知的轴向力,由此应力状态下的第四强度理论表达式,由应变转换公式,例15. 有一实心圆杆受力如图示. 已知直径d,例15 有一实心圆杆受力如图示. 已知直径d = 200(mm), F = 200 (kN), E = 200103 (MPa), = 0.3 , = 170(MPa). 已测得在杆的表面上K点处 45 = 3104 . 试用第四强度理论校核强度. (第三届力学竞赛题),另解:,由已知的轴向力,由应力变换公式:,由广义胡克定律:,例15 有一实心圆杆受力如图示. 已知直径d =,34,以上有不当之处，请大家给与批评指正，谢谢大家！,34,
