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1、2.1.3异面直线所成角 习题课,一、预备知识,角的知识,正弦定理a=2RsinA a=2RsinA,S,ABC,=,bc sinA,余弦定理,A,B,C,b,c,a,cosA=,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,3.步骤：,作（找）, 证,算,1.数学思想：,（2）补形法,可扩大平移的范围,借助于平面平移,（1）平移法,常用中位线平移,2.异面直线所成角的两种求法：,1、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线CM和D1N所成的角？,M,N,巩固练习:,
2、2、在正方体AC1中，M是B1B的中点，求异面直线A1M和B1D1所成的角？,M,巩固练习:,3、在正方体AC1中，M,N分别是A1A和B1B的中点，求异面直线A1C1和BD1所成的角？,巩固练习:,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,解法二：,如图，补一个与原长方体全等的 并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A
3、1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F，,A,D,C,B,A1,D1,C1,B1,练习1.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a.O为底面中心，F为DD1中点E在A1B1上,(1)求AF与OE所成的角,O,E,F,N,A,D,C,B,A1,D1,C1,B1,(2)若M为A1B1的中点，N为BB1的中点，求异面直线AM与CN所成的角；,N,M,F,E,4A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,G,解：连结DF，取DF的中点G，连结EG，CG，又E是A
4、D的中点，故EG/AF，所以GEC（或其补角）是异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,4A为正三角形BCD所在平面外一点，且AB=AC=AD=BC=a，E、F分别是棱AD、BC的中点，连结AF、CE，如图所示，求异面直线AF、CE所成角的余弦值。,P,另解:延长DC至P,使DC=CP，E为AD中点，AP/EC。,故PAF(或其补角)为异面直线AF、CE所成的角。,异面直线AF、CE所成角的余弦值是,练习1：如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线
5、段EF的长。,解：假设EF与PC不是异面直线, 则EF与PC共面由题意可知其平面为PBC,这与已知P为ABC所在平面外一点矛盾,练习1.如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。,为EF与PC所成的角或其补角,EF与PC所成的角为,练习1.如图，P为ABC所在平面外一点，PCAB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。 （1）求证：EF与PC为异面直线；（2）求EF与PC所成的角；（3）求线段EF的长。,A,D,C,B,F,E,2.在三棱锥A-BCD中AD
6、=BC=2a，E，F分别是AB，CD的中点EF= ，求AD和BC所成的角,M,EMF=120,AD和BC所成的角为60,切记:别忘了角的范围!,P,A,B,C,M,N,3.空间四边形P-ABC中，M，N分别是PB，AC的中点，PA=BC=4，MN=2，求PA与BC所成的角？,变：PA=BC=4 ，PA与BC所成的角为60 ,求MN= ？,4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD =CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点,B,C,D,M,N,A,（1）求异面直线AB、MN所成的角。,o,4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a, M 、 N分别
7、是BC、AD的中点,B,C,D,M,N,A,o,（1）求异面直线AB、MN所成的角。,（2）求异面直线AB、CD所成的角。,4.已知空间四边形ABCD中，AB=AC=AD=BC=BD=CD=a, M 、 N分别是BC、AD的中点,B,C,D,M,N,A,（1）求异面直线AB、MN所成的角。,（2）求异面直线AB、CD所成的角。,（3）求异面直线AM、CN所成的角。,E,变式1.已知空间四边形ABCD中，AD=BC, M 、 N分别是AB、CD的中点,B,C,D,M,N,A,（1） M N= AD,求异面直线AD 与BC所成的角。,（1） M N= AD,求异面直线AD 与BC所成的角。,变式2
8、.如图，在三棱锥DABC中， DA平面ABC，ACB = 90，ABD = 30，AC = BC，求异面直线AB 与CD所成的角的余弦值。,A,B,C,D,变式3如图，a、b为异面直线，直线a上的线段AB=6cm，直线b上的线段CD=10cm， E、F分别为AD、BC的中点，且EF=7cm，求异面直线a与b所成的角的度数,a,b,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1.求异面直线所成的角是把空间角转化为平面角，体现了化归的数学思想。,2.用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,
