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1、17.1勾股定理,4,4,8,SA+SB=SC,C,图甲,1.观察图甲，小方格的边长为1.正方形A、B、C的面积各为多少？,正方形A、B、C的 面积有什么关系？,C,图乙,2.观察图乙，小方格的边长为1.正方形A、B、C的面积各为多少？,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系？,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,图乙,2.观察图乙，小方格的边长为1.,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面积有什么关系？,4,4,8,SA+SB=SC,图甲,a,b,c,a,b,c,3.猜想a、b、c 之间的关系？,a2 +b2 =c2,勾股定理(毕达哥拉斯定理)
2、（gougu theorem）,如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么,即直角三角形两直角边的平方和等于 斜边的平方.,a,c,勾,弦,b,股,在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为勾，下半部分称为股。我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”.,用拼图法证明,用拼图法证明,S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab,a2+b2+2ab=c2+2ab,a2 +b2 =c2,a2+b2+2ab,c2+2ab, c2= 4ab/2 +(b-a)2,=2a
3、b+b2-2ab+a2,=a2+b2,a2+b2=c2,大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为,c2,4ab/2+(b- a)2,勾股定理的验证,赵爽弦图,美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。,有趣的总统证法,结论变形,直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方；,c2=a2 + b2,勾股定理的应用,例：求出下列直角三角形中未知边的长度,解：由勾股定理得：,x2 =36+64,x2 =100,x2=62+82, x=10, x2+52=132, x2=132-52,x2 =169-25,x
4、2 =144, x=12, x 0, x 0,3.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.,81,144,x,y,z,例.在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.,例题分析,(1)在直角三角形中,已知两边,可求第三边;(2)可用勾股定理建立方程.,方法小结,、如图:一个高3 米,宽4 米的大门,需在相对角的顶点间加一个加固木板,则木板的长为 ( ),A.3 米 B.4 米 C.5米 D.6米,C,试一试:,、隔湖有两点A、，从与A方向成直
5、角 的BC方向上的点C测得CA=13米,CB=12米,则AB为 ( ),A.5米 B.12米 C.10米 D.13米,13,12,?,A,试一试:,、一个直角三角形的三边长为三个连续偶数,则它的三边长分别为 ( ),A 2、4、6, 4、6、8,B,试一试:, 6、8、10, 8、10、12,5 或,、已知：RtBC中，AB，AC,则BC的长为 .,试一试:,课堂练习： 一判断题. 1.ABC的两边AB=5,AC=12,则BC=13 ( ) 2. ABC的a=6,b=8,则c=10 ( ) 二填空题 1.在 ABC中, C=90,AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_.,24,
6、4.8,A,B,C,D,二填空题 1.在 ABC中,C=90, (1)若c=10,a:b=3:4,则a=_,b=_. (2)若a=9,b=40,则c=_. 2.在 ABC中, C=90,若AC=6,CB=8,则ABC面积为_,斜边为上的高为_.,6,8,41,24,4.8,1、如图，受台风麦莎影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？,应用知识回归生活,2、如图:是一个长方形零件图,根据所给的尺寸,求两孔中心A、B之间的距离,40,应用知识回归生活,例已知:如图,等边ABC的边长是 6 . (1)求高AD的长; (2)求SABC .,例题分析,3,6,?
7、,已知:如图,等边ABC的高AD是 . (1)求边长; (2)求SABC .,练一练,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,D,A,蚂蚁沿图中的折线从A点爬到D点，一共爬了多少厘米？（小方格的边长为1厘米）,G,F,E,提示,构造直角三角形,勾股小常识：勾股数 1、 a+b =c，满足(a,b,c)=1,a,b,c为基本勾股数.如：3、4、5 ; 5、12、 13;6、8、10；7、24、25 2、如果a,b,c是一组勾股数，则ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数，如：6、8、10；9、12、15 3、一组勾股数中必有一个数是5倍数。,勾股定理的应用,试一
8、试：,在我国古代数学著作九章算术中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？,D,A,B,C,探究1,一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?,2m,D,C,A,B,连结AC,在RtABC中,根据勾股定理,因此,AC= 2.236因为AC_木板的宽,所以木板_ 从门框内通过.,大于,能,探究2,A,C,O,B,D,一个3m长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AO上,这时AO的
9、距离为2.5m,如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m吗?,A,C,O,B,D,分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD. 在RtAOB中,梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_.,在RtAOB中，,在RtCOD中，,ODOB = 2.236 1.658 0.58,0.58 m,如图，在ABC中，AB=AC，D点在CB延长线上，求证：AD2-AB2=BDCD,证明：,过A作AEBC于E,E,AB=AC，BE=CE,在Rt ADE中，,AD2=AE2+DE2,在Rt ABE中，,AB2=AE2+BE2, AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2
10、),= DE2- BE2,= (DE+BE)( DE- BE),= (DE+CE)( DE- BE),=BDCD,观察下列表格：,请你结合该表格及相关知识，求出b、c的值.即b= ，c=,84,85,如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于cm，cm和cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？,B,A,二、圆柱(锥)中的最值问题,例2、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？,A,B,分析：由于老
11、鼠是沿着圆柱的表面爬行的，故需把圆柱展开成平面图形.根据两点之间线段最短，可以发现A、B分别在圆柱侧面展开图的宽1m处和长24m的中点处，即AB长为最短路线.(如图),例4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？,分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况(如图 ),由勾股定理可求得图1中AC1爬行的路线最短.,三、长方体中的最值问题,如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使A与B重合，折痕为DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的长吗？,C,如图,把长方形纸片ABCD折叠,使顶点A
12、与顶点C重合在一起,EF为折痕。若AB=9,BC=3,试求以折痕EF为边长的正方形面积。,如图，有两棵树，一棵高8m，另一棵高2m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （ ） A.7m B.8m C.9m D.10m,8m,8m,2m,在等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面积和AC边上的高。,A,B,C,D,13,13,10,H,提示：利用面积相等的关系,练习,如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求AC的长。,解：,ABD=90，DAB=30,BD= AD=4,在RtABD中,根据勾股定理,在RtABC中，,又
13、AD=8,聪明的葛藤 葛藤是一种刁钻的植物，它自己腰杆不硬，为了得到阳光的沐浴，常常会选择高大的树木为依托，缠绕其树干盘旋而上。如图(1)所示。 葛藤又是一种聪明的植物，它绕树干攀升的路线，总是沿着最短路径螺旋线前进的。若将树干的侧面展开成一个平面，如图（2），可清楚的看出葛藤在这个平面上是沿直线上升的。,（1）,（2）,数学奇闻,有 一棵树直立在地上，树高2丈，粗3尺，有一根葛藤从树根处缠绕而上，缠绕7周到达树顶，请问这根葛藤条有多长？（1丈等于10尺）,A,B,C,20尺,37=21（尺）,聪明的葛藤,小结：,1、利用数格子的方法，探索了以直角三角形三边为边长的正方形面积的关系（即两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积）,A的面积+B的面积=C的面积,a2+b2=c2,实际问题,直角三角形的问题,数学问题,利用勾股定理,抽象,归类,解决,建构活动,证法五：（欧几里得证法公元前3世纪）,“新娘的轿椅”或“修士的头巾”,如图，Rt ABC中，ACB=90，四边形ACHK、BCGF、ABED都是正方形，CNDE，连接BK、CD。,同理：S 正方形BCGF = S 四边形BENM,再 见,
