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1、课件,1,第3章 解线性方程组的迭代法,迭代法的基本思想是，把n元线性方程组,（3.1）,或,Ax=b,改写成等价的方程组,，或x=Mx+g,迭代法是从某一取定的初始向量x(0)出发,按照一个适当的迭代公式 ,逐次计算出向量x(1), x(2),使得向量序列x(k)收敛于方程组的精确解.迭代法是一类逐次近似的方法.其优点是,算法简便,程序易于实现.,课件,2,由此建立方程组的迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+g , k=0,1,2, (3.2)其中M称为迭代矩阵。,对任意取定的初始向量x(0),由(3.2)式可逐次算出迭代向量x(k),k=1,2,如果向量序列x(k) 收敛于x*,由(3.2
2、)式可得,x*=Mx*+g,从而x*是方程组x=Mx+g的解,也就是方程组Ax=b的解.,这种求解线性方程组的方法称为迭代法 ,若迭代序列x(k)收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散.,1 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法,Jacobi方法是由方程组(3.1)中第k个方程解出x(k),得到等价方程组:,课件,3,从而得迭代公式,课件,4,式(3.3)称为Jacobi迭代法,简称为J迭代法.,则J迭代法可写成 x(k+1)=Bx(k)+g k=0,1,2,可见 ,J迭代法的迭代矩阵为,若记,J法也记为,课件,5,G-S迭代法也可记为,式(3.4)称为Gauss-Seidel迭
3、代法,简称为G-S迭代法.,若在J迭代法中,充分利用新值, 则可以得到如下的迭代公式,课件,6,方程组的精确解为x*=(1,1,1)T.,解 J迭代法计算公式为,例1 用J法和G-S法求解线性方程组,取初始向量x(0)=(0,0,0)T,迭代可得,计算结果列表如下:,课件,7,可见,迭代序列逐次收敛于方程组的解, 而切迭代7次得到精确到小数点后两位的近似解.,G-S迭代法的计算公式为:,课件,8,同样取初始向量x(0)=(0,0,0)T, 计算结果为,由计算结果可见,G-S迭代法收敛较快.取精确到小数点后两位的近似解,G-S迭代法只需迭代3次,而J迭代法需要迭代7次.,课件,9,为了进一步研究
4、,从矩阵角度来讨论上述迭代法.,对线性方程组Ax=b,记,D=diag(a11,a22,ann),则有 A=D-L-U,于是线性方程组 Ax=b 可写成 (D-L-U)x=b,等价于 Dx=(L+U)x+b 或 x=D-1(L+U)x+D-1b,课件,10,由此建立J迭代法迭代公式 x(k+1)=D-1(L+U)x(k)+D-1b k=0,1,2,或写成 x(k+1)=Bx(k)+g k=0,1,2,其中,G-S迭代法迭代公式可写成 x(k+1)=D-1Lx(k+1)+D-1Ux(k)+D-1b,课件,11,讨论迭代法 x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,Dx(k+1)=Lx(k+1
5、)+Ux(k)+b,(D-L)x(k+1)=Ux(k)+b,x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b,所以G-S迭代法可以写成 x(k+1)=Gx(k)+g k=0,1,2,其中,G=(D-L)-1U , g=(D-L)-1b,2 迭代法的收敛性,的收敛性.,课件,12,记误差向量e(k)=x(k)-x*,则迭代法收敛就是e(k)0.,由于,x(k+1)=Mx(k)+g k=0,1,2,x*=Mx*+g k=0,1,2,所以,e(k+1)=Me(k) , k=0,1,2,递推可得,e(k)=Mke(0) , k=0,1,2,可见,当k时, e(k)0 Mk O.,对任意初始向量
6、x(0),迭代法收敛(M)1.,定理3.1,证 若Mk0, 则k(M)=(Mk)Mk0,所以(M)1.,若(M)0,使得(M)+1.则MkMk (M)+)k 0.,课件,13,若M1,则对任意x(0),迭代法收敛,而且,定理3.2,证 由于 x(k+1)=Mx(k)+g x(k)=Mx(k-1)+g x*=Mx*+g,所以 x(k+1) -x(k)=M(x (k) -x(k-1) ) , x(k+1) x*=M(x (k) x* ),于是有 x(k+1) -x(k) Mx (k) -x(k-1) x(k+1) x*Mx (k) x*,x(k+1) -x(k) =(x (k+1) x* )-(x
7、(k) x* ) x (k) x*-x(k+1) x*,课件,14,x(k+1) -x(k) =(x (k+1) x* )-(x(k) x* ) x (k) x*-x(k+1) x*,(1-M)x(k) x*,所以,定理3.2只是收敛的充分条件,并不必要,如,则M1=1.2,M=1.3,M2=1.09,MF=1.17,但(M)=0.81,所以迭代法是收敛的.,由(3.5)式可见,M越小收敛越快,且当x (k) -x(k-1) 很小时,x(k) x*就很小,实际上用x (k) -x(k-1) 作为,课件,15,迭代终止的条件.例如,x (6) -x(5) =0.011339,x(7) x(6)=
8、0.0056695,由(3.6)式可得:,课件,16,若使x(k) x* ,只需,可以事先估计达到某一精度需要迭代多少步., 即,用J迭代法求例1中方程组的解,取x(0)=(0,0,0)T,若使误差x(k)-x*10-5,问需要迭代多少次?,解 由例1知,x(1)=(1.4,0.5,1.4)T,于是有,x(1)-x(0)=1.4 ,B=0.5 .,例2,k应满足,故取k=19, 即需要迭代19次.,课件,17,3 J迭代法和G-S迭代法的收敛性,定理3.3 J迭代法收敛(B)1;若B1J迭代法收敛; G-S迭代法收敛(G)1;若G1 G-S迭代法收敛;,定义3.1 若n阶矩阵A=(aij)满足
9、:,则称矩阵A是严格对角占优矩阵.,引理 若A是严格对角占优矩阵, 则det(A)0.,证 A=D-L-U=D(E-D-1(L+U)=D(E-B),课件,18,因此, (B)B1,故=1不是B的特征值,det(E-B)0.,定理3.4 设A是严格对角占优矩阵,则解线性方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法均收敛.,因为A是严格对角占优矩阵, 所以det(D)0, 而且,所以, det(A)0.,证 由于B1, 所以J迭代法收敛.,设是G的任一特征值, 则满足特征方程,课件,19,det(E-G)= det(E-(D-L)-1U) = det(D-L)-1)det(D-L)-U)=0,所以有 d
10、et(D-L)-U)=0,若|1, 则矩阵(D-L)-U 是严格对角占优矩阵, 这与 det(D-L)-U)=0矛盾, 所以|1,于是(G)1.,定理3.5,设A 是对称正定矩阵, 则解方程组Ax=b的 (1)J迭代法收敛2D-A也正定; (2)G-S迭代法必收敛.,课件,20,试建立一个收敛的迭代格式,并说明收敛性.,解 按如下方法建立迭代格式,例3 已知解线性方程组,由于迭代矩阵的行范数小于1,故此迭代法收敛.,课件,21,课件,22,课件,23,课件,24,课件,25,课件,26,课件,27,课件,28,课件,29,课件,30,课件,31,设线性方程组,(1)写出Jacobi法和SOR法的迭代格式(分量形式); (2)讨论这两种迭代法的收敛性. (3)取初值x(0)=(0,0,0)T,若用Jacobi迭代法计算时,预估误差x*-x(10) (取三位有效数字).,课堂练习,(2)因为A是严格对角占优矩阵,但不是正定矩阵,故Jacobi法收敛,SOR法当01时收敛.,解 (1)Jacobi法和SOR法的迭代格式分别为,(3)由(1)可见B=3/4,且取x(0)=(0,0,0)T,经计算可得x(1)=(1/4,-2/5,1/2)T,于是x(1)-x(0)=1/2,所以有,
