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1、一、罗尔定理与拉格朗日定理,中值定理是联系 与 f 的桥梁.有了中值定理, 就可以根据 在区间上的性质来得到 f 在该区间上的整体性质.,数学分析 第六章微分中值定理及其应用,二、函数单调性的判别,*点击以上标题可直接前往对应内容,一、罗尔定理与拉格朗日定理 中值定理是,罗尔定理与拉格朗日定理,那么在开区间(a, b)内必定(至少)存在一点, 使,(i) 在闭区间 a, b 上连续;,(ii) 在开区间 (a, b) 上可导;,(iii) f(a) = f(b).,后退 前进 目录 退出,罗尔定理与拉格朗日定理,定理6.1（罗尔中值定理）罗尔定理与拉格朗日定理那么在开区间,(1) 几何意义,据
2、右图,平的.,一点处的切线也是水,看出, 曲线上至少有,由几何直观可以,所以线段 AB 是水平,因为,f (a) = f (b),的.,罗尔定理与拉格朗日定理,(1) 几何意义据右图, 平的.一点处的切线也是水 看出,(2) 条件分析,定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不,在 0, 1 上满足条件 (ii) 和,一定成立.,数在 (0, 1) 上的导数恒为1.,但条件 (i) 不满足,该函,(iii),罗尔定理与拉格朗日定理,结论不成立.,(2) 条件分析定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不在,满足条件 (i) 和 (iii),条件 (i) 和 (ii),满足,处不可导),(ii)
3、 却遭到破坏 ( f 在 x = 0,内的导数恒为1.,却遭到破坏,但条件,结论也不成立.,但条件 (iii),该函数在 (0, 1),罗尔定理与拉格朗日定理,结论也不成立.,满足条件 (i) 和 (iii), 条件 (i) 和 (ii,条件都不满足,f (0)=0.,理的三个条件是充分,条件, 而不是必要条件.,却仍有,这说明罗尔定,罗尔定理与拉格朗日定理,下面证明定理,因为 f (x) 在 a, b 上连续,小值 m .,f (x) 在 a, b 上能取得最大值 M 和最,所以由连续函数的最大、,最小值定理,下面分两种情形加以讨论.,-1O121234条件都不满足, f (0)=0. 理的
4、三,情形1 M = m.,f () = 0 .,此时可在 (a, b) 内随意取一点 , 就有,此时 f (x) 恒为常数,它的导函数恒,等于零,罗尔定理与拉格朗日定理,情形2 m M.,使得,大值不在端点取到,值与最小值至少有一个不在端点取到.,既然最大、最小值不等,从而最大,不妨设最,故存在,因为在区间内部取到的最大值一定是极大值,所以,由费马定理,得,情形1 M = m. f () = 0 . 此时可在,这与条件矛盾.,例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p(x) = 0 没有实,证,重数为 1 .,根, 则方程 p(x) = 0 至多有一个实根，且这个根的,罗尔定理与拉格朗日定
5、理,矛盾.,这与条件矛盾.例1 设 p(x) 是一个多项式, 且方程 p,设函数 f (x) 满足：,(i) f (x) 在闭区间 a, b 上连续;,(ii) f (x) 在开区间 (a, b) 内可导.,那么在开区间 内 ( 至少 ) 存在一点 , 使得,可见，罗尔定理是拉格朗日定理的一个特例.,罗尔定理与拉格朗日定理,定理6.2（拉格朗日中值定理）设函数 f (x) 满足：(i,几何意义 如右图，,用平行推移的方法,曲线上至少在一点,连线的斜率为,y = f (x) 的两个端点 A, B,处的切线与 AB 平行,曲线,罗尔定理与拉格朗日定理,几何意义 如右图，用平行推移的方法,曲线上至少
6、在一点连线的斜,定理的证明 设,可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件,使,即,所以,罗尔定理与拉格朗日定理,定理的证明 设可以验证F(x) 满足罗尔定理的三个条件,罗尔定理与拉格朗日定理,拉格朗日公式有几个等价的表示形式：,读者可以根据需要选用 .,另外，拉格朗日公式对b a 仍然成立，,于a与b之间的一个常数.,此时 是介,罗尔定理与拉格朗日定理拉格朗日公式有几个等价的表示形式：读者,设 在区间 I上的导函数 ,是一个常值函数.,证,在x1, x2上满足拉格朗日定理的条件,这就是说, 在区间I上的任何两个值都相等,所以为常值函数.,对于区间 I上的任何两点 与 , ,则有,罗尔定理与拉格
7、朗日定理,则,推论1 设 在区间 I上的导函数,罗尔定理与拉格朗日定理,推论2 推论3（导数极限定理） 罗尔定理与拉格朗日定理,对上式两边求极限，便得,证 分别按左右极限来证明.,罗尔定理与拉格朗日定理,对上式两边求极限，便得证 分别按左右极限来证明.罗尔定理与拉,罗尔定理与拉格朗日定理,罗尔定理与拉格朗日定理,f (x) 在区间 I 上一致连续.,证,对于任意正数 ,故 在 I上一致连续.,取,对任意的,只要 , 便有,罗尔定理与拉格朗日定理,例2设 f(x)在区间 I 上可微, 且, 则函,显然 在区间 上,满足拉格朗日定理的条件，,和 时, 显然不为零,故有,事实上, 当,严格不等,式成
8、立.,罗尔定理与拉格朗日定理,例3证明: 证设 显然 在区间,当 时，,罗尔定理与拉格朗日定理,当 时，罗尔定理与拉格朗日定理,例4.证明等式,证 设,由推论1可知,令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,自证:,注,要证,时,只需证在 I 上,罗尔定理与拉格朗日定理,例4.证明等式证 设由推论1可知令 x = 0 , 得又故,求证:,从而,因为 ,所以,罗尔定理与拉格朗日定理,例5设 在区间上可微, 且求证:证任取,中值点的讨论.,显然, 与 x 有关, 当时, 却未必也趋,2.若 在 上可微, 上连续,意,向于 .,而不是,1. 一般来说, 中值点 , 仅指,则对任,罗尔
9、定理与拉格朗日定理,中值点的讨论.显然, 与 x 有关, 当时, 却,因,变为,当 x 趋于 时, 不趋于 , 而是趋于 1.,罗尔定理与拉格朗日定理,因例6 设由拉格朗日中值定理变为123456789100.,3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, a, b 上连续,存在,容易猜测 .,这实际上是不成立的. 请看下面的例题.,当 时, 必有.,则对于任意,从等式,使,罗尔定理与拉格朗日定理,3.若 f (x) 在(a, b) 上可微, a, b,例7 设,易见 f 满足拉格朗日中值定理的条件,约去 x,因此对每个 x 0 ,罗尔定理与拉格朗日定理,我们得到,例7 设易见 f 满足拉格朗
10、日中值定理的条件,约去 x,由于, 有,因,罗尔定理与拉格朗日定理,由于, 有因罗尔定理与拉格朗日定理,函数单调性的判别,改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 (减).,下面的定理是本节中的两个主要定理, 今后将不,若函数,断地使用.,若“”,函数单调性的判别,函数单调性的判别改为严格不等号, 则相应地称它为严格增 (减,证,即,函数单调性的判别,定理6.3证即函数单调性的判别,可微函数 f (x) 在区间 I 上严格递增的充要条件是：,证 充分性,满足 的点集不含一个区间.,矛盾.,必要性请读者自证.,函数单调性的判别,因此,定理6.4可微函数 f (x) 在区间 I 上严格递增的充要,注
11、 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.,在实际应用中我们经常会用到下面这个事实.,作为应用，下面再举两个简单的例子.,函数单调性的判别,推论 注 请读者写出相应于递减和严格递减的判别定理.在实际,例8 求证,证,即,函数单调性的判别,例8 求证证即函数单调性的判别,例9 设 f (x) = x 3 x. 讨论函数 f 的单调区间.,解 由于,因此,函数单调性的判别,例9 设 f (x) = x 3 x. 讨论函数,函数单调性的判别,-1.5-1-0.50.511.5-1.5-1-0.5O0.,使得,由此可知, a, b 上的连续函数 , 其最大值必在,证 令 F(x) = f (x) k
12、x,费马定理,只要证明 F(x) 在 (a, b) 上有极值点即可.,由于,根据,函数单调性的判别,则 F (x) = f (x) k .,由费马定理得,定是极大值,某一点 c (a, b) 处取得.,区间内取得的最大值一,即,使得由此可知, a, b 上的连续函数 , 其最大值,函数单调性的判别,推论函数单调性的判别,是介,如果 f 在 a, b 上可导,且,之间的任一实数，,达布 ( Darboux,J.G. 1842-1917, 法国 ),则至少存在,函数单调性的判别,定理6.5（达布定理）是介如果 f 在 a, b 上可导,的证明相比较.,罗尔定理证明的主要方法是什么? 试与达布定理,的证明相比较. 罗尔定理证明的主要方法是什么?,
