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1、13.1 拉普拉斯变换,一、拉氏变换(Laplace transformation)的定义,象函数(transform function) F(s),原函数(original function) f(t) t 0,),时域(time domain),复频域 (complex frequency domain),复频 率 (complex frequency),第1页/共59页,13.1 拉普拉斯变换一、拉氏变换(Laplace,定义式,(Laplace transformation),(inverse Laplace transformation),第2页/共59页,拉氏变换对记号Lf(t)表
2、示取拉氏变换L-1 F(s),积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。,积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。,0+ 拉氏变换和0拉氏变换的区别,象函数F(s) 用大写字母表示 ，如 I(s)，U(s),原函数f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t ),注意,为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变换定义式中积分下限从 0- 开始,第3页/共59页,积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。积分下限从0+,二、拉氏变换存在条件,不同的 f (t)，0的值不同，称 0为复平面s内的收敛横坐标。,第4页/共59页,二、拉氏变换存在条件不同的 f (t)，0的值不同
3、，称 ,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,第5页/共59页,电工中常见信号为指数阶函数，即 由于单边拉氏变,= 1,13.2 常用函数的拉普拉斯变换,第6页/共59页,= 113.2 常用函数的拉普拉斯变换第6页/共59页,第7页/共59页,第7页/共59页,求图示两个函数的拉氏变换式,解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个函数的拉氏变换 式相同,返回目录,第8页/共59页,1f1(t)e-tt0求图示两个函数的拉氏变换式1f2(t,13.3 拉普拉斯变换的基本性质,一、线性(linearity)性质,例1,
4、例2,例3,第9页/共59页,13.3 拉普拉斯变换的基本性质一、线性(linearit,二、原函数的微分(differentiation),例1,例2,第10页/共59页,二、原函数的微分(differentiation)例1例2第,三、原函数的积分(integration),例,第11页/共59页,三、原函数的积分(integration)例第11页/共59,四、时域平移(time shift),平移,不是平移,第12页/共59页,四、时域平移(time shift)f(t) (t-t0),例1 求图示函数的拉氏变换式,例2 求图示函数的拉氏变换式,第13页/共59页,例1 求图示函数的拉
5、氏变换式例2 求图示函数的拉,例3 周期函数(periodic function)的拉氏变换,设f1(t)为第一个周期的函数,第14页/共59页,例3 周期函数(periodic function),五、 复频域平移(frequency shift),第15页/共59页,五、 复频域平移(frequency shift)第15页/,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,例1,例2,例3,第16页/共59页,六、初值(initial-value)定理和终值(final,例1,例2,例3,返回目录,第17页/共59页,例1例2例3返回目录第17页/共59页
6、,13.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,(1)利用公式,(2)经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将F(s)进行部分分式展开(partial-fraction expansion),f(t)=L-1F(s),较麻烦,第18页/共59页,13.4 拉普拉斯反变换一、由象函数求原函数(1)利用公,等式两边同乘(s-s1),第19页/共59页,等式两边同乘(s-s1)=0第19页/共59页,ki也可用分解定理求,等式两边同乘(s-si),，应用洛比达法则求极限,第20页/共59页,ki也可用分解定理求等式两边同乘(s-si)，应用洛比达法则,例1,第21页/共59页,例1
7、第21页/共59页,例2,用分解定理,例3,m n，用长除法，得,第22页/共59页,例2用分解定理例3m n，用长除法，得第22页/共59页,k1 , k2也是一对共轭复数,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出 k1 , k2,设,第23页/共59页,k1 , k2也是一对共轭复数假设只有两个根可据前面介绍的两,例,法一：,部分分式展开，求系数,第24页/共59页,例法一：部分分式展开，求系数第24页/共59页,法二：,将F2(s)改写为(s )2 + 2,第25页/共59页,法二：将F2(s)改写为(s )2 + 2第25页/共,等式两边乘,第26页/共59页,等式两边乘第26页/共
8、59页,例1,例2,等式两边乘,第27页/共59页,例1例2等式两边乘第27页/共59页,第28页/共59页,第28页/共59页,一般多重根情况,返回目录,第29页/共59页,一般多重根情况返回目录第29页/共59页,一、电路元件的运算形式(operator form),电阻R,u = R i,13.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,第30页/共59页,一、电路元件的运算形式(operator form)电阻Ru,电感L,第31页/共59页,电感LiL+ uL -L+ -sLUL(s)IL,电容C,第32页/共59页,电容C + uC -iCIC(s)1/,互感M,第33页/共59页,互
9、感M 取拉氏ML1L2i1i2+u1-+u2-+U2(s),受控源,二、电路定律的运算形式,第34页/共59页,受控源+-U1(s)+- RI1(s)U1(s)+-U2(,设电路无初始储能,运算形式的欧姆定律,第35页/共59页,+u-iRLC设电路无初始储能+U(s)-I(s)RsL1/,三、运算电路模型,1. 电压、电流用象函数形式,2. 元件用运算阻抗或运算导纳,3.电容电压和电感电流初始值用附加电源表示,第36页/共59页,三、运算电路模型1. 电压、电流用象函数形式2. 元件用运算,uC(0-) = 25V iL(0-) = 5A,换路后 运算电路,解,返回目录,第37页/共59页,
10、uC(0-) = 25V 时域电路t =0 时打开开关例5,13.6 拉普拉斯变换法分析电路,步骤,1. 由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) ；,2. 画运算电路模型；,3. 应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,4. 反变换求原函数。,t = 0时闭合S，求iL，uL。,例1,第38页/共59页,13.6 拉普拉斯变换法分析电路步骤,(2) 画运算电路,解,第39页/共59页,(2) 画运算电路200/s 300.1s0.5101000,第40页/共59页,200/s 300.1s0.5101000/s100/sI1,(4)反变换求原函数,校核初值和终值,第41页/共59页,(
11、4)反变换求原函数校核初值和终值第41页/共59页,第42页/共59页,第42页/共59页,要考虑初值,思考：uL是哪两端 的电压？,第43页/共59页,要考虑初值思考：uL是哪两端200/s 300.1s0.51,例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t) 。,第44页/共59页,例2 求图示电路的单位冲激响应uC(t)，iC (t),返回目录,第45页/共59页,tuC(V)0tiC返回目录第45页/共59页,13.7 网络函数(network function),一、定义,单个独立源作用的线性网络,(转移函数(transfer function),第46页/共59页,13.7
12、 网络函数(network function)一、,第47页/共59页,RC+uS例uCR1/sC+US(s)UC (s)网络函,1. 策动点函数,策动点阻抗,策动点导纳,2. 转移函数(传递函数),转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,第48页/共59页,1. 策动点函数策动点阻抗策动点导纳2. 转移函数(传递函数,三、单位冲激响应与网络函数的关系,若单位冲激响应h(t)已知，则任意激励e(t)产生的响应r(t)可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对,返回目录,第49页/共59页,三、单位冲激响应与网络函数的关系零状态(t)h(t)e(t,13.8 网络
13、函数的极点(pole)和零点(zero),一、复频率平面,在复平面上用“”表示极点，用“。”表示零点。,第50页/共59页,13.8 网络函数的极点(pole)和零点(zero)一、,例,绘出其极零点图(pole-zero diagram),第51页/共59页,j。2-3例绘出其极零点图-1j-j0第51页/共5,二、极点分布与冲激响应的关系,H(s)在s平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对,第52页/共59页,二、极点分布与冲激响应的关系H(s)在s平面上极点位置不同，,极点的位置决定冲激响应的波形,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值,第53页/共5
14、9页,j极点的位置决定冲激响应的波形极点和零点共同,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability),全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，则电路动态响应是临界稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率,R(s)=H(s)E(s),设D(s) 和E(s)没有相同的极点,第54页/共59页,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性(stability),系数Ai和Aj是由零点和极点共同决定,返回目录,第55页/共59页,由网络函数极点形成的由激励函数极点形成的系数Ai和Aj是由零,13.9 卷积(convolution)定理,R(s)= E(s) H(s),第56页/共59页,13.9 卷积(convolution)定理h(t)r(t,证明,延时,第57页/共59页,证明延时第57页/共59页,第58页/共59页,去掉积分上限改为 t第58页/共59页,谢谢您的观看！,第59页/共59页,谢谢您的观看！第59页/共59页,
