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1、第二十七章 图形的相似、位似,一、成比例线段(比例线段)在四条线段中,如果其中两条线段的比与另两条线段的比_,那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.二、相似多边形1.定义:对应角_,对应边的比_的两个多边形.2.性质:对应角_；对应边的比_相似比；周长的比_相似比;面积的比_相似比的平方.,相等,相等,相等,相等,等于,等于,等于,三、位似图形两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点连线都经过_点,对应边互相平行，这两个图形叫做位似图形,这个点叫做_.,同一,位似,中心,【核心点拨】1.成比例线段是相对于四条线段而言的，根据定义，它们在比例式中的位置有一定的顺序性.2.相似多边形(大于三条
2、边时)的判定根据定义.3.位似图形与相似图形的关系：位似图形一定相似，相似的两个图形不一定位似.,【即时检验】1.已知线段a,b,c,d成比例，若a=2 cm, b=4 cm, d=8 cm,则c=_ cm.2.若两个相似多边形的周长的比是12，则它们的面积比为_.3.已知OAB与OAB是相似比为12的位似图形，点O为位似中心，若OAB内一点P(x，y)与OAB内一点P是一对对应点，则P的坐标是_.,4,14,(-2x，-2y)或(2x,2y),比例及成比例线段【例1】(2010佛山中考)一般认为，如果一个人的肚脐以上的高度与肚脐以下的高度符合黄金分割，则这个人好看，如图，是一个参加空姐选拔的
3、选手的身高情况，那么她应穿多高的鞋子才能好看？(精确到1 cm，参考数据：黄金分割比为 2.236),【思路点拨】黄金分割比为肚脐以上的高度肚脐以下的高度.【自主解答】设她应穿x cm高的鞋子，根据题意，得解得x10 cm，所以她应穿10 cm高的鞋子才好看.,【对点训练】1.(2010德化中考)下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )(A)1，2，3，4 (B)1，2，2，4(C)3，5，9，13 (D)1，2，2，3,2.(2011巴中中考)若 =_.【解析】 4a-2b=3a，答案：,相似图形及相似多边形【例2】(2011毕节中考)两个相似多边形的面积比是916，其中小多边形的
4、周长为36 cm，则较大多边形的周长为( )(A)48 cm (B)54 cm (C)56 cm (D)64 cm【思路点拨】根据相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算.【自主解答】选A.两个相似多边形的面积比是916，面积比是相似比的平方，则大多边形与小多边形的相似比是43.相似多边形周长的比等于相似比，因而设大多边形的周长为x，则有 ，解得x=48.大多边形的周长为48 cm.,4.(2012潍坊中考)已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=( )【解析】
5、选B.由题易知四边形ABEF为正方形，AB=AF=EF=BE,四边形EFDC与矩形ABCD相似， ,设AD为x，则 ，解得x1= ,x2= (舍去).,位似【例3】(8分)(2011盘锦中考)如图，ABC的三个顶点坐标分别为A(-2，4)，B(-3，1)，C(-1，1)，以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第二象限内将ABC放大，放大后得到ABC.(1)画出放大后的ABC，并写出点A，B ，C 的坐标.(点A，B，C的对应点分别为A，B ，C )(2)求ABC的面积.,【规范解答】(1)如图所示，ABC即为所求. 2分,B,B,C,A,A,C,-9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,
6、-1,-1,1,1,2,9,8,7,6,5,4,3,O,y,x,A(_，8)；B(_，2)；C(_，2). 5分(2)SABC= _=_， 6分又ABC与ABC的相似比为21， SABCSABC=_，SABC=_SABC=_. 8分,-4,-6,-2,23,3,4,12,41,【对点训练】5.(2011莱芜中考)观察如图，在下列四种图形变换中，该图案不包含的变换是( )(A)平移 (B)轴对称 (C)旋转 (D)位似,6.(2011广州中考)如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE放大后得到五边形ABCDE，已知OA10 cm，OA20 cm，则五边形ABCDE的周长与五边形ABCDE的周长
7、的比值是_.,【技巧点拨】1.位似图形的性质位似图形是相似图形的特例，所以位似图形具有相似图形的一切性质，即位似图形的对应边成比例，对应角相等，它们的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方.2.位似图形与坐标以原点为位似中心的位似变换，相似比为k时，(1)两图形在原点的同侧，位似图形对应的坐标的比等于k.(2)两图形在原点的异侧，位似图形对应的坐标的比等于-k.,一、平行线分线段成比例1.定理：三条平行线截两条直线，所得的_的比相等.2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的_的比相等.,对应线段,对应线段,二、相似三角形1.定义:对应角_,对应边的比_的两个三
8、角形叫做相似三角形,对应边的比叫做_.2.性质:(1)相似三角形周长的比等于_;(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于_；(3)相似三角形面积的比等于相似比的平方.,相等,相等,相似比,相似比,相似比,3.判定:(1)平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似;(2)两角对应_的两个三角形相似;(3)两组对应边的比_,且相应的夹角_的两个三角形相似;(4)三组对应边的比_的两个三角形相似.,相等,相等,相等,相等,【即时检验】一、如图，l1 l2l3，则 _, _.二、1.ABC与DEF的相似比为34，则ABC与DEF的周长比为_.2.已知AB
9、C与DEF相似且对应中线的比为23，则ABC与DEF对应高的比为_.,34,23,平行线分线段成比例【例1】(2011河池中考)如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于G，AF=2 cm，DF=4 cm，AG=3 cm，则AC的长为( )(A)9 cm (B)14 cm(C)15 cm (D)18 cm,【对点训练】1.(2011肇庆中考)如图，已知直线abc，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=( )(A)7 (B)7.5 (C)8 (D)8.5【解析】选B.abc， ，AC=4，CE=6，BD=
10、3， ，解得：DF= ，BF=BD+DF=3+ =7.5.,2.(2011湘潭中考)如图，已知：ABC中，DEBC，AD=3，DB=6，AE=2，则EC=_.【解析】ABC中，DEBC， ，AD=3，DB=6，AE=2， ，EC=4.答案：4,相似三角形的判定【例2】(6分)(2011来宾中考)如图，在ABC中，ABC=80，BAC=40，AB的垂直平分线分别与AC，AB交于点D，E.(1)用圆规和直尺在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD；(2)证明：ABCBDC.,【对点训练】3.(2012荆门中考)下列44的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与ABC相似的
11、三角形所在的网格图形是( ),【解析】选B.ABC的三边长分别为： , ， ，选项B中的三边长分别为：2,4, .由 ,所以选项B中的三角形和ABC相似.,4.(2012滨州中考)如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线CE和BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形：_(用相似符号连接).【解析】(1)在BDE和CDF中，BDE=CDF，BED=CFD=90，BDECDF.(2)在ABF和ACE中，A=A，AFB=AEC=90，ABFACE.答案：BDECDF，ABFACE,5.(2012安顺中考)如图，1=2,添加一个条件_，使得ADEACB.【解析】由两角对应相等，两三角形相似可添加
12、DC或EB；由两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似可添加 .答案：DC(答案不唯一),【特别提醒】相似三角形判定的两点注意1.已知三边的长或在正方形网格中的长考虑“三组对应边之比相等的两个三角形相似”.2.直角三角形相似的判定定理:(1)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应边的比相等,那么这两个直角三角形相似.,相似三角形的性质及应用【例3】(2011陕西中考)一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些沙坑对河道的影响，如图是同学们选择(
13、确保测量过程中无安全隐患)的测量对象，测量方案如下：,先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于点B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S点(甲同学的视线起点C与点A、点S三点共线)，经测量：AB=1.2米，BC=1.6米.根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度(圆锥的高)(取3.14，结果精确到0.1米).,【思路点拨】取圆锥底面圆心O，连接OS，OA，OSBC可得出SOACBA，再由相似三角形的对应边成比例即可解答.【自主解答】取圆锥底面圆心O，连接OS，OA，则O=ABC=90，OSBC，ACB=ASO，SOAC
14、BA， ，OS= ，OA= 5.5，BC=1.6，AB=1.2，OS= 7.3，“圆锥形坑”的深度约为7.3米.,【对点训练】6.(2012娄底中考)如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM=_米.【解析】OAMN，则ABONBM，则 ，则解得NM=3.42米.答案：3.42,7.(2012北京中考)如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=40 cm，EF=20 cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5 m，CD=8 m，则树高AB=_m.【解析】由题意知，DEF与DCB相似，则 ，即 ，解得BC=4，所以AB=AC+BC=5.5(m).答案：5.5,【技巧点拨】相似三角形的应用1.测量测量不能到达的物高与河宽等，关键是构造相似三角形，测量相似三角形中的有关线段的长.2.与物理光学知识结合相似三角形与物理学科的光学知识结合起来考查光学中的反射定律和相似三角形的应用，在解题中关键是建立数学模型，找准对应元素.,
