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1、第二章 有理数22.1 正数和负数31. 相反意义的量32. 正数与负数43. 有理数62.2 数轴111. 数轴112.在数轴上比较数的大小132.3 相反数182.4 绝对值222.5 有理数的大小比较272.6 有理数的加法321. 有理数加法法则322. 有理数加法的运算律372.7 有理数的减法422.8 有理数的加减混合运算481. 加减法统一成加法482. 加法运算律在加减混合运算中的应用50阅读材料中国人最早使用负数532.9 有理数的乘法551.有理数的乘法法则552有理数乘法的运算律582.10 有理数的除法662.11 有理数的乘方71阅读材料 1000和32.12 科学

2、计数法75阅读材料光年和纳米772.13 有理数的混合运算792.14 近似数和有效数字842.15 用计算器进行数的简单运算90 阅读材料 从结绳计数到计算器小结94复习题96第二章 有理数在上面的天气预报电视屏幕上，我们看到，这一天上海的最低温度是-5，读作负5，表示零下5。这里，出现了一种新数负数. 我们将会看到，除了表示温度以外，还有许多量需要用负数来表示.有了负数，数的家族引进了新的成员，将变得更加绚丽多彩，更加便于应用.本章将引进负数，并研究有理数的大小比较和运算.2.1 正数和负数回忆我们已经学过哪些数？它们是怎样产生和发展起来的？我们知道，为了表示物体的个数或事物的顺序，产生了

3、数1，2，3，.; 为了表示“没有”，引入了数0；有时分配、测量的结果不是整数，需要用分数(小数)表示. 总之，数是为了满足生产和生活的需要而产生发展起来的.1. 相反意义的量在日常生活中，常会遇到这样的一些量：例1 汽车向东行驶3公里和向西行驶2公里；例2 温度是零上10和零下5；例3 收入500元和支出237元; 例4 水位升高5.5米和下降3.6米等等.例5买进100辆自行车和卖出20辆自行车。这里出现的每一对量，虽然有着不同的具体内容，但有着一个共同特点，它们都是具有相反意义的量，向东和向西、零上和零下；收入和支出;升高和下降都具有相反的意义.这些例子中出现的每一对量，有什么共同特点?

4、你能再举出几个日常生活中的具有相反意义的量吗?2. 正数与负数只用原来的那些数很难区分量的相反意义. 例如,零上5用5表示, 那么零下5就不能仍用同一个数5来表示.在天气预报的电视屏幕上我们发现，零下5可以用-5来表示. 一般地，对于具有相反意义的量，我们可把其中一种意义的量规定为正的，用过去学过的数表示，把与它意义相反的量规定为负的，用过去学过的数(零除外)前面放上一个“-”(读作负)号来表示.就拿温度为例，通常规定零上为正，于是零下为负，零上10就用10表示，零下5用 -5来表示.在例1中，如果规定向东为正，那么向西为负.汽车向东行驶3公里记作3公里，向西2公里应记作-2公里.在例3中，如

5、果规定收入为正，收入500元记作500元，支出237元应记作什么?在例4和例5中，我们如何表示这些具有相反意义的量呢？为了表示具有相反意义的量, 我们引进了象-5,-2,-237,-3.6这样的数, 这是一种新数,叫做负数(negative number). 过去学过的那些数(零除外),如10,3,500,5.5等,叫做正数(positive number). 正数前面有时也可放上一个+号, 如5可以写成+5, +5和5是一样的. 注意 0既不是正数,也不是负数.练习1. 将你所举出的具有相反意义的量用正数或负数来表示. 2.在中国地形图上，在珠穆朗 玛峰和吐鲁番盆地处都标有表明它们的高度的数

6、，如图所示.这个数通常称为海拔高度，它是相对于海平面来说的.请说出图中所示的数8844和-155表示的实际意义。海平面的高度用什么数表示? 3.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数?+6；-21；54；0；-3.14；0.001；-9994.“一个数，如果不是正数，必定就是负数.”这句话对不对?为什么?3. 有理数引进了负数以后，我们学过的数就可以分为以下几类： 正整数，如1，2，3，.;零: 0;负整数, 如-1,-2,-3,.;正分数, 如, ,4.5(即);负分数, 如-,-0.3(即),.正整数、零和负整数统称整数(integers)，正分数和负分数统称分数(fractions).整数和

7、分数统称有理数(rational numbers).我们可以作出如下的分类表：把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集(set of numbers).所有的有理数组成的 数集叫做有理数集.类似地，所有的整数组成的数集叫做整数集，所有的正数组成的数集叫做正数集，所有的负数组成的数集叫做负数集，如此等等.例6 把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里： -18, , 3.1416, 0, 2001, , -0.142857, 95% 正整数 负整数 整数集 有理数集解, 3,2001, 95% -18, , -0.142857 正整数 负整数18，0，2001 -18, , 3.1416,

8、0, 2001, , -0.142857, 95% 整数集 有理数集练习1. 请说出两个正整数, 两个负整数, 两个正分数,两个负分数.它们都是有理数吗?2. 有理数集中有没有这样的数,它既不是正数,也不是负数? 如有,这样的数有几个?3. 下面两个圆圈分别表示正数集合和整数集合,请在这两个圆圈内填入六个数,其中有三个数既在正数集合内, 又在整数集合内.这三个数应填在哪里? 你能说出这两个圆圈的重叠部分表示什么数的集合吗?正数集 整数集习题2.11. 下列各数,哪些是整数,哪些是分数? 哪些是正数,哪些是负数?1， -0.10， ，-789， 325， 0，-20， 10.10， 1000.1

9、2.把下列各数填入表示它所在的数集的圈子里：, 0.618, -3.14, 260, -2001, , , -5%整数集 分数集负数集 有理数集3.下面的大括号表示一些数的集合,把第1、2两题中的各数填入相应的大括号里:正整数集: 负整数集: 正分数集: 负分数集: 4观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的三个数，你能说出第100个数、第2000个数、第2001个数是什么吗?(1)1，-1，1，-1，1，-1，1，-1， ， ， ，.；(2)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ， ，.；(3)-1,-, , , ,.2.2 数轴1. 数轴我们在小学学习数学时，

10、就能用直线上依次排列的点来表示自然数，它帮助我们认识了自然数的大小关系.如图2.2.1，温度计上有刻度，可以方便地读出温度的度数，并且可以区分出是零上还是零下。与温度计相仿，我们可以在一条直线上规定一个正方向，就可以用这条直线上的点表示正数、零和负数.(图2-2-1) 体做法如下：画一条直线(通常画成水平位置)，在这条直线上任取一点作为原点，用这点表示.规定直线 图2-2-1上从原点向右为正方向,画上箭头,那么相反方向为负方向. 再选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，(图2-2-2).

11、 图2-2-2概括象这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 .在数轴上画出表示有理数的点，可以先由这个数的符号确定它在数轴上原点的哪一个方向，再在相应的方向上确定它与原点相距几个单位长度.例1. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：4，-2，-4.5， ，0 .解 如图2-2-3所示图2-2-3练习 1.下列各图表示数轴是否正确?为什么? 2.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数. 3.画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点：-1.8,0,-3.5, ,再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行.2.在数轴上比较数的大小在小学里，我们已经学会了比较两个正数的大小，那么，

12、引进负数以后，怎样比较任意两个有利数的大小呢？例如，1与-2那个大？-1与0哪个大？-3-4哪个大？探索（1） 任意写出两个正数，在数周上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？（2） 1和-2那个温度高？-1与0哪个温度高？这个关系在温度计上表现为怎样的情况？把温度计横过来放，就像一条数轴，能否从中发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小？概括我们发现，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.根据有理数在数轴上表示的相对位置，在应用中我们也常说：正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.例2 将有理数3，0，-4按从小到大顺序排列，用“”号连接起来.解 正数3，由正、

13、负数大小比较法则，得-403 .例3 比较下列各数的大小： -1.3，0.3，-3，-5 .解 将这些数分别在数轴上表示出来(图2-2-4)： 图2-2-4所以 -5-3-1.30.3练习1.判断下列各式是否正确: 2.9-3.1； 0-14； -10-9； -5.4-4.52.用“”号或“”号填空： 3.6 2.5； -3 0； -16 -1.6； +1 -10； -2.1 +2.1； -9 -7习题2.21. 指出数轴上A、B、C、D各点所表示的数：2. 分别画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： -2.1，-3，0.5，； -50，250，0，-400 .3. 指出在数轴上表示下列各

14、数的点分别位于原点的哪边，与原点距离多少个单位长度： -3，4.2，-1， .4. 如下图，一个点从数轴上原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度. 可以看出，终点表示数-2.已知A、 B是数轴上的点.(1)如果点A表示 数-3，将A向右移动7个单位长度，那么终点表示数 ；(2)如果点A表示数3， 将A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示数 ；(3)如果将点B向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，终点表示的数是0，那么点B所表示的数是 .5. 比较下列每对数的大小： (1)-8，-6； (2)-5, 0.1； (3,0； (4)-4.2；-5.1；

15、 (5) , ； (6) ,0 ； 6. 画出数轴，把下列各组数分别在数轴上表示出来，并按从小到大顺序排列，用“0.01，所以 -1 -0.01 .(2) 化简 -|-2|=-2，因为负数小于0，所以-|-2| 0 . (3) 这是两个负数比较大小，因为|-0.3|=0.3，且 0.3 ， 所以 (4) 分别化简两数，得因为正数大于负数，所以 练习1. 用“”填 空：(1)因为 ,所以 ； (2)因为 |-10| |-100| ；所以 -10 -100 .2. 判断下列各式是否正确：(1) (2) (3) (4) 3. 比较下列各对数的大小；(1) 与(2) 与-0.6184. 回答下列问题：

16、(1) 大于-4的负整数有几个?(2) 小于4的正整数有几个?(3) 大于-4且小于4的整数有几个?习题 2.5 1. 比较下列每对数的大小：(1) 与 ;(2)-9.1与-9.099； (3)-8与 |-8| ； (4)-|-3.2|与-(+3.2).2. 将有理数0，-3.14， ，2.7，-4，0.14按 从小到大的顺序排列，用“”号连接起来.3. 写出绝对值小于5的所有整数，并在数轴上表示出来.4. 回答下列问题：(1) 有没有最小的正数?有没有最大的负数?为什么?(2) 有没有绝对值最小的有理数?把它写出来.2.6 有理数的加法1. 有理数加法法则问题小明在一条东西向的跑道，先走了2

17、0米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答.可是上述问题不能得到确定答案，因为小明最后的位置与行走方向有关.试验我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负.(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是(+20)+(+30)=+50，即这位同学位于原来位置的东方50米处.这一运算在数轴上表示如图2-6-1. 图2-6-1(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位 置的西方50米处，写成算式就是(-20)+(-30)=-50 . (3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示

18、如图2-6-2. 图2-6-2写成算式是(+20)+(-30)=-10，即这位同学位于原来位置的西方10米处. (4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是(-20)+(+30)=( ).即这位同学位于原来位置的( )方( )米处.后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：(+4)+(-3)=( )；(+3)+(-10)=( )；(-5)+(+7)=( )；(-6)+ 2 = ( ).再看两种特殊情形： (5)第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是(-30)+(+30)=(

19、). (6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是(-30)+ 0 =( ).探索从上述（1）-（6）中所写出的算式，你能总结出一些规律？概括综合以上情形，我们得到有理数的加法法则：1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得0；4. 一个数同0相加，仍得这个数.注意一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同.例1 计算：(1) (+2)+(-11);(2) (+20)+(+12);(3) ;

20、(4) (-3.4)+4.3解(1) (+2)+(-11)=-(11-2)=-9;(2) (+20)+(+12)=+(20+12)=+32=32;(3) ;(4) (-3.4)+4.3=+(4.3-3.4)=0.9练习1. 填 表：2. 计算：(1) 10+(-4);(2) (+9)+7;(3) (-15)+(-32);(4) (-9)+0;(5) 100+(-199);(6) (-0.5)+4.4;(7) +(1.25);(8)3. 填 空：(1)( )+(-3)=-8； (2)( )+(-3)= 8； (3)(-3)+( )=-1；(4)(-3)+( )= 0 .4.两个有理数相加，和是否

21、一定大于每个加数?2. 有理数加法的运算律在小学里我们知道，数的加法满足交换率，例如有5+3.5=3.5+5还满足结合律，例如有（5+3.5）+2.5=5+（3.5+2.5）引进了负数以后，这些运算率是否还成立？也就是说，上面两个等式中，将5、3.5和2.5换成任意的有理数，是否依然成立？ 探索（1） 任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列和内，并比较两个运算结果： + 和 + （2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列、和内，并比较两个运算结果： ( + )+ 和 +( + ).概括有理数的加法仍满足加法交换率和结合律。加法交换率：两个数相加，交换加数的位置，和

22、不变。a+b=b+a加法结合律:三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.( a + b )+ c = a + ( b + c )这样，多个有理数相加，可以任意交换加数的位置，也可先把其中的几个数相加，使计算简化.例2 计算：(1) (+26)+(-18)+5+(-16)(2) 解 (1)(+26)+(-18)+5+(-16) =(26+5)+(-18)+(-16) = 31+(-34)= -(34-31)= - 3 .(2) =例3 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2，-4，2.5，3，-0.5，1.5，3，-1，0，-

23、2.5.求这10 筐苹果的总重量.解 2+(-4)+2.5+3+(-0.5)+1.5+3+(-1)+0+(-2.5) = (2+3+3)+(-4)+2.5+(-2.5)+(-0.5)+(-1)+1.5 =8+(-4)= 4 . 3010 + 4 = 304 .答：10筐苹果总重量是304千克.练习1. 计算：(1) (-7)+(+10)+(-11)+(-2);(2) 2+(-3)+(+4)+(-5)+6; (3)2. 某天气温从早晨-3到中午升高了5，到晚上降低了3，到午夜又降低了4.求午夜时的温度.习题 2.61. 计算：(1)(-12)+(+3)； (2)(+15)+(-4)；(3)(-1

24、6)+(-8)； (4)(+23)+(+24)；(5)(-102)+132； (6)(-32)+(-11)；(7)(-35)+0； (8)78+(-85).2. 计算：(1) (-0.9)+(+1.5);(2) (+6.5)+3.7;(3) 1.5+(-8.5);(4) (-4.1)+(-1.9);(5) ;(6)3. 计算：(1) (+14)+(-4)+(-2)+(+26)+(-3);(2) (-83)+(+26)+(-41)+(+15);(3) (-1.8)+(+0.7)+(-0.9)+1.3+(-0.2);(4) .4. 列式并计算：(1)求+1.2的相反数与-3.1的绝对值的和；(2)

25、 与的和的相反数是多少? 5. 利用有理数加法解下列各题：(1) 存折中原有550元，取出260元，又存入150元，现在存折中还有多少钱?(2) 潜水艇原停于海面下800米处，先上浮150米，又下潜200米.这时潜水艇在海面下多少米处?(3) 仓库内原存某种原料3500千克，一周内存入和领出情况如如下(存入为正，单位千克)： 1500，-300，-650，600，-1800，-250，-200.问第七天末仓库内还存这种原料多少千克?(4) 某公路养护小组乘车沿东西向公路巡视维护.某天早晨从A地出发，晚上到达B地.约定向东为正方向，行走记录如下(单位千米)：+18，-9，+7，-14，-6，+1

26、3，-6，-8.问B地在A地何方，相距多少千米?若汽车行驶每千米耗油a升，求该天自出发至回到A地共耗油多少?2.7 有理数的减法做一做珠穆朗玛峰和吐鲁番盆地的海拔高度分别是8844米和-155米，问珠穆朗玛峰比吐鲁番盆地高多少？这一问题通常可列出算式8844-（-155）那么，怎样进行有理数的减法呢？我们不妨先看一个简单的问题：计算 (-8)-(-3)根据减法的意义，就是求一个数?使( ? )+(-3)=-8.根据有理数加法运算，有(-5)+(-3)=-8，所以 (-8)-(-3)=-5. 试一试填空：(-8)+( )=-5，容易得到(-8)+(+3)=-5. 比较、两式，我们发现：-8“减去

27、-3”与“加上+3”结果是相等的.即(-8)-(-3)=(-8)+(+3)概括从上述结果我们可以发现：减去一个数，等于加上这个数的相反数.这就是 有理数减法法则。例1 计算：(1)(-32)-(+5)； (2)7.3-(-6.8)；(3)(-2)-(-25)； (4)12-21 .解 减号变加号(1)(-32) -(+5)=(-32)+(-5)=-37. 减数变相反数 减号变加号 (2)7.3-(-6.8)=7.3 + 6.8 =14.1 .减数变相反数(注意：两处必须同时改变符号.)(3)(-2)-(-25)=(-2)+25=23 .(4)12-21 = 12+(-21)= -9 .练习1.

28、 下列括号内各应填什么数? (1)(+2)-(-3)=(-2)+( )； (2)0 - (-4)= 0 +( )； (3)(-6)- 3 =(-6)+( )； (4)1 - (+39) = 1 +( ).2. 计算：(1) (+3)-(-2);(2) (-1)-(+2);(3) 0-(-3);(4) 1-5;(5) (-23)-(-12);(6) (-1.3)-2.6;(7) ;(8)3. 填空：(1)温度3比-8高 ；(2)温度-9比-1低 ；(3)海拔高度-20m比-180m高 ；(4)从海拔22m到-50m，下降了 .习题 2.71. 计算：(1)(-14)-(+15)； (2)(-14

29、)-(-16)；(3)(+12)-(-9)； (4)12-(+17)；(5)0-(+52)； (6)108-(-11).2. 计算：(1) 4.8-(+2.3);(2) (-1.24)-(+4.76);(3) (-3.28)-1;(4) ;(5) ;(6)3. 计算：(1) (-4)-(+7)-(-5)；(2)3-(-3)-12；(3)8-(9-10)；(4)(3-5)-(6-10).4. 某地连续五天内每天的最高气温与最低气温记录如下，哪一天的温差(最高气温与最低气温的差)最大，哪天的温差最小?5.某一矿井的示意图如右：以地面为准A点的高度是4.2米，B、C两点的高度分别是15.6米与30.

30、5米。A点比B点高多少？比C点呢？6.求出下列每对数在数轴上对应点之间的距离。(1) 3与2.2;(2) 与；(3) 4与4.5;(4) 与。你能发现所得的距离与这两数的差有什么关系吗？2.8 有理数的加减混合运算1. 加减法统一成加法算式(-8)-(-10)+(-6)-(+4)是有理数的加减混合运算，可以按照运算顺序，从左到右逐一计算.通常也可以应用有理数的减法法则，把它改写成(-8)+(+10)+(-6)+(-4)，统一为只有加法运算的和式.在一个和式里，通常把各个加号省略不写.如上式可写成省略加号的和的形式(和式中第一个加数同时省略括号，若是正数，正号也省略不写.)： -8 + 10 -

31、 6 - 4 .这个式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”.按运算意义也可读作“负8加10 减6减4”. 例1 把写成省略加号的和的形式，并把它读出来.解=读作：“的和”。练习1.把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法. (1)(-12)-(+8)+(-6)-(-5)；(2)(+3.7)-(-2.1)-1.8+(-2.6).2.按运算顺序直接计算：(1) (-16)+(+20)-(+10)-(-11);(2)2. 加法运算律在加减混合运算中的应用联想在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律，可使计算简化.有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性

32、.例1 计算：（1） 243.2-16-3.5+0.3;（2） 解 (1)因为原式表示-24，3.2，-16，-3.5，0.3的和，所以可将加数适当交换位置,并作适当的结合进行计算，即-24+3.2-16-3.5+0.3=-24-16+3.2+0.3-3.5=-40 .(2) =练习1. 下列交换加数位置的变形是否正确?(1) 1-4+5-4=1-4+4-5 ;(2) 1-2+3-4=2-1+4-3;(3) 4.5-1.7-2.5+1.8=4.5-2.5+1.8-1.7;(4) 2. 计算：(1) 0-1+2-3+4-5;(2) 4.2+5.7-8.4+10.2; (3) 30-11-(-10

33、)+(-12)+18;(4) 习题 2.81. 按运算顺序直接运算：(1) (-7)-(-10)+(-8)-(+2);(2) ;(3) ;(4) (-1.2)+1-(-0.3)2.将下式写成省略加号的和的形式，并按括号内要求交换加数的位置：(1)(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9) (使符号相同的加数在一起)；(2)(-3.1)-(-4.5)+(+4.4)-(+1.3)+ (-2.5)(使和为整数的加数在一起)；(3) (使分母相同或便于通分的加数在一起)；(4) (使计算简便) 3. 计算：4. 当a=-2.1，b=1.2，c=-3.4时，求下列各式的值： (1)a+b-c

34、； (2)(b-a)-(c+b).阅读材料中国人最早使用负数九章算术和我国古代的“正负术”九章算术是中国古典数学最重要的一部著作。这部著作的成书年代，根据现在的考证，至迟在公元前一世纪，但其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。九章算术采用问题集的形式，全书246个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、赢不足、方程、勾股等九章，其中所包含的数学成就是十分丰富的。引进和使用负数是九章算术的一项突出的贡献。在九章算术的“方程术”中，当用遍乘直除算法消元时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，就需要引进负数九章算术在方程章中提出了如下的“正负术”： “同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”