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1、一、平面图形的面积,二、由平行截面面积求体积,第十章 定积分的应用（一）,由平行截面面积求体积直接应用求旋转体的体积,面积公式（直角坐标，极坐标）,一、平面图形的面积,如果函数y=f(x)( f(x)0)在区间a, b上连续，则由曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成的曲边梯形的面积为,复习：,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？,考虑如下问题：,1、若图形在x轴上方，,注意图形的形成,2、若图形不在x轴上方，,yf(x)+m,y=g(x)+m,将图形平移到x轴的上方,由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左
2、右两条直线x=a、x=b所围成的图形的面积 S 如何求？,考虑如下问题：,1、若图形在x轴上方，,结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。,(2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。,(3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。,结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。,(4)如果 y=f(x)有分段点 c，则需把图形分割后计算。,yf1
3、(x),yf2(x),结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,注： (1)当曲线f(x)=0或g(x)=0时，上述公式也成立。,(2)当左右两边缩为一点时，上述公式也成立。,(3)积分区间就是图形在x轴上的投影区间。,讨论： 由左右两条连续曲线x=y(y)、x=j(y)与上下两条直线y=c、 y=d所围成的图形的面积 S 如何求？,答案：,结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所围成的图形的面积为,结论：由上下两条连续曲线y=f(x)、y=g(x)与左右两条直线,S,x=a、x=b所
4、围成的图形的面积为,例1. 求椭圆 所围成的图形面积。 解：设椭圆在第一象限的面积为S1，则椭圆的面积为,解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。,S =2 ,解： 由对称性，图形面积是第一 象限部分的两倍。,S =2 ,=2 ,例3 计算抛物线y22x 与直线xy4所围成的图形的面积。,解：求两曲线的交点得：(2，2)，(8，4)。将图形向y轴投影得区间2，4。,=18。,思考：为什么不向x轴投影？,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,按顺时针方向规定起点和终点的参数值,则曲边梯形面积,极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则该小区间上
5、曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,对应 从 0 变,例5. 计算阿基米德螺线,解:,到 2 所围图形面积 .,例6. 计算心形线,所围图形的,面积 .,解:,(利用对称性),二、由平行截面面积求体积,设一立体在x轴上的投影区间为a, b ，过x点垂直于x轴的截面面积S(x)是x的连续函数，求此立体的体积。,(3)令l=maxDxi，则立体体积为,(1) 在a, b内插入分点： a=x0 x1x2 xn-1xn=b，,(2)过xi(i=1, 2, , n-1)且垂直于x轴的平面，把立体分割成n个小薄片，第i个小薄片体积的近似值S(xi)Dxi。,将n个小薄片体积的近似值相加得立体体积
6、的近似值,垂直 x 轴的截面是椭圆,例7. 计算由曲面,所围立体(椭球体),解:,它的面积为,因此椭球体体积为,特别当 a = b = c 时就是球体体积 .,的体积.,例8. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,区间a, b上截面积为S(x)的立体体积：,右图为由连续曲线 yf(x)、直线 xa 、 xb 及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x
7、轴旋转一周而成的立体。,关键是确定截面面积,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,机动 目录 上页 下页 返回 结束,截面面积为,于是有,例9 连接坐标原点O及点P(h，r)的直线、直线xh 及x轴围成一个直角三角形。将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体。计算这圆锥体的体积。,所求圆锥体的体积为,曲线y=f(x)绕 x 轴旋转而成的立体体积：,区间a, b上截面积为 S(x) 的立体体积：,例10. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,成的椭球体的体积.,解: 方法1 利用直角坐标方程,则截面面积,(利用对称性),于是,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,例11. 计算摆线,的一拱与 y0,所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 .,解: 绕 x 轴旋转而成的体积为,利用对称性,绕 y 轴旋转而成的体积为,注意上下限 !,注意分段点！,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),例12. 求曲线,与 x 轴围成的封闭图形,绕直线 y3 旋转得的旋转体体积.,(94 考研),解: 利用对称性 ,故旋转体体积为,在第一象限,分部积分,注,(利用“偶倍奇零”),作业：P242 T1，5，P246 T2,预习：第三节 平面曲线的弧长与曲率,
