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1、,习题课,级数的收敛、求和与展开,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、幂级数和函数的求法,一、求幂级数收敛域的方法,第13章,三、函数的幂级数展开法,四、函数的傅里叶级数展开法,(在收敛域内进行),基本问题：判别敛散；,求收敛域；,求和函数；,级数展开.,为傅里叶级数.,为傅氏系数) 时,时为数项级数;,时为幂级数;,一、求幂级数收敛域的方法, 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R :,再讨论, 非标准形式幂级数,通过换元转化为标准形式,直接用比值法或根值法,处的敛散性 .,例1. 求下列级数的敛散域:,解:,当,因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .,故收敛域为,机动 目录 上页 下页
2、 返回 结束,解: 因,故收敛域为,级数收敛;,一般项,不趋于0,级数发散;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数,极限不存在, 原级数 =, 其收敛半径,注意:,机动 目录 上页 下页 返回 结束, 求部分和式极限,二、幂级数和函数的求法,求和, 映射变换法,逐项求导或求积分,对和式积分或求导,直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值,求部分和等, 初等变换法: 分解、套用公式,（在收敛区间内）, 数项级数 求和,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求幂级数,法1 易求出级数的收敛域为,机动 目录 上页 下页 返回 结
3、束,法2,先求出收敛区间,则,设和函数为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解: (1),显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为,而在,x0,1. 求下列幂级数的和函数：,级数发散,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(2),机动 目录 上页 下页 返回 结束,显然 x = 0 时, 和为 0 ;,根据和函数的连续性 , 有,x = 1 时,级数也收敛 .,即得,机动 目录 上页 下页 返回 结束,练习:,解: 原式=,的和 .,2. 求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、函数的幂级数展开法, 直接展开法, 间接展开法,练习:,1. 将函数,展开成 x 的幂级数., 利用已知展式的函数及幂级数性质, 利用泰勒公式,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 设, 将 f (x)展开成,x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 ),解:,于是,并求级数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四、 函数的傅式级数展开法,系数公式及计算技巧;,收敛定理;,延拓方法,上的表达式为,将其展为傅氏级数 .,例1. 设 f (x)是周期为2的函数,它在,解答提示,思考: 如何利用本题结果求级数,根据傅式级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有,提示:,
