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1、微积分(经管类),蔡光兴李德宜主编科学出版社,第一章 函数与Mathematica入门,1.1 集合 1.2 函数 1.3 经济学中常用的函数说明：本章内容与高中知识有部分重合，可以整理复习为主。重点：邻域的概念；复合函数和反函数的概念。,1.1 集合,1.1.1集合的概念集合:具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,集合一般用大写字母A,B,C表示不含任,元素 a 属于集合 M , 记作aM,元素 a 不属于集合 M , 记作,注意! 空集不能同仅含有元素“0”的集合0相混淆,何元素的集合称为空集 ,记为,按某种方式列出集合中的全体元素 .,集合的表示方法表示法：,(1) 列举法：,(2)
2、描述法：,x 所具有的特征,例:自然数集,子集:如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素，即如果aA ，则aB ，那么A就是B的子集，记为 或 ，读作A包含于B或B包含A.,B,1.1.2 集合的运算,并集 AB= 或 ,交集 A B= 且 ,交集 A-B= 且 ,(A关于B的)补集,集合运算有如下性质：（1）交换律： AB=BA； AB=BA（2）结合律： A(BC)=(AB)C； A(BC)=(AB)C（3）分配律： A(BC)=(AB)(AC)； A(BC)=(AB)(AC)（4）对偶律： (AB)c= Ac Bc ； (AB)c = Ac Bc ,1.1.3实数与数轴数轴 具有原点、正
3、方向和单位长度的直线称为数轴 (如下图),注意! 1.有理点在数轴上是处处稠密的 (即在数轴上 任意两个有理点之间也有无穷多个有理点存在). 2.数轴上的点与实数之间是一一对应的.,1.1.4区间、邻域开区间 闭区间半开区间无限区间,邻域:,去心邻域:,使每一个xD都有一个确定的实数y与之对应,称f为,函数,1.2 函数,f为一个对应规则，,定义在D上的一个函数关系，或称变量y是关于变量,x的函数，记作y=f(x),xD,x-自变量,y-因变量,D-定义域，可记为D (f),-值域,1.2.1函数的概念,符号函数,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,取整函数,当,函数的图形 :平面点集,1
4、.2.2. 函数的几种特性,设函数,且有区间,1.有界性,使,称,使,称,为有界函数.,在 I 上有界.,但是在开区间(0，1)内是无界的,例如:,为 I 上的,2.单调性,时,称,为 I 上的,称,单调增函数 ;,单调减函数 .,3.奇偶性,设定义域D关于原点对称,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,例如 , 都是偶函数,例如 , 都是奇函数,，,4.周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如 常量函数,狄里克雷函数,x 为有理数,x 为无理数,1.复合函数,则,设函
5、数,称为由f,g确定的复合函数 , u 称为中间变量.,例 函数,但函数,不能构成复合函数 .,可定义复合函数,1.2.3复合函数和反函数,2.反函数的概念及性质,若函数,为单射,则存在逆映射,习惯上,的反函数记成,称此映射,为 f 的反函数 .,其反函数,(减),(减) .,1) yf (x) 单调递增,且也单调递增,性质:,2) 函数,与其反函数,的图形关于直线,对称 .,例如 ,对数函数,互为反函数 ,它们都单调递增,指数函数,基本初等函数是指下列五类函数：,1.2.4基本初等函数,（1）幂函数 (a为常数),（2）指数函数 (a0，a1),（3）对数函数 (a0，a1),（4）三角函数
6、,（5）反三角函数,初等函数 由以上五种基本初等函数和常数经过有限次四则运算和有限次的函数复合而构成的可以用一个式子表示的函数称为初等函数, , 都是初等函数,1.3 经济学中常用的函数,掌握常用的经济函数,会建立简单的经济问题的函数关系式。,在经济活动中，总成本由固定成本和变动成本两部分组成例1设某厂生产某种产品的最大生产能力为b个单位，至少要生产a个单位，固定费用为C1元，每生产1个单位产品，变动费用增加C2元，试求总成本函数解设q表示总产量，则q只能在a,b内取值，生产q个单位的变动成本为C2 q所以总成本,1.3.1总成本函数,收益函数就是销量与价格的乘积，以q代表销量，代表价格，p代
7、表收益，则有R=pq如果把p看做是q的函数，则收益也是q的函数，即 R=pq=R(q),1.3.2收益函数,1.3.3利润函数,收益与成本之差就是利润 L,即,平均成本就是总成本除以总产量所得的值，也就是平均单位产品的成本设产量为q，总成本为C(q)，则平均成本(记为A.C)为A.C=C(q)/q 商品的价格与市场的供求情况密切相关一般说来，价格p是销售量q的函数：p=f(q),1.3.4平均成本函数,1.3.5价格函数,例2设某批发站批发两万个某品牌电子词典给零售商，目前该种电子词典的订价120元，若批发站每次多批发2000个该品牌电子词典，市面上该种电子词典的价格就相应地降低2元，现批发站
8、最多只能批发5万个给零售商，最小销量为2万个，试求价格函数（即销售量对价格的影响）解设以q代表电子词典销量，则q只能在20000，50000上取值，按每多销售2000个，价格相应减少2元的比例，多销售q-2000个，价格相应减少了2(q-2000)/2000个，价格函数为p=120- 2(q-2000)/2000 即 p=140-q/1000,q20000,50000,在上例中把价格看做是销售量（需求量）的函数反过来，需求量看做是价格的函数q=f(p)一般地需求量是随价格的提高而减少的例3某厂生产的某种电子产品市场需求情况如下：价格为100元时，销售量为3万件；价格每降2元，需求量增加5000
9、件；价格在100元基础上每提高2元，需求量减少1000件求需求函数解由题设条件p=100（元）时，q=3000（件）=30（千件）；p100（元）时，销量q减少(p-100) 1000/2（件）= (p-100) /2 （千件）销量 q=30-(p-100)/2=80-p/2(千件),1.3.6需求函数,100（元）时，销量q增加(100-p) 5000/2（件）= (100-p) 5/2 （千件）这时销量 q=30+ (100-p) 5/2 =280-5p/2（千件）故需求函数,0p100p=100p100,考虑市场供应方，当商品提供者能得到的商品价格增加时，我们可望供应者增加它们的产品的供
10、应量，因此供应量也是价格的函数Q=f(p)一般地，供给函数是随价格的提高而增大例4设电子词典的价格为120元时，厂家可提供2万个电子词典，当价格每增加2元时，厂家可多提供2000个，试求供应函数解p为价格，q为电子词典供应量，依题意有：q=20000+20000(p-120)/2即 q=1000(p-100),1.3.7供给函数,常用的供给函数有如下几种类型： 线性供给函数Q=-d+cp（c0，d0） 由图可见，为价格的最低限，只有当价格大于d/c时，生产者才会供应该商品.Q=(ap-b)/(cp+d)（a0，b0，c0，d0）由图可见，该商品的最低价格为p=b/a，而当价格上涨时，该商品有一饱和供给量a/c,
