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1、第十二章 全等三角形,三角形全等的判定（2） 边角边,第十二章 全等三角形 三角形全等的判定（2）,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.思考,继续探讨三角形全等的条件：,
2、两边一角,思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？,图一,图二,在图一中， A,是AB和AC的夹角，,符合图一的条件，它可称为“两边夹角”。,符合图二的条件， 通常说成“两边和其中一边的对角”,继续探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两条,已知ABC，画一个ABC使A B =AB,A C =A C , A =A。,？,思考： A B C 与 ABC 全等吗？如何验正？,画法: 1.画 DA E= A；,2.在射线A D上截取A B =AB,在射线A E上截取A C =AC;,3. 连接B C.,A,C,B,A,E,D,C,B,思考：
3、这两个三角形全等是满足哪三个条件？,探索边角边,结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等,已知ABC，画一个ABC使A B =AB,A,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与DEF中,ABCDEF（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”),F,E,D,C,B,A,三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与DEF,练习：,1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立,在AOB和DOC中 A0=DO（已知）,=,（对顶角相等）,BO=CO（已知）, AOBDOC( ).,AOB,DOC,SAS,练习：1.在下列推理中填写需要补充
4、的条件，使结论成立在AO,（已知）,A=A（公共角）,=,A,D,C,B,E,AECADB ( ).,2.在AEC和ADB中,AB,AC,AD,AE,SAS,注意：SAS中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。,（已知）A=A（公共角） =A,探索边边角,8cm,8cm,两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?,已知：AC=10cm,BC=8cm, A=45 .,ABC的形状与大小是唯一确定的吗?,A45 探索边边角BBC10cm 8cm 8cm 两边及,探索边边角,SSA不存在,显然： ABC与ABC不全等,10cm ABC45 8cm 探索边边角BA8cm 45,A,B,D,A,
5、B,C,SSA不能判定全等,知识梳理:ABDABCSSA不能判定全等,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？,两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；,两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等, 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？,SSS,SAS,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的,已知：AB=CB ， ABD= CBD ABD 和 CBD 全等吗？,分析:, ABD CBD,AB=CB(已知),ABD= CBD(已知),A,B,C,D,(SAS),现在例1的已知条件不改变,而问题改变成: 问AD=CD吗？,BD=BD(公共边),BD平分ADC吗？,
6、已知：AB=CB ， ABD= CBD 例1分析:,？,A,B,C,D,练习3 ： 已知:AD=CD， BD 平分 ADC 。求证：A= C,要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证明两个三角形全等。,？ABCD练习3 ：要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证,问题:如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？,A,B,C,E,D,在平地上取一个可直接到达A和B的点C，,连结AC并延长至D使CD=CA,连接BC并延长至E使CE=CB,连接ED，,那么量出ED的长，就是A、B的距离.为什么？,1,2,问题:如图有一池塘。要测池塘两端A
7、、B的距离，可无法直接达到,两直线平行，内错角相等,例2：点E、F在AC上，AD/BC，AD=CB，AE=CF 求证（1）AFDCEB,分析：证三角形全等的三个条件,A=C,边 角 边,AD / BC,AD = CB,AE = CF,AF = CE,？,（已知）,两直线平行，FABDCE例2：点E、F在AC上，AD/BC,证明：,AD/BC, A=C,又AE=CF,在AFD和CEB中，,AD=CB,A=C,AF=CE,AFDCEB（SAS）,AE+EF=CF+EF即 AF=CE,摆齐根据,写出结论,指范围,准备条件,(已知）,(已证）,(已证）,（两直线平行，内错角相等）,证明：AD/BC A
8、=C又AE=CF在AFD和,补充题：例1 如图AC与BD相交于点O，已知OA=OC，OB=OD，说明AOBCOD的理由。,例2 如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。,归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到。,ABCDO补充题：例2 如图，AC=BD，CAB= D,课堂小结:,2. 求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形全等。,三角形全等的判定2： 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。 (边角边或SAS),课堂小结:2. 求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明,证明三角形全等的过程,1、准备条件,2
9、、指明范围,3、摆齐根据,4、写出结论,证明三角形全等的过程1、准备条件2、指明范围3、摆齐根据4、,谢谢,谢谢,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）.,在ABC和 DEF中, ABC DEF（SSS）,用符号语言表达为：,三角形全等判定方法1,复习回顾,三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件.,思考,(2) 三条边,(1) 三个角,(3) 两边一角,(4) 两角一边,当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况:,SSS,不能!,?,除了SSS外,还有其他情况吗？继续探索三角形全,探讨三角形全等的条
10、件：,两边一角,思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？,A,B,C,在图中， A,是AB和AC的夹角，,符合图中的条件，称为“两边及其夹角”,探究,探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两边和一,探讨三角形全等的条件：,两边一角,思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？,A,B,C,图二,在图中,B是边AC的对角,探究,C是边AB的对角,符合图中的条件，常说成“两边和其中 一边的对角”,探讨三角形全等的条件：两边一角思考：已知一个三角形的两边和一,两边及其夹角,先任意画出一个ABC,再画一个ABC,
11、使AB=AB,AC=AC, A=A,把画好的 ABC,放到ABC上,它们能全等吗?,探究,两边及其夹角 先任意画出一个ABC,再画一个A,结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等,？,思考： ABC与ABC 全等吗？,画法: 1.画 DAE= A；,2.在射线AD上截取AB=AB,在射线 AE上截取AC=AC;,3. 连接BC.,A,C,B,A,E,C,D,这两个三角形全等是满足哪三个条件？,B,结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等？思考： A,三角形全等判定方法2,用符号语言表达为：,在ABC与ABC中,ABCABC（SAS）,两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角
12、边”或“SAS”),C,B,A,C,B,A,三角形全等判定方法2用符号语言表达为：在ABC与AB,探索边边角,SSA不存在,显然：ABC与ABC不全等,探究,10cm ABC45 8cm 探索边边角BA8cm 45,A,B,D,A,B,C,SSA不能判定全等,ABDABCSSA不能判定全等,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？,两边及夹角对应相等的两个三角形全等（SAS)；,两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等, 现在你知道哪些三角形全等的判定方法？,SSS,SAS,SSA 不成立,两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的,如图，有一池塘，要测池塘两端A、B
13、的距离，可在平地上取一个可直接到达A和B的点C，连结AC并延长至D使CD=CA，连结BC并延长至E使CE=CB，连结ED，那么量出DE的长，就是A、B的距离，为什么？,B,A,D,E,证明：在ABC和DEC中，,AC=DC(已知),ACB=DCE(对顶角相等),BC=EC(已知),ABCDEC（SAS）,AB=DE,(全等三角形的对应边相等),分析：已知两边(相等）,找第三边（SSS）,找夹角 （SAS）,解决问题,如图，已知AC、BD互相平分交于点O，求证：AOBCOD,学以致用,如图，已知AC,A,B,C,D,E,学以致用,如图AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，求证：BC=DE,AB
14、C DE学以致用,如图：如果AB=AC , BAD=CAD求证：ABDACD,A,B,C,D,学以致用,如图：如果AB=AC , BAD=CADABCD学以致用,1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？,边角边（SAS）,2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？,SSS、SAS、,注意哦！,“边边角”不能判定两个三角形全等,1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？边角边（SAS）,1.学习了三角形全等的又一个判定公理:边角边公理，到目前为止，我们已经学习了三种判定三角形全等的方法（一个定义，两个公理）.2.证明两个三角形全等时若缺条件： 找图形的隐含条件； 根据其它已知条件推出所缺条件
15、.3.添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.,1.学习了三角形全等的又一个判定公理:边角边公理，到目前为止,数学首要是聚精会神的思考！,数学首要是聚精会神的思考！,D,A,B,C,如图,AB=CB,ABD=CBD,ABD和CBD全等吗？,学以致用,DABC如图,AB=CB,ABD=CBD,学以致用,如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，B=C求证：A=D,学以致用,如图，点E，F,如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。,证明:在ABC与BAD中,AC=BD CAB=DBA AB=BA,ABCBAD（SAS）,(已知),(已知),(公共边),BC=
16、AD (全等三角形的对应边相等）,学以致用,如图，AC=BD，CAB= DBA，你能判断BC=AD吗,如图ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线AC上，试说明DEBF,学以致用,如图ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线AC上,已知:如图,AB=CB,ABD=CBD,问AD=CD,BD 平分ADC 吗？,D,A,B,C,学以致用,已知:如图,AB=CB,ABD=CBD,问AD=,已知:AD=CD，BD平分ADC，问A=C吗？,学以致用,ABCD已知:AD=CD，BD平分ADC，问A=C吗？,学以致用,如图EAAD于A，FD AD于D，且AE=DF，AB=DC.求证：CE=B
17、F.,学以致用如图EAAD于A，FD AD于D，且AE=DF,已知：如图OP平分MON，OM=ON，MD=ND.求证： OMP ONP ； PMD PND； PMD=PND.,学以致用,已知：如图OP平分MON，OM=ON，MD=ND.学以致用,已知：如图，ACBD，C为垂足，AC=DC，CB=CE.求证：DF AB.,学以致用,A,B,E,F,C,D,已知：如图，ACBD，C为垂足，AC=DC，CB=CE.学,如图,AB=AC,AE=AD, 1= 2,求证:BD=CE.,学以致用,如图,AB=AC,AE=AD, 1= 2,求证:BD=C,D,A,C,B,E,点C是线段AB的中点，CE=CD,
18、 ACD=BCE,求证：AE=BD,学以致用,DACBE点C是线段AB的中点，CE=CD, ACD=B,如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE. 求证：DACEAB,E,A,D,C,B,学以致用,如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE.,如图等边AEB与等边BCD在线段AC的同侧。 求证： ABDEBC,A,B,C,E,D,学以致用,如图等边AEB与等边BCD在线段AC的同侧。,如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在BC上，AD与BE相等吗？试说明理由。,学以致用,CDEBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在BC,如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在ABC内，AD与BE相等吗？试说明理由。,学以致用,EDCBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D在A,如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D.E在ABC外，AD与BE相等吗？试说明理由。,学以致用,EDCBA如图,ABC与DCE都是等边三角形，点D.E在,已知如图ABD与ACE均为等边三角形，求证：DC=BE,B,A,C,D,E,学以致用,已知如图ABD与ACE均为等边三角形，求证：DC=BE,如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形ECF，试说明BE=DF。,学以致用,如图，已知正方形ABCD和等腰直角三角形ECF，试说明BE,
