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1、专题四 二次函数压轴题,类型三 特殊三角形问题,专题四 二次函数压轴题 类型三 特殊三角形问题,例 3（2018山西）如图，抛物线y x2 x4与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接AC，BC.点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PMx轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PEAC交x轴于点E，交BC于点F.,例3题图,典例精析,例 3（2018山西）如图，抛物线y x2 x,解：令y0，得 x2 x40，解得x13，x24，点A，B的坐标分别为(3，0)，(4，0)由x0，得y4，点C的坐标为(0，4)；,【思维教练】已知抛物线的解析式A
2、，B，C三点均为抛物线与坐标轴的交点，分别令y0，x0，求解即可,（1）求A，B，C三点的坐标；,例3题图,解：令y0，得 x2 x40，【思维教练】已,（2）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；,【思维教练】利用待定系数法可求得直线BC的解析式，利用勾股定理计算出AC的长，设点Q的坐标为(m，m4)(0m4)，进而用含m的式子分别表示出CQ2，AQ2，要使ACQ为等腰三角形，需分三种情况讨论：CQCA；AQAC；QAQC，然后分别列方程求出m，即可得到对应的点Q的坐标,例3题图,（2）
3、试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A,解：点Q的坐标为( ， 4)或(1，3)；解法提示：设直线BC的解析式为ykxb，(k0)将B(4，0)，C(0，4)代入ykxb得 ，解得 ，直线BC的解析式为yx4，PMx轴，点P的横坐标为m，点Q的坐标为(m，m4 )，点Q在第四象限，m0，m40，0m4.,例3题图,解：点Q的坐标为( ， 4)或(1,A(3，0)，C(0，4)，AC2AO2CO2(3)2(4)225，CQ2(m0)2m4(4)22m2，AQ2m(3)2(m4)22m22m25，要使以A，C，Q为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论，当ACCQ时，即AC2C
4、Q2，252m2，解得m1 ，m2 (舍去)，点Q的坐标为( ， 4)；,例3题图,A(3，0)，C(0，4)，例3题图,当ACAQ时，即AC2AQ2，252m22m25，解得m30(舍去)，m41，点Q的坐标为(1，3)；当AQCQ时，即AQ2CQ2，2m22m252m2，解得m5 (舍去)综上所述，点Q的坐标为( ， 4)或(1，3),例3题图,当ACAQ时，即AC2AQ2，例3题图,（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值,【思维教练】过点F作FGPQ于点G，由OBC为等腰直角三角形，可判断FQG为等腰直角三角形，则FGGQ FQ，通过证明FGPAOC，再结合
5、线段的和差关系继而得到QF与QP的关系，QP的长可用含m的代数式表示出来，即可求得QF关于m的函数关系式，再利用函数的增减性即可求解.,例3题图,（3）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出【思维教练】,解：如解图，过点F作FGPQ于点G，则FGx轴，由B(4，0)，C(0，4)得OBC为等腰直角三角形，OBCQFG45，GQFG FQ.PEAC，12.FGx轴，23，13.FGPAOC90，FGPAOC，,例3题解图,解：如解图，过点F作FGPQ于点G，则FGx轴，例3题解,例3题解图,PMx轴，点P的横坐标为m，MBQ45，,QPPMQM m2 m4(4m) m2 m，QF QP ( m
6、2 m) m2 m. 0，QF有最大值，当m 2时，QF有最大值,例3题解图,QPPMQM m2 m4(4m,二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：1. 用点坐标表示三角形三边长；2. 根据等腰三角形的性质，分别令三边长两两相等，得到三组方程；3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解， 则不存在这样的三角形 此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算.,备考指导二次函数与等腰三角形判定结合的问题，解决的方法一般为,注：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系,注：作等腰三角形底边的高，用勾股定理或相似建立等量关系,例 4 如图，在平面直角坐标系
7、中，抛物线yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5. (1)分别求直线BC和抛物线的解析式；,【思维教练】先在RtOBC中，利用勾股定理求得点B的坐标，利用B、C两点坐标求得直线BC的解析式，最后将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可,例4题图,典例精析,例 4 如图，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bx,解：点C的坐标为(0，3)，OC3，在RtBOC中，OC3，BC5，OB 4，点B的坐标为(4，0)，将点B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中，得 ，解得 ，直线BC的
8、解析式为y x3.,例4题图,解：点C的坐标为(0，3)，OC3，例4题图,点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上， ，解得 ，抛物线的解析式为y x2 x3；,例4题图,点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，例4,（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由,【思维教练】要求点P坐标，可用未知数t将点P坐标表示出来，再分别用含t的式子表示出PC、PB、BC的长度，PBC为直角三角形时，分BCP90，PBC90，BPC90，这三种情况讨论，利用勾股定理列方程求解.,例4题图,（
9、2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点,解：存在由(1)知抛物线解析式为y x2 x3，对称轴l为直线x ，设点P的坐标为( ，t)，如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，PB，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为( ，3)，点M的坐标为( ，0)，则CD ，PD|t3|，PM|t|，BM4 ，,例4题解图,解：存在例4题解图,PC2CD2PD2 (t3)2，PB2PM2BM2t2 ，BC225，当BCP是直角三角形时，则有：(i)当BCP90时，即PCBC，有PC2BC2PB2，即 (t3)225t2 ，解得t ，此时点P的坐标为( ， )；(ii)当PBC90时，
10、即BPBC，有BP2BC2PC2，即t2 25 (t3)2，解得t2，此时点P的坐标为( ，2)；,例4题解图,PC2CD2PD2 (t3)2，PB2,(iii)当BPC90时，即CPBP，有BP2PC2BC2，即t2 (t3)225，解得t1 ，t2 ，此时点P的坐标为( ， )，( ， )，综上可得，存在满足条件的点P，点P的坐标为( ， )，( ，2)，( ， )，( ， ),例4题解图,(iii)当BPC90时，即CPBP，有BP2PC,备考指导,二次函数与直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为：1. 用点坐标表示三角形三边长的平方；2. 根据直角三角形的性质，对直角顶点进行分类讨论，利用勾股定理分 别列方程；3. 分别解这几个方程，若方程有解，则这个解即为所求；若方程无解， 则不存在这样的三角形 此类问题也可以利用数形结合，先找点，再计算,备考指导二次函数与直角三角形判定结合的问题，解决的方法一般为,初中数学中考复习专题四：-二次函数压轴题集训类型三-特殊三角形问题,注：其他常见方法有：作垂直，构造“三垂直”模型，利用相似比列方程求解；平移垂线法：若以AB为直角边，且AB的一条垂线的解析式易求(通常 为过原点O且与AB垂直的直线)，可将这条直线分别平移至过点A或点 B，得到相应解析式，再联立方程求解,注：其他常见方法有：,
