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1、第七章平面向量,7.平面向量的概念及线性运算,创设情境兴趣导入,如图所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？,动脑思考探索新知,如力、速度、位移等,加箭头，记作 ,的向量记作,在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量,量做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），,通常使用有向线段来表示向量线段箭头的指向表示向量的方向，,线段的长度表示向量的大小,如右图所示，有向线段的起点叫做向量的起点，有向线,段的终点叫做向量的终点以A为起点，B为终点,也可以使用小写英文字母，印,刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面,我们经常用
2、箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线段,动脑思考探索新知,向量的大小叫做向量的模向量a,的模依次记作,模为零的向量叫做零向量记作0，,零向量的方向是不确定的,模为1的向量叫做单位向量,如力、速度、位移等,在数学与物理学中，有两种量只有大小，没有方向的量,做数量（标量） ，例如质量、时间、温度、面积、密度等,既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），,例1一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机从A处朝北偏东45方向飞行200km， 两架飞机的位移相同吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移,解位移是向量虽然这两个向量的模相等，但是它们的方向不,同，所以两架飞机的位移不相同两架飞机位移的
3、有向线段表示分别,为图中的有向线段a 与b,a,b,A,巩固知识典型例题,想一想,巩固知识典型例题,说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格边长为1),动脑思考探索新知,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量,向量a与向量b平行记作a/b,规定：零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量,动脑思考探索新知,方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量,向量a与向量b平行记作a/b,规定：零向量与任何一个向量平行,由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此相互平行的向量又叫做共线向量,想一想,下图中，哪些
4、向量是共线向量？,动脑思考探索新知,向量只有大小与方向两个要素当向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ,与非零向量的模相等，且方向相反的向量叫做向量的负向量，记作 a,规定：零向量的负向量仍为零向量,例2在平行四边形ABCD中（图75），O为对角线交点,巩固知识典型例题,要结合平行四边形的性质进行分析两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反,例2在平行四边形ABCD中（图74），O为对角线交点,巩固知识典型例题,解 由平行四边形的性质，得,（1）,（2）,（3）,运用知识强化练习
5、,2如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出,创设情境兴趣导入,王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到,达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60角方向行,走200 m到达学校（C处）（如,总效果是从家（A处）到达了学,图）王涛同学这两次位移的,校（C处）,动脑思考探索新知,A,C,B,a,b,a+b,a,b,一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A,记作ab ，即,（71）,求向量的和的运算叫做向量的加法上述求向量的和的方法,叫做向量加法的三角形法则,动脑思考探索新知,（1）ab与ba相等吗？请画出图来说明,（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量
6、？,想一想,动脑思考探索新知,如图所示，ABCD为平行四边形，由于,根据三角形法则得,的和这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则,平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：,(1) a0 = 0a=a； a（ a）= 0；,(2) ab = ba；,(3) （ab） c = a （bc）,巩固知识典型例题,例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流速度为5 km/h，求该船的实际航行速度,速度，由向量加法的平行四边形法则，,是船的实际航行速度，显然,=13,利用计算器求得,即船的实际航行速度大小是13km/h，其方向与河岸线的夹角约,巩固知识典
7、型例题,例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条,，求物体受到沿两条绳子的方向的,绳子的方向与垂线的夹角为,解 利用平行四边形法则，可以得到,所以,动脑思考探索新知,想一想,根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂,成什么角度时，双臂受力最小？,运用知识强化练习,计算：,动脑思考探索新知,与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义,为向量a与向量b的差即,a b = a(b),即,（72）,观察图可以得到：起点相同的,个向量，其起点是减向量b的终点，,两个向量a、 b，其差a b仍然是一,终点是被减向量a的终点,设a ， b ，则,a,巩固知识典型例题,例5
8、已知如图所示向量a 、b ，请画出向量a b,B,b,O,A,b,a,解 如图所示，以平面上任一点O,= a b ,运用知识强化练习,计算：,创设情境兴趣导入,3a是一个向量，其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍，即,|3a| = 3|a| ,观察下图可以看出向量 与向量a共线，并且,a,动脑思考探索新知,（73）,（74）,由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当 时，有,时， a的方向与a的方向相反,动脑思考探索新知,一般地，有,数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于,向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形
9、，可直接应用于向量的运算中但是，要注意向量的运算与数的运算的意义是不同的,做一做,请画出图形来，分别验证这些法则,巩固知识典型例题,b，试用a, b表示向量 、,因为O分别为AC，BD的中点，所以,可以用向量a，b线性表示,巩固知识典型例题,向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算,运用知识强化练习,计算：,（1）3(a 2 b) 2(2 ab)；,（2）3 a 2(3 a 4 b)3(a b),（1） a 8b ；（2）5b ,当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，这种量叫做向量（矢量） 向量的大小叫做向量的模向量a, 的模依次记作，向量a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b相等，记作a = b ,自我反思目标检测,自我反思目标检测,作 业,继续探索活动探究,
