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1、Heat Capacity of Solids固体热容,在十九世纪，由实验得到在室温下固体的比热是由杜隆-珀替定律给出的：,热容是一个与温度和材料都无关的常数。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德罗常数（6.031023 atoms /mole）KB是玻尔兹曼常数（1.3810-16尔格/开，尔格是功和能量的单位1焦耳=107尔格）。回想一下，1卡路里= 4.18焦耳= 4.18107尔格。因此，（2.90）所给出的结果,cal/deg mole,（2.91）,（2.90）,固体比热的经典理论,杜隆-珀替定律的解释是基于经典统计力学的均分定理的基础之上的，该定理假设每个原子关于它的平衡位置做简谐振
2、荡，那么一个原子的能量就为：,（2.92）,在一个处于平衡状态的系统中，能量均分定理指出:,对于上式中的其他项也都适用，因此在温度T时每个原子的能量都为 E=3kBT,固体比热的经典理论,1摩尔原子的能量则为,（2.93）,随后，Cv, 由（2.90）式给出。后来发现，杜隆-珀替定律只适用于足够高的温度。对于一个典型固体 Cv 的值被发现随温度的影响具有如图2.9所示的行为。,固体比热的经典理论,由图可知，在低温时，热容量不再保持为常数，而是随温度的下降很快趋向于零。,固体比热的经典理论,为了解决这一问题，爱因斯坦提出了量子热容理论。根据量子理论，各个简谐振动的能量本征值是量子化的，即,（nj
3、=整数）,Modern Theory of the Specific Heat of Solids 固体比热的现代理论,把晶体看作一个热力学系统，在简谐近似下引入简正坐标Qi（i=1,23N）来描述振子的振动。可以认为这些振子独立的子系，每个谐振子的的统计平均能量：,令,零点能,平均热能,Modern Theory of the Specific Heat of Solids 固体比热的现代理论,在一定温度下，晶格振动的总能量为：,Heat Capacity of Solids固体热容,上式对T求微商，得到晶格热容：,上式分析了频率为j的振子对热容量的贡献，晶体中包含有3N个简谐振动，总能量为
4、：,Heat Capacity of Solids固体热容,总热容就为：,爱因斯坦模型假设晶体中原子的振动是相互独立的, 而且所有原子都以同一频率 0 振动。,0 的值由实验选定，使理论与实验一致。,不足之处：模型过于简化，得到的结果以指数形式趋于0，与实验中以T3 变化不符。 Einstein模型趋于零 的速度太快！,该模型的成功之处：证明,Einstein模型,由固体比热的现代理论可知：,经典的能量均分定理可以很好地解释室温下晶格热容的实验结果。,困难：低温下晶格热容的实验值明显偏小，且当T0时， CV 0，经典的能量均分定理无法解释。,2. Einstein模型,在一定温度下，由N个原子
5、组成的晶体的总振动能为：,假设：晶体中各原子的振动相互独立，且所有原子都 以同一频率0振动。,即：,定义 Einstein温度：,高温下：T E 即,在低温下：T E 即,当T0时，CV 0，与实验结果定性符合。,根据Einstein模型，T0，,但实验结果表明， T0 ， CV T3;,Einstein模型金刚石热容量的实验数据,3. Debye模型,假设：晶体是各向同性的连续弹性介质，格波可以看 成连续介质的弹性波。,这表明，在q空间中，等频率面为球面。,为简单，设横波和纵波的传播速度相同，均为c 。,4. Debye模型 Einstein模型过于简化，固体中原子的振动不是孤立的。晶体中原
6、子的振动采用格波的形式，频率有一个分布, Debye模型考虑了频率分布。（1）频率分布函g()的定义 在+d之间的简谐振动数为N，定义频率分布函数为：,g()称频率分布函数或振动模的态密度函数（视为连续函数） 振动模对热容量的贡献只决定于它的频率，由频率分布函数，可以写出热容：,写出g()的解析表达式就可以计算出热容量。,在d之间晶格振动的模式数为,定义Debye温度：,对于大多数固体材料： D102 K,作变换：,在高温下：T D，即,在低温下：T D，即,利用Taylor展开式：,利用积分公式：,这表明，Debye模型可以很好地解释在很低温度下晶格热容CV T3的实验结果。,由此可见，用D
7、ebye模型来解释晶格热容的实验结果是相当成功的，尤其是在低温下，温度越低，Debye近似就越好。,几种材料晶格热容量理论值与实验值的比较,在非常低的温度下，由于短波声子的能量太高，不会被热激发，而被“冷冻”下来。所以 的声子对热容几乎没有贡献；只有那些 的长波声子才会被热激发，对热容量有贡献。,在q空间中，被热激发的声子所占的体积比约为,由于热激发，系统所获得的能量为：,CV T3必须在很低的温度下才成立，大约要低到TD/50，即约10 K以下才能观察到CV随T3变化。,Debye模型在解释晶格热容的实验结果方面已经证明是相当成功的，特别是在低温下， Debye理论是严格成立的。但是，需要指
8、出的是Debye模型仍然只是一个近似的理论，仍有它的局限性，并不是一个严格的理论。,In的Debye温度D随温度的变化,density of states模式密度（态密度？）g(),确定振动谱的实验方法,晶格振动的q关系，称格波的色散关系，也称晶格振动谱。原则上声子对X-ray、光子和中子的散射可以通过入射波的非弹性散射反映，测量散射束可以得到声子信息。 固体物理学书上介绍的是中子的非弹性散射，也是最重要的实验方法，除此之外还有X射线散射，光的散射等。,中子的非弹性散射： 为什么说中子的非弹性散射实验较好？ （1）慢中子的能量约在0.020.03eV，而声子能量约为0.01eV，它们在同一数量级。 （2）中子的德布罗意波长约为23，与晶格常数同数量级。光散射只能测量少数振动模，所以也不是很常用。可见光的非弹性散射： （1）光与声学声子的散射称布里渊区散射。 （2）光与光学声子的散射称拉曼散射。 光散射与中子散射相比，其可测量范围太小。,
