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1、3 垂直于弦的直径,问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,创设情境：,由此你能得到圆的什么特性？,可以发现：圆是轴对称图形。任何一条直径所在直线都是它的对称轴,不借助任何工具，你能找到圆形纸片的圆心吗?,探究：,探究：,如图,AB是O的一条弦, 直径CDAB, 垂足为E.你能发现图中有那些相等的线段和弧? 为什么?,O,A,B,C,D,E,线段: AE=BE,1 垂径定理,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,CDAB, AE=BE,O,A,B
2、,C,D,E,归纳：,老师提示:垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相互转化,形成整体,才能运用自如.,2 垂径定理推论,a 推理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。, CDAB, CD是直径，,AE=BE,O,A,B,C,D,E,垂径定理的本质是,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分弦（4）这条直线平分弦所对的优弧（5）这条直线平分弦所对的劣弧,（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧,讨论：上述五个条件中的任何两个条件作为题设，是否都可以推出其他三个结论.
3、,C,E,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.,(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.,垂径定理,推论：,(4)圆的两条平行弦所夹的弧相等。,垂径定理,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.,题设,结论,（1）直径（2）垂直于弦,（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心MNAB, AC=BC, ,垂径定理,M,O,A,C,B,N,直线MN过圆心 AC=BC,垂径
4、定理推论1,推论1. (1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。,M,O,A,C,B,N, MNAB AC=BC,垂径定理推论1,推论1:(2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;,M,O,A,C,B,N,垂径定理推论1,推论1: (3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,垂径定理推论2,(4)若 ，CD是直径,则 、 、 .,(1)若CDAB, CD是直径, 则 、 、 .,(2)若AM=MB, CD是直径, 则 、 、 .,(3)若CDAB, AM=MB, 则 、 、 .,1.如图所示:,练习,AM
5、=BM,CDAB,CD是直径,CDAB,AM=BM,下列图形是否具备垂径定理的条件？,是,不是,是,不是,深化：,垂径定理的几个基本图形：,CD过圆心,CDAB,AE=BE,巩固：,1、如图，AB是O的直径，CD为弦，CDAB于E，则下列结论中不成立的是（ ）,A、COE=DOE,B、CE=DE,C、OE=AE,C,2、如图，OEAB于E，若O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm。,O,A,B,E,解：连接OA， OEAB, AB=2AE=16cm,3、如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径。,O,A,B,E,解：过点O作OEAB于E，连接OA, O
6、的半径为5cm.,cm,AB,AE,4,2,1,=,=,4、如图，CD是O的直径，弦ABCD于E，CE=1，AB=10，求直径CD的长。,已知O的直径是10 cm，O的两条平行弦AB=6 cm ，CD=8cm，求弦AB与CD之间的距离。,C,D,6,8,10,10,8,6,C,D,F,EF有两解：8+6=14cm 8-6=2cm,5,1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段,归纳：,2、一个Rt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦,O,A,B,C,3、两个定理： 垂径定理、勾股定理,你能利用垂径定理解决求赵州桥拱半径的问题吗?,37.4m,7.2m,A,B,O,C,D,关于弦的问题，常常需要过圆心
7、作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。,解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在的圆的圆心为O，半径为r.,经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与AB交于点C，则D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高., AB=37.4m，CD=7.2m, AD=1/2 AB=18.7m，OD=OC-CD=r-7.2,解得r=27.9（m）,即主桥拱半径约为27.9m.,加强练习,判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧 ( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心 ( ),（3）圆中不与直径垂直的弦必不被这条直径平分 ( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,判断,
