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1、立体几何复习小结,沿河民族中学：阚 辉,知识框架,一、空间几何体的结构,简单组合体,棱柱,注：四棱柱-平行六面体-直平行六体- 长方体-正四棱柱-正方体,四棱柱,四棱柱,直四棱柱侧棱垂直底面,平行六面体底面是平行四边形,长方体,正四棱柱,正方体,侧面垂直底面,棱锥,注：解题中应灵活运用三棱锥（可以任意换底）的特殊性，处理问题。,棱锥,棱锥,正四棱锥,正三棱锥,正四面体,体积VSh/3,顶点在底面正多边形的射影是底面的中心,多面体,球,正方体的内切球和它的外接球,“三视图”,画一个物体的三视图时,正视图,侧视图,俯视图所画的位置如图所示,且要符合如下原则:,长对正,高平齐,宽相等.,1、从前面正
2、对着物体观察，画出主视图，主视图反映了物体的长和高及前后两个面的实形。,三视图表达的意义,2、从上向下正对着物体观察，画出俯视，布置在主视图的正下方，俯视图反映了物体的长和宽及上下两个面的实形。,3 、从左向右正对着物体观察，画出左视图，布置在主视图的正右方，左视图反映了物体的宽和高及左右两个面的实形。,三视图能反映物体真实的形状和长、宽、高。,三、空间几何体的表面积和体积,圆柱的侧面积：,圆锥的侧面积：,圆台的侧面积：,球的表面积：,柱体的体积：,锥体的体积：,台体的体积：,球的体积：,求体积时常用的方法,直接法,割补法,变换法,根据条件直接用柱体或锥体的体积公式,如果一个多面体的体积直接用
3、体积公式计算用困难，可将其分割成易求体积的几何体，逐块求积，然后求和。,如果一个三棱锥的体积直接用体积公式计算用困难，可转换为等积的另一三棱锥，而这一三棱锥的底面面积和高都是容易求得,直线与平面,平面,平面的概念和性质及三个推论,空间两条直线,平行直线,公理4,异面直线,判定定理,所成的角,距离,相交直线,等角定理,空间直线与平面,线在面内,线面平行,判定定理、性质定理,线面间距离,线面相交,斜交,线面成角,直交,判定、性质定理、点到面的距离,空间两个平面,平行,判定、性质定理,两平面间的距离,相交,直交,判定 、性质定理,斜交,二面角及平面角,一、复习导航,D,B,C,二、典例探讨,线平行线
4、,线平行 面,面平行 面,线面平行判定,线面平行性质,面面平行判定,面面平行性质,三种平行关系的转化,平行问题,判定定理：,平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该与此平面平行。,性质定理：,一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行,性质定理可以看作直线和直线平行的判定定理的应用。定理中的三个条件作用：证明线线平行,一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行,面面平行的判定定理,a ，b ，a b = P，a ，b ,符号表示：,线面平行 面面平行,性质定理：,如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。,若/，=b，=a 则
5、a/b,面面平行,线线平行,？,由平面与平面平行，你可以得到其它性质吗？,线垂直线,线垂直 面,面垂直 面,线面垂直判定,线面垂直定义,面面垂直判定,面面垂直性质,三种垂直关系的转化,垂直问题,直线与平面垂直的定义,若直线 和平面 内的任意一条直线都垂直,则称 直线 与平面 互相垂直,直线 叫做平面 的垂线,平面 叫做直线 的垂面,直线 与平面 的交点叫垂足,若一条直线与一个平面垂直，则平面内所有直线都与已知直线垂直。,一条直线与一个平面内的 都垂直，则该直线与此平面垂直。,直线与平面垂直的判定定理,符号语言：,两条相交直线,这两条相交直线m、n是否和已知直线 l 有公共点是无关紧要的,已知：
6、 a/b，a求证： b,2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。,证明：在平面内作两条直线 m、n相交于P a am，an 又 a/b bm，bn 且 m ，n ，m n=P b,P,1、若直线和平面垂直，则直线与平面内任一条直线都垂直。,三、直线与平面垂直的性质定理,3、变式：已知a与b是异面直线，且求证：m/n.,m,n,平面角是直角的二面角叫直二面角,两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直,把直立平面的竖边画成和水平平面的横边垂直记作,四、面面垂直的定义,判定两个平面互相垂直，除了定义外，还有下面的判定定理两个平面垂直的判定定理
7、：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直,符号表示: AB, AB 则,线面垂直面面垂直,5、面面垂直的判定定理,面面垂直的性质定理1：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直另一个平面,结论：两个平面垂直，过一个平面内一点作另一平面的垂线，则该线在这一平面内,面面垂直的性质定理2,面面垂直的性质定理3,P,A,B,C,D,M,N,K,o,L,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点
8、为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。,A,L,B,O,角度问题,空间角的计算,（1）异面直线所成角,平移转化法,（2）斜线与平面所成角,射影转化法,（3）平面与平面所成角,平面角法,在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求： （1）AD1和BD所成的角；（2）AD1和面BDD1B1所成的角；（3）二面角C1-BD-C的正切值。,A,B,C,D,E,F,G,H,P,A,B,C,D,M,N,K,o,L,A,B,C,D,S,M,N,E,F,Q,A,B,C,D,E,F,B,D,A,C,E,F,M,C,a,A,B,C,D,E,F,A,B,C,D,P,E,O,
9、F,P,A,B,C,D,E,F,3、注重语言互译,（1）文字语言,（2）符号语言,（4）作图（斜二测画法）、识图（三视图）、用图（提供直观）,（3）图形语言,一、立足课本 , 夯实基点,直线a在平面 内,二、总结规律 突破难点,1、平行与垂直的证明,看条件，想性质；看结论，想判定。,2、三视图的实物还原,长对正，高平齐，宽相等。,条件,结论,三空间的角,1、 、两条异面直线所成的角：关键是找平行线，通常利用三角形的中位线与边的平行关系或补成平行四边形。,2、直线和平面所成的角：求斜线与平面所成的角的关键是找斜线在平面内的射影，即找斜线上的点在平面内的射影，为此通常利用平面与平面的垂直的性质。,
10、3、二面角：关键是找二面角的平面角，通常利用（1）定义（2）三垂线定理及其逆定理（3）作棱的垂面（4）特殊图形的性质,四、总结规律 , 突破难点,5、简单几何体面积与体积的计算,（1）多面体,（2）旋转体,注意正棱锥、正棱台中的 4 个直角三角形（如右图）,注意圆柱、圆锥、圆台的轴截面、侧面展开图和球的大圆面（如右图）,B,五、总结规律 , 突破难点,6、平面图形的翻折,例如，将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，求AB和CD所成角。,翻折规律：翻折前后在翻折线同侧的所有量之间的关系均保持不变；翻折前后在翻折线两侧的量之间的关系一般将发生改变；,PB 平面AEC,六、注重纠错 , 补强弱点,【案例1】（徐州09-10届高三摸底16）如图，在底面是矩形的四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=AD，E是PD的中点。（1）求证：PB平面AEC;（2）求证：平面PDC平面AEC。,O,存在问题：,（1）符号表示不规范。如OE面AEC；,（3）证明方向不能推出。如误以为“PD 面AEC”，事实上 “AE面PDC”.,（2）定理叙述不完整。如因为PB OE, OE 面AEC, ，所以PB平面AEC;,七、注重纠错 , 补强弱点,答：正四面体内任意一点到各个面的距离之和等于此正四面体的高,存在问题：,
