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1、数学建模-企业营销管理问题摘要本文主要采用目标规划的方法解决市场营销中的利润最大化问题。在市场经济中公司占有主导地位，生产产品，并由营销部负责宣传销售，销售的产品可分为两大类，计划外与计划内，计划内又可分为已签订合同和有意向签订合同，通过销售计划外的产品销售部可以从中获利。在以上销售模式的基础上，运用多目标非线性规划的方法，解决题中所给出的问题。问题（1）、（2）的解决方法类似，通过题中所给数据，分别利用MATLAB拟合出经费与订购量，计划内订购量与利润，计划外订购量与销售额，销售量与成本，销售量与宣传费之间的关系，列出利润与销售量的函数，根据题意列出约束变量，用LINGO求解，得出各个变量取
2、值，从而得出最优营销方案。问题（3）中涉及公司与营销部的利润，要使之均衡并取得最大利润。本文在（1）（2）两问的基础上引进偏差变量，根据公司与营销部的最大利润比，得出二者相应的权重。使偏差变量的取值最小，得出相对最优解。问题（4）相对第三问在满足公司和营销部的利润的同时，还要兼顾客户的需求。根据题中所给数据，得出每个客户对每种产品的需求的数学期望，为满足以上三个要求，为每个变量引进相应的偏差变量，建立目标函数，使所有偏差变量的总和达到最小，此时的解即为相对最优解。问题（5）为使营销部利润最大化，计划外产品的售价可由营销部自行制定。根据所给统计数据关系，得出各个产品的单价与销售量的关系，进而得出
3、新的销售额与销售量的关系，利用问题（2）的模型，得出最营销方案。根据该模型，可得出公司最大利润可达到949.3777万元；销售部最大收入可达到202.9195万元；兼顾二者利益之后，公司的最大利润为841.55万元，营销部的最大利润为182.42万元；调整价格之后，营销部的收入由原来的202.9195万元增加到383.1077万元。本模型具有一定可扩展性，当产品的种类产生变动（增加或减少）时，可对模型中的变量做相应增减，当市场行情或企业的生产能力发生变化时，亦可对目标函数以及约束方程做相应调整，以满足各个方面的需求。关键词：目标规划 营销方案 偏差变量 曲线拟合目 录一问题重述2二问题分析3三
4、模型假设3四符号说明3五模型建立与求解4（1）问题一5（2）问题二6（3）问题三8（4）问题四10（5）问题五13六模型检验及评价16灵敏度分析16模型检验16模型缺点17模型优点17七模型推广17参考文献17附录一18附录二22一问题重述任何一个企业都面临着将产品推向市场，销售出去。一般的，企业下设营销部，企业生产的产品要通过营销部进行销售。由于企业生产能力的制约，因此需要在满足已签约的销售合同量的基础上，对意向签约量有选择的安排生产。一方面，企业会组织安排生产，完成已签约的销售合同；另一方面，企业希望营销部门尽力争取与意向签约的客户签订正式销售合同；除此之外，企业还希望销售部门努力再多销售
5、一些产品（计划外）。对于所签约的销售合同和意向签约量（计划内），企业根据销售量向营销部发放经费（包括工资以及宣传费用等）；对于计划外销售的产品，实行承包制，营销部向企业缴纳利润。产品的生产费用由企业承担，与销售有关的费用（如产品的宣传费用等）由营销部承担。宏宇电器公司2011年计划生产三类10种小家电，其中包括：热水壶（1.5升，1.8升，2升）、豆浆机（0.9升，1.1升，1.3升）、电饭煲（2升，2.5升，3升，3.5升）。三类小家电的年最大生产能力分别为：热水壶：5万个；豆浆机：6.5万个；电饭煲6.2万个目前，10种小家电的“已签约合同量”以及“意向签约量”见附件的表1。公司的生产成本
6、详见附件的表2。每种小家电的宣传费用随着销售量而变化，详见附件的表3。每种产品的销售额随着每单合同的订购量而变化，详见附件中的表4。公司现已签约订单八个，每单的签约量见附件的表5。公司现有意向签约客户五家，每家的意向签约量见附件的表6。对于每个有签约意向的客户，可能签订订购合同量的概率见附件中的表7-表11。对于营销部销售计划外的产品，可能签订订购合同量（万个）的概率见附件中的表12。对于计划内销售的产品，企业向营销部发放的经费（万元）见附件的表13。对于计划外销售的部分，营销部向企业缴纳的利润（万元）见附件的表14。请分别按以下要求为宏宇电器公司制定相应的生产、销售方案：（1）使公司的利润达
7、到最大；（2）使营销部的总收入极大化；（3）兼顾公司和营销部二者的利益；（4）兼顾公司、营销部的利益以及客户的需求，尽量做到均衡销售；（5）公司为了调动营销部的积极性，为公司多创利润，规定对于计划外销售的产品，营销部可以自行定价。统计数据显示，自行定价后每单位产品的销售价格上涨或下降5，则三类小家电的可能销售量相应的减少或增加10。试确定使营销部总收入最大的定价、生产及销售方案。二问题分析本题使在公司生产产品，销售部负责宣传销售的模式基础上，为满足不同需求，使利润最大化，分别建立模型，求解最优值。根据题中所给数据，对各个图标加以分析，利用MATLAB软件，进行数据拟合，得出经费与订购量，计划内
8、订购量与利润，计划外订购量与销售额，销售量与成本，销售量与宣传费之间以及销售部自行定价后单价与销售量的函数关系。对于公司的利润问题，涉及产品的成本、订购量、发放给营销部的经费、宣传费、销售额等均有关系，对相应因素进行综合分析，列出公司利润的目标函数，以及约束变量，利用LINGO软件进行求解以及检验。对于使销售部收入最大的问题，与公司利润最大问题类似。考虑要兼顾公司利润与营销部收入时，可为其引进相应偏差变量，并根据实际情况设定相应权重，利用目标规划的方法，即可得出最优销售方案。对于兼顾公司、营销部、客户的利益的问题，同样采用上述思想即可。当销售部对计划外产品可自行定价后，根据题中所给单价上涨5%
9、，销售量下降10%的关系可得出新的销售额与销售量的关系，利用与问题二类似的思想，即可得出最佳销售方案。三模型假设1.所生产的产品质量均合格，无退回产品。2.签约合同无违约现象。3.公司有足够资金周转。4.营销部上报销售数据真实可靠，无侵吞现象。5.公司发放经费无拖欠、克扣现象。6.市场经济无大幅度波动。7.营销部严格执行公司的决策。四符号说明1.：十种小家电编号，分别为1102.：五个意向合同的销售方案号，分别编号为15，计划外销售方案为63.：第号家电在第个销售方案中的销售量4.：计划内第种小家电销售额与订购量的函数5.：计划外第种小家电销上缴利润与销售量的函数6.：第种小家电成本与订购量的
10、函数7.：计划内第种小家电经费与订购量的函数8.：第种小家电宣传费与销售量的函数9.：自行定价后，第种小家电销售额与销售量的函数10.：偏差变量11. ：已签订合同中第种小家电的销售量五模型建立与求解本文主要采用拟合的方法，处理题中所给数据，根据各个表分别得出已签订的合同的销售额、五个客户意向签订合同的销售额、营销部上缴利润和计划外销售成本、销售成本以及发放给营销部的经费等关系，得出相应函数以及拟合曲线。例如：用MATLAB软件拟合出表二中产品一成本与产量之间的关系如下图：图 1产品一成本与产量之间的关系=其他函数关系方法类似，具体见附录。（1）问题一公司的利润与已签订的合同的销售额、五个客户
11、意向签订合同的销售额、营销部上缴利润和计划外销售成本、销售成本以及发放给营销部的经费有关，经分析可得如下关系：公司总利润=已签订合同的销售额+五个客户意向签订合同的销售额+营销部上缴利润和计划外销售成本-发放给营销部的经费-销售成本其相应函数关系可由题中各个表的数据拟合得出，建立如下公司利润的目标函数：-用lingo求得最优解为：得到公司最大利润为949.3777万元最优生产方案如下表：编号12345678910产量（千件）11.03425.4613.516.3728.9219.7114.9228.0812.96.11表 1公司利润最大的生产方案所得最优销售方案如下（已签订合同按订购量生产，题
12、中已给出）：（单位：千件） 编号合同1234567891011.51100012.51.9021.5210001410.52300031.510000400023.51000050000001.923.500.5260.0342.461.51.373.922.7101.0800.07表 2公司利润最大的销售方案（2）问题二营销部的收入与计划内销售量、计划外销售量、产品宣传费、上缴利润有关系，各个关系函数可由其中所给表中数据拟合得出，根据题意列出如下关系式：营销部收入=计划内经费+计划外销售额-宣传费用-上缴利润-上缴计划外销售量成本其相应函数关系可由题中各个表的数据拟合得出，建立如下营业部收入
13、的目标函数：营销部利润： 最优解为：(结果保留两位小数)所得销售部最大收入为202.9195万元最优生产方案如下表：编号12345678910产量（千件）8321014.5828.1822.2419.625.1315.285表 3营销部收入最大生产方案最优销售方案为，已签订合同的销售量不做改变，不签订意向合同，对于计划外销售方案如下表： （单位：千件）产品号12345678910销售量01204.588.187.248.608.135.280表 4销售部收入最大的销售方案（3）问题三兼顾公司和营销部二者的利益，利用目标规划可设相应偏差变量，根据一二问中得出的公司和销售部二者的最大利润，可得利润
14、比大致为5：1，因此可设权重为1：5关系。依题意的如下关系模型：目标函数：最优值为： (结果保留两位小数)兼顾二者利益之后，公司的最大利润为841.55万元，营销部的最大利润为182.42万元。最优生产方案如下表：编号12345678910产量（千件）834101023.3121.681136105表 5兼顾二者利益的生产方案所得最优销售方案如下（已签订合同按订购量生产，题中已给出）：（单位：千件） 编号合同12345678910100000002.5000202000003.6800300001.50.350000400003.50.350000500000003.50006012.0000
15、8.315.9809.3200表 6兼顾二者利益的销售方案（4）问题四为兼顾公司与销售部的利益和客户需求三者，采用目标规划的方法，对各个变量添加相应偏差变量，使三者均衡并达到相对最优。为满足客户需求，根据各个客户对每种产品的需求量的概率各不相同，得出每个客户对每种产品订购量的期望。期望如下表：（单位：万元/千件） 编号合同1234567890一0.90.40.450000.71.71.70二1.051.050.50000.62.950.81.3三0001.250.80.50000四0000.82.150.30000五0000000.71.7501.1表 7意向客户对每种产品订购量的期望建立目标
16、函数使得偏差变量总和最小。：第i号产品在第j个合同里满足公司利润最大的订购量的偏差变量。：第i号产品在第j个合同里满足营销部收入最大的订购量的偏差变量。：第i号产品在第j个合同里满足客户期望的偏差变量。目标函数：根据一二问的解和所得期望表列出如下约束方程。满足公司利润最大：满足营销部收入最大：满足客户期望：最优值为：(结果保留两位小数)最优生产方案如下表：编号12345678910产量（千件）9.9523.9110.9512.0526.8718.511324.48126.04表 8兼顾三者利益的生产方案所得最优销售方案如下（已签订合同按订购量生产，题中已给出）（单位：千件） 编号合同12345
17、67891010.900.400.450000.701.701.00021.051.050.500000.602.951.000.5230001.250.800.50000040000.802.150.30000050000000.701.7500.52602.4601.373.922.7101.0800表 9兼顾三者利益的销售方案（5）问题五在题中所给销售额随订购量变化数据的基础上，得出单价与销售量的关系，根据题中所给单价上涨5%，销售量减少10%的关系，进而得出新的销售额与订购量的关系。如下表所示： （单位：万元/千件）0.91.82.73.64.55.46.37.28.199.9111.
18、9121.6431.4640.7249.0456.7964.2671.5377.5884.7689.11212.9723.9034.3044.0353.3961.5170.0276.6383.8292.2396.95313.4925.0435.6245.7355.5664.4472.8579.1987.4196.01102.06430.4258.4086.18108.39129.46149.12168.11184.08199.30219.14232.65535.0567.9497.80124.36149.31171.89193.63212.34231.61252.59267.71635.987
19、0.30100.35127.48152.99176.62198.73217.72236.15259.30276.60737.0471.15103.28130.31156.01178.32199.96218.10237.95260.34278.39839.6975.78110.65139.67167.07191.17214.23235.02255.43278.96297.58941.9380.13116.89147.51176.52201.85226.32238.99260.06294.74313.551042.9982.12119.07150.82180.96206.95232.09254.5
20、8276.03302.21322.52表 10自行定价后销量与订购量的关系图 2自行定价后产品一单价与销量的关系根据上表，拟合得出新的销售额与销售量的关系，以提价后第一种家电销售额与订购量的关系为例：图 3自行定价后第一种家电销售额与订购量的关系其余见附录一。建立目标函数：得出最优解：(结果保留两位小数)自行定价后销售部的最大收入为303.1077万元。最优生产方案如下表：编号12345678910产量（千件）12.427.61015.1527.822.0516.7824.5415.685表 11自行定价后销售部收入最大的生产方案最优销售方案为，已签订合同的销售量不做改变，不签订意向合同，对于
21、计划外销售方案如下表：（单位：千件）产品号12345678910销售量4.407.6005.157.807.055.787.545.680表 12自行定价后销售部收入最大的销售方案六模型检验及评价灵敏度分析根据lingo运行的结果可看出，在问题一中，每增长一个单位（即一千件）时，公司利润对应的增加量，如增加一千件，其他取值不变的情况下，公司利润增加0.57万元。其他问结果类似，在此不做一一赘述。模型检验公司最大利润可达到949.3777万元；销售部最大收入可达到202.9195万元；兼顾二者利益之后，公司的最大利润为841.55万元，营销部的最大利润为182.42万元，均小于可达到的最大利润；
22、在兼顾公司利润、销售部收入和客户需求的基础上，得出的销售方案；调整价格之后，营销部的收入由原来的202.9195万元增加到383.1077万元，大致增加了0.9倍。通过检索相关数据实例，和一定范围内的市场调研，上述数据基本符合实际情况，有一定的可信度。模型缺点1.拟合的时候会存在误差，在运用大量拟合之后，数据可能会产生误差的累积。本模型没有对误差进行精确的分析以及相应的修正。2.没有考虑一些客观因素，例如：违约现象，产品质量不达标，返厂现象以及市场行情大幅度波动等因素，模型建立相对理想化，有一定局限性。模型优点1.本模型充分考虑到公司利润与营销部收入和消费者需求等多方面的因素，统筹规划，寻求最
23、优的营销方案，使三方面的需求得到最大的满足。2.此模型考虑因素较多，我们进行了较为充分的模型评价与检验。3.运用MATLAB，LINGO软件，使得解决该模型简单，明了。七模型推广 鉴于市场行情的多变性，可将模型加以改进和推广。 可分别统计出十种小家电在每个时间段如各个月或各个季度的销量数据，对该 数据进行统计分析，可得出相应产品随时间（季节或月份）的销售量的量变化。 进而利用拟合出该变化规律的时间销量函数。从而可预测出各个产品在未来一 时间段的销量趋势。根据该趋势及时做出相应适当调整。在设计销售方案的时候，将时间销量函数和其他因素加以综合考虑和分析， 能更加相对准确的得出公司的生产、销售方案。
24、本模型具有一定可扩展性，当产品的种类产生变动（增加或减少）时，可对模型中的变量做相应增减，当市场行情或企业的生产能力发生变化时，亦可对目标函数以及约束方程做相应调整，以各个方面的需求。参考文献【1】 姜启源，谢金星，叶俊数学模型(第二版)M北京：高等教育出版社2003。【2】杨启帆等数学建模M北京：高等教育出版社2005。【3】胡运权运筹学M北京：清华大学出版社2007。【4】刘卫国MTLAB程序设计教程北京：中国水利水电出版社2005。【5】谢金星，薛毅优化建模与LINDO/LINGO软件北京：清华大学出版社2005。附录一拟合代码类似，以表二代码为例，其余省略。1.成本与销售量的关系表二拟
25、合代码：x=1,3,5,7,10,15,20,25,30,35,40;y=9,24.3,39.6,53.55,72.9,102.6,129.6,153,175.5,195.3,208.8;p=polyfit(x,y,3); % 拟合出的二次函数的系数ye=y-polyval(p,x); % 计算误差ye2s=sum(ye.2); % 误差的平方和disp(sprintf(误差的平方和=%d,ye2s);xx=linspace(min(x),max(x); % 绘图用到的点的横坐标yy=polyval(p,xx); % 拟合曲线的纵坐标plot(x,y,o,xx,yy); % 绘图，原始数据+拟
26、合曲线legend(原始数据,拟合曲线); % 图示s=char(vpa(poly2sym(p,x),5); % 二次函数式转换为字符串，vpa转换小数，保留5位有效数字title(y= s);误差的平方和=6.918027e+000 p=polyfit(x,y,2)p =-0.0603 7.5807 2.4845 其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：m1(x)=-0.0603*x2+7.5807*x+2.4845m2(x)=-0.067029*x2+8.2675*x+2.7346m3(x)=-0.068437*x2+8.5944*x+2.8063m4(x)=-0.18187*x2
27、+20.037*x+6.7665m5(x)=-0.20381*x2+22.878*x+7.8851m6(x)=-0.21575*x2+23.732*x+7.5642m7(x)=-0.23960*x2+22.783*x+15.491m8(X)=-0.25671*x2+24.410*x+16.598m9(x)=-0.27125*x2+25.793*x+17.512m10(x)=-0.27840*x2+26.460*x+17.7692.宣传费与销售量的关系 其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：u1=-0.0050148*x2+0.62783*x+0.46871u2=-0.0055698*
28、x2+0.68425*x+0.51762u3=-0.0056906*x2+0.71167*x+0.53981u4=-0.015133*x2+1.6588*x+1.2577u5=-0.016938*x2+1.8931*x+1.4585u6=-0.017923*x2+1.9636*x+1.4544u7=0.00058841*x3-0.055886*x2+2.4528*x+0.42515u8=0.00063224*x3-0.059995*x2+2.6299*x+0.44985u9=0.00066638*x3-0.063279*x2+2.777*x+0.48181u0=0.00068643*x3-0.
29、065122*x2+2.8525*x+0.460923.销售额与订购量的关系 其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：f1(x)=-0.26713*x2+11.418*x+1.3873f2(x)=-0.27436*x2+12.178*x+2.0648f3(x)=-0.2630*x2+12.452*x+2.5588f4(x)=-0.73776*x2+29.859*x+5.3673f5(x)=-0.85117*x2+34.491*x+5.7788f6(x)=-0.83007*x2+34.903*x+6.9564f7(x)=-0.86107*x2+35.220*x+8.2703f8(x)=-
30、0.9355*x2+38.088*x+8.0776f9(x)=-0.93555*x2+38.920*x+11.394f10(x)=-1.0184*x2+41.154*x+8.71584.经费与销售量的关系 其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：n1(x)=-0.0057999*x2+0.71783*x+2.2137n2(x)=-0.0065679*x2+0.78584*x+2.4092n3(x)=-0.0066856*x2+0.81785*x+2.4855n4(x)=-0.017717*x2+1.8979*x+5.8632n5(x)=-0.01979*x2+2.1646*x+6.74
31、75n6(x)=-0.021784*x2+2.251*x+6.8553n7(x)=-0.023093*x2+2.1299*x+7.8747n8(x)=-0.024779*x2+2.2839*x+8.4219n9(x)=-0.02616*x2+2.4125*x+8.9007n10(x)=-0.026904*x2+2.4774*x+9.08285.计划外上交利润如销售量的关系 其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：g1(x)=0.0070455*x3-0.20238*x2+2.3288*x-0.014g2(x)=0.010050*x3-0.25725*x2+2.6463*x-0.0346
32、36g3(x)=0.018864*x3-0.39860*x2+3.2644*x-0.49155g4(x)=0.029329*x3-0.73388*x2+7.0365*x-0.86323g5(x)=0.036742*x3-0.88432*x2+8.2061*x-0.86700g6(x)=0.035380*x3-0.86313*x2+8.1944*x-0.53509g7(x)=0.038707*x3-0.92692*x2+8.5683*x-0.901g8(x)=0.043467*x3-1.0373*x2+9.4151*x-1.3150g9(x)=0.044626*x3-1.091*x2+9.970
33、6*x-1.4294g10(x)=0.049814*x3-1.1772*x2+10.439*x-1.65116.单价后与销售量的关系其他图形类似，在此不一一列举提价后销售额与销售量的关系其他图形类似，在此不一一列举，所得各个方程如下：v1=-0.31166x2+11.989*x+1.3109v2=-0.32008*x2+12.787*x+1.9513v3=-0.3069*x2+13.075*x+2.418v4=-0.86073*x2+31.352*x+5.072v5=-0.99304*x2+36.216*x+5.4609v6=-0.96842*x2+36.648*x+6.5737v7=-1.0
34、046*x2+36.981*x+7.8153v8=-1.11082*x2+39.992*x+7.6334v9=-1.0915*x2+40.866*x+10.767v0=-1.1881*x2+43.211*x+8.2365附录二（1）、问题一结果：Local optimal solution found. Objective value: 949.3777 Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost X11 1.500000 0.000000 X12 1.500000 0.000000 X21 1.000000 0.000000
35、X22 2.000000 0.000000 X31 1.000000 0.000000 X32 1.000000 0.000000 X43 3.000000 0.000000 X44 2.000000 0.000000 X53 1.500000 0.000000 X54 3.500000 0.000000 X63 1.000000 0.000000 X64 1.000000 0.000000 X71 1.000000 0.000000 X72 1.000000 0.000000 X75 1.923937 0.000000 X81 2.500000 0.000000 X82 4.000000 0
36、.000000 X85 3.500000 0.000000 X91 1.898393 0.000000 X92 1.000000 0.000000 X02 0.5164484 0.1137722E-07 X05 0.5164484 0.2808109E-07 X16 0.3754861E-01 0.3209466E-07 X26 2.461395 0.000000 X36 1.501057 0.5159693E-08 X46 1.370719 0.000000 X56 3.921142 -0.1391878E-07 X66 2.708139 0.000000 X76 0.000000 1.652567 X86 1.075379 0.000000 X96 0.000000 0.7661503E-02 X06 0.6939463E-01 0.2784962E-07 Row Slack or Surplus Dual Price 1 949.3777 1.000000 2 0.000000 0.5725151 3 0.000000 0.5725151 4 0.000000 2.914738
