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1、15 计算机数学基础(1)第四单元辅导本单元重点：欧拉图和哈密顿图、平面图和树的基本概念. 代数运算及性质，群的概念，交换群和循环群.一、重点内容1. 欧拉图h 欧拉通路(回路)与欧拉图 通过图G的每条边一次且仅一次，而且走遍每个结点的通路(回路)，就是欧拉通路(回路). 存在欧拉回路的图就是欧拉图. 欧拉回路要求边不能重复，结点可以重复. 笔不离开纸，不重复地走完所有的边，且走过所有结点，就是所谓的一笔画. h欧拉图或通路的判定(1) 无向连通图G是欧拉图G不含奇数度结点(G的所有结点度数为偶数):(定理1)(2) 非平凡连通图G含有欧拉通路G最多有两个奇数度的结点；(定理1的推论)(3)

2、连通有向图D含有有向欧拉回路(即欧拉图)D中每个结点的入度出度连通有向图D含有有向欧拉通路D中除两个结点外，其余每个结点的入度出度，且此两点满足deg(u)deg(v)1. (定理2)2. 哈密顿图h哈密顿通路(回路)与哈密顿图 通过图G的每个结点一次，且仅一次的通路(回路)，就是哈密顿通路(回路). 存在哈密顿回路的图就是哈密顿图. 判断哈密顿图是较为困难的. h哈密顿图的充分条件和必要条件 (1) 在无向简单图G=中V3,任意不同结点,则G是哈密顿图.(充分条件，定理4)(2) 有向完全图D, 若，则图D是哈密顿图. (充分条件，定理5推论)(3) 设无向图G=,V1V，则P(GV1)V1

3、(必要条件，定理3)若此条件不满足，即$V1V，使得P(GV!)V1,则G一定不是哈密顿图(非哈密顿图的充分条件).3.平面图h 平面图 一个图能画在平面上，除结点之外，再没有边与边相交. 面、边界和面的次数 由连通平面图G的边围成的其内部不含G的结点和边的区域是面，常用r表示. 围成面的各边组成的回路是边界. 边界回路的长度是面的次数，记作deg(r). h重要结论(1)平面图(所有面的次数之和边的2倍)(定理6). (2)欧拉公式：平面图 面数为r，则(结点数与面数之和边数2)(定理7)(3)平面图(定理8) h判定条件：图G是平面图的充分必要条件是G不含与K3，3或K5在2度结点内同构的

4、子图. 4. 树h树 连通无回路的无向图. h树的判别 图,T是树的充分必要条件是(六个等价定义) (定理14):(1) T是无回路的连通图； (2) 图T无回路且mn1；(3) 图T连通且mn1 (4) 图T无回路，若增加一条边，就得到一条且仅一条回路；(5) 图T连通，若删去任一边，G则不连通；(6) 图T的每一对结点之间有一条且仅有一条通路. h生成树 图G的生成子图是树，该树就是生成树. h权与带权图 n个结点的连通图G，每边指定一正数，称为权，每边带权的图称为带权图. G的生成树T的所有边的权之和是生成树T的权，记作W(T). h最小生成树 带权最小的生成树. h有向树 有向图删去边

5、的方向为树，该有向图就是有向树. h根树与树根 非平凡有向树，恰有一个结点的入度为0(该结点为树根)，其余结点的入度为1，该树为根树. h每个结点的出度小于或等于2的根树为二元树(二叉树)；每个结点的出度等于0或2的根树为二元完全树(二叉完全树)；每个结点的出度等于2的根树称为正则二元树(正则二叉树).h哈夫曼树 用哈夫曼算法得到的最优二叉树. v4h hv5 Eh h F hAv2h h v3 Bh h C hv1 h D（a） (b) 图614. 有关树的求法h生成树的破圈法和避圈法求法；h最小生成树的克鲁斯克尔求法；h哈夫曼树的哈夫曼求法. 二、实例例6.1 判别图61的两幅图是否可以一

6、笔画出？解 在图61(a) 中， deg(v1)=deg(v2)=deg(v3)3有两个以上的结点的度为3. 故在(a)中不存在欧拉通路，不能一笔画出. 在图61(b) 中，deg(A)=2, deg(B) =deg(C)= deg(D)=4，deg(E) =deg(F)=3只有两个奇数度的结点，所以存在欧拉通路，可以一笔画出. 一条欧拉通路，如EDBEFCABCDF. v1h v1h d h v4v2h h v5 f h a g e c v3 h h v4 v2 h b h v3 D1 D2 图62例6.2 判定图62中，两个图是否有欧拉回路？若有请把欧拉回路写出来. 解 在图D1中，v1点

7、的出度为2，入度为0； v5的出度为0，入度为2，且这两点出度与入度之差不等于1，所以，图D1不存在欧拉通路，图D1不是欧拉图. 图D2中，各个结点的出度、入度都相等2，所以存存欧拉回路，图D2是欧拉图. 一个欧拉回路为v1 a v2 b v3 f v1 e v3 c v4 h v2 g v4 dv1例6.3 指出图63各图是否哈密顿图，有无哈密顿通路， 回路？解 (1) 容易判断，存在哈密顿回路，故是哈密顿图.(2) 只有哈密顿通路，无哈密顿回路，故不是哈密顿图.(3) 无哈密顿通路，显然不是哈密顿图. i h h h h h h h h h h h h h (1) (2) (3) 图63例

8、6.4 画出具有下列条件的有5个结点的无向图.(1) 不是哈密顿图，也不是欧拉图；(2) 有哈密顿回路，没有欧拉回路；(3) 没有哈密顿回路，有欧拉回路；(4) 是哈密顿图，也是欧拉图. 解 作图如图64(不唯一). h h h h h h h h h h h h h h h h h h h h(1) (2) (3) (4) 图64 例6.5判断图65是否为平面图？解 在G中，将(v1,v4)和(v3,v4)改画成如虚线所示.可见G是平面图. v1h 例6.6 在具有n个结点的完全 图Kn中，需要删去多少条边才能 v2h h v3 .得到树？ v4h h v5 G 图65 解 n个结点的完全图

9、共有条边，而n个结点的树共有n1条边. 因此需要删去 条边后方可得到树. 例6.7 设G是图，无回路，但若外加任意一条边于G后，就形成一回路. 试证明G必为树. b 23 1 15c 25 a 4 f 28 9 16 3 d 15 e 图66证明 由树的定义可知，只需证G连通即可. 任取不相邻两点u,v, 由题设，加上边就形成一回路，于是去掉边,从u到v仍有路u,v，即u,v连通，由u,v的任意性可知，G是连通的，故G必是树. 例6.8 如图66是有6个结点a,b,c,d,e,f的带权无向图，各边的权如图所示. 试求其最小生成树.解 构造连通无圈的图，即最小生成树，.用克鲁斯克尔算法：第一步：

10、 取ab1；第二步： 取af=4；第三步： 取fe=3；第四步： 取ad=9； b 23 1 c a 4 f 9 3 d e 图67第五步： 取bc=23.如图67。权为1+4+3+9+23=30例6.9 单项选择题1.无向图G是欧拉图，当且仅当( ) (A)G的所有结点的度数为偶数 (B) G的所有结点的度数为奇数(C) G连通且所有结点的度数为偶数 (D) G连通且所有结点的度数为奇数答案：(C) 解答：见本单元定理1. 2. 设为连通平面图且有r个面，则r( )(A) mn+2 (B) nm2 (C) n+m-2 (D) m+n+2答案：(A)解答：见定理7欧拉公式. 3. 设G是5个结

11、点的无向完全图，则从G中删去( )条边可以得到树. (A) 4 (B)5 (C)6 (D)10答案：(C)解答：删去边的公式为. 故选择(C)正确. 4. 在5个结点的二元完全树中，若有4条边，则有 ( )片树叶。(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 4答案：(B)解答：二元完全树，即每个结点只有0个或2树枝的树，树根必有2个树枝，于是2个树枝只能其一又有2个树枝，而另一个就无树枝. 满足5个结点4条边. 可见有3片树叶. 选择(B)正确. 一般地，在二元完全树中，有m条边，t片树叶，则有m=2(t1)5. 图68是( ) (A) 完全图 (B)欧拉图 (C) 平面图 (D) 哈密顿图

12、h h h h h h 图68 答案：(D)解答：因为n=6, 每对结点度数之和大于或大于6，满足存在哈密顿回路的条件，故为哈密顿图. 选择(D)正确. 例6.10 填空题 1.设G是完全二叉树，G有15个结点，其中有8个是树叶，则G有 条边，G的总度数是 ，G的分支点数是 ，G中度数为3的结点数是 . 答案： 14； 28； 7； 6. h h h h h h hhhhhhhhh 图69解答：可画图如图69. 有8个树叶，15个结点的完全二叉树，2. 连通有向图D含有欧拉回路的充分必要条件是 答案：D中每个结点的入度出度. 解答：见欧拉回路的判断方法，定理2. 3. 设G是n个结点的简单图，

13、若G中每对结点的度数之和 ，则G一定是哈密顿图. 答案：大于或等于n解答：见定理4. 4.设G是有n个结点，m条边的连通图，要确定G的一棵生成树，必须删去G的 条边. 答案：mn+1解答：见生成树的破圈或避圈求法. 5. 一个有向树T称为根树，若 ，其中 ，称为树根， 称为树叶. 答案：若有向图T恰有一个结点的入度为0，其余结点入度为1；入度为0的结点；入度为1的结点. 解答：见根树、树根、树叶的定义. 三、练习题1. 在图610中，哪些是欧拉图？哪些是哈密顿图？哪些是平面图？ h h h h h h h h h h h hh h h h h hh h (4) h hh h h h h (3)

14、 hh h h hh h h h h (5) h hh hh h h h h h (2) huh h h hv (1) (6) 图6102. 设G是平面图，并且G的所有面的次数均为3，证明其中e是G的边数. v是G的结点数. 3. (1)设G是无向图， 11 23 4如图611(1)，说明G不 a 3 d是欧拉图；(2) 求带权图，如图 611(2)的最小生成树. 5 e 6 4.将平面图G1，G2(如图6 12) 改写成不相交的形式. b c . (1) (2) 5. 已知有向图D的邻接矩阵为 图611 h h h h h h h h h h h h h G1 G2 图612 试作出D的图，

15、并求关联矩阵 6. (1)在1棵有2个2度结点，4个3度结点，其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶？(2) 画出两棵不同构的满足条件(1)的结点度数的无向树T1，T2. 7.设G是有p个结点，s条边的连通图，则从G中删去多少条边，才能确定图G的一棵生成树？l ll l l l 图613 8. 求图613图G的对偶 图. 9.画出满足下列条件的图：(1) 画一个有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图；(2) 画一个有一条欧拉回路，但没有哈密顿回路的图；(3) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图. 四、练习题答案1. (1)的图记作G1，从G1中删去结点u,v，得到G1的三个连通分支，有由定理3

16、的逆可知，G1不是哈密顿图. 由于它是连通的，且无奇数度结点，由定理1可知，它是欧拉图，显然是平面图；(2) 是平面图. 由于它非连通，所以它不是欧拉图. 也不是哈密顿图；(3) 是平面图. 因为无回路，所以它不是欧拉图，也不是哈密顿图；(4) 是平面图. 因为奇数度的结点超过2个，根据定理1的推论，该图不是欧拉图；在图中容易找到一条哈密顿回路，故是哈密顿图；(5)是平面图. 因为无奇数度的结点，所以是欧拉图，又因为可以找到一条哈密顿回路，所以是哈密顿图. (6)不是平面图. 又奇数度的结点多于2个，所以它不是欧拉图，可以找到一条哈密顿回路，是哈密顿图. 2. 因为G的所有面的次数为3，因此对

17、G的任意面r，有 deg(r)=3从而， 又根据定理6，G的所有面的次数之和等于其边数的2倍，即 即 代入欧拉公式 ， 2. (1) 因为G中各结点均为奇数度，由欧拉图的充分必要条件知，G不是欧拉图. (2)最小生成树为T1 或用图形表示，如图614. a d h h h h h h h h h h h h h G1 G2 图6 15 e b c 图614 第3(2)题解答图v2h e1 hv1 e2 e4 e5 hv5v3h e3 hv4 图 6164. 改写后的图，如图6155. 图形如图616M(D)= 6. (1)设有k片树叶，则该树有k+2+4个结点，根据树的等价定义，有k+5条边.

18、 由握手定理，2(k+5)=k+22+43k+16,故k=6. 即有6片树叶. (2) 如图617 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l T1 T2 不惟一. 图617 7. sp+1 8.答案图如图618的虚线图. 图 6189. (1)有一条欧拉回路和一条哈密顿回路的图，如图619(a)h h h h h h h h h h h h h h h h h (a) (b) (c) 图619(2)有一条欧拉路，但没有哈密顿回路的图，如图619(b)(2) 画一条没有欧拉路，但有一条哈密顿回路的图，如图619(c) 一、重点内容1.代数运算

19、及其性质h二元运算，非空集合A上的函数(映射) f：A2=AAA就是A上的二元代数运算.就是说二元运算是一个变换(对应关系). h代数运算(用*,等表示)的性质交换律 x,yA，有xy=yx结合律 x,yA，有(xy)zxyz)分配律 x,y,zA，有x*(yz)=(x*y) (x*z) 或(yz)*x=(y*x)(z*x) 幂等律 xA，有xx=x吸收律 x,yA, 有x*(xy)=x, x(x*y)=xh运算的特殊元素单位元 el (或er)A，对xA, 有elx=x (xer=x), el(或er)是A的运算的左单位元(或右单位元). e既是右单位元又是左单位元就是单位元. 一般地，满足

20、交换律的运算，才存在单位元. 逆元 对xA，若x1A, 有x1x=xx1=e(单位元)，x1是x的逆元.h代数系统 在非空集合A上，定义了若干代数运算f1,f2,fm, (A, f1,f2,fm)称为代数系统. 若BA，f1,f2,fm在B上成立，(B, f1,f2,fm)称为子代数系统. 2. 群及其性质 h代数系统注意：由上可见，代数系统、半群、群(子群)是一条线下来，条件逐步加强，半群和群是我们讨论的重点. h群的性质：(1) (a1)1=a; (2) (a*b)1=b1*a1; (3) am*an=am+n; (4) (am)n=amn; (5)方程a*x=b的解为x=a1*b或y*a

21、=b的解为x=b*a1(唯一)； (6) a*c=b*c或 c*a=c*b，可得a=b(消去律).3. 特殊群h交换群，群(G,*)的二元运算*满足交换律，(G,*)是交换群(阿贝尔群) . h循环群，群G能表成G=akkZ，aG G是循环群. 记作G(a)，a是群G的生成元.h变换群 设A是一个非空集合，A上的所有一一变换构成的集合E(A), 对于变换乘法E(A)构成一个群，称为集合A上的一一变换群. E(A)的子群称为变换群.h置换群，n元集合M上的所有n元置换Sn，关于置换合成(乘法)构成n元对称群，它的子群叫置换群. 4. 置换h置换，有限集合Ma1,a2,an上的双射s：MM，叫n元

22、置换 h置换复合(乘法)，设, 那么h单位置换，h逆置换，s1=n元集合M上的n元置换有n!个，有n元置换构成的集合，记作Sn. h轮换，满足：(1)s(a1）=a2, s(a2）=a3, ,s(am）=a1； (2)s(a)=a，当aak,(k=1,2,m)时，则s是一个长度为m的轮换，记作(a1,a2,am).h重要结论：置换有结合律；不相交的轮换有交换律；Sn中任一置换都可以唯一地表示成一系列不相交的轮换之积. 5. 同态与同构h同态，代数系统(G,*)和(S, )，f是从G到S上的一个映射. a,bG，有f(a*b)=f(a) f(b)则称f是由(G,*)到(S, )的一个同态映射.

23、并称G与S同态. 如果f 是满射，则称G与S是满同态，记作GS；如果f是单射，则称G与S是单同态. (f(G), )称为(G,*)在f下的同态象. h同构，代数系统(G,*)和(S, )，如果f是从G到S的一个双射，则称f是从G到S的同构映射，G与S同构，GS. h群的同态与同构，设(G,*)和(S, )群，若存在同态、单同态、满同态映射f：GS，则群G与S是同态、单同态、满同态；若存在从(G,*)到(S, )的同态双射，则称群(G,*)与(S, )同构，QS. 二、实例例7.1 通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由. (1) A=1,2 (2) (3) (4) 解 (1

24、) 乘法运算不是A上的二元运算，因为224A，在A上不封闭. (2) 乘法运算不是B上的二元运算，因为素数乘素数不一定是素数，如236B. (3) 乘法运算是C上的二元运算，因为偶数乘偶数仍然是偶数. (4) 乘法运算是D上的二元运算，因为对任意有且m,nN. 在集合A上定义的运算，也称该运算在A上封闭. 例7.2 实数集R上的下列二元运算是否满足结合律和交换律？(1) ,； (2) ,解 (1) 因为 所以 ，因此，运算*满足结合律. 又，所以运算*满足交换律. (2) 因为 = 一般情况下，所以运算不满足结合律. 而，所以运算满足交换律. 例7.3 在例7.2中，运算*是否有单位元和幂等元

25、？若有单位元的话，哪些元素有逆元？ 解 运算*的定义为：. (1) 若e是单位元，则对任意元素rR,有 由于运算*是可交换的，仅考虑，即 于是 由r的任意性，要使上式成立，只有e=0. 因此0是运算*的单位元. 若rR是幂等元，则应有r*r=r, 即 于是 要使上式成立，只有r=0或r=1. 因此0或1是运算*的幂等元. 在实数域R上的二元运算*只有幂等元，没有幂等律. (2) 设r1是r(R)的逆元，则应有r*r1=rr1rr10 (*的单位元)于是因此，对于R中的任何元素r(只要r1)均有逆元，其逆元是(元素1无逆元). 例7.4 设R是实数集，定义R上的二元运算为试问R与运算是否为半群？

26、解 显然，故二元运算在R上封闭. 只需验证是否满足结合律. ， 所以 故(R,)是半群. 例7.5 设B是任意集合，试验证(P(B),)是群. P(B)是B的幂集，是对称差运算， 证明 对任意集合C，D，EP(B)，有 所以(运算满足结合律请参考教材P73的运算律(12)，故(P(B),)是半群. 任意所以是二元运算的单位元. ，二元运算的逆元是它自身，存在逆元.可见，(P(B),)是群. 例7.6 设集合B1,2,3,4,5,令A1,4,5P(B),求证由A生成的子群(A),)是(P(B),)的子群，其中(A)A,. 并求解方程AX2,3,4. 解在(A)上封闭. P(B). 因为可知，运算

27、在(A)上满足结合律，又是的单位元，A，的逆元是自身. 可知(A),)是群，因为(A)=A,P(B)，所以(A),)是(P(B),)的子群. 因为A1A，解AX2,3,4，有例7.7 设群中每个元素的逆元素就是其自身，则G是一个交换群. 证明 ，于是 所以G是一个交换群. 例7.8 设M1,2,3 ,s是M的一个置换s，t求s2，st，ts，t1. 解 由置换的乘法 s2=，st= ts=， t1=()1=例7.9 设G1，1，i，i，其中i是虚数单位，证明(G,)是循环群.证明 易验证运算在G上封闭，而且满足结合律、交换律.1是运算在G上的单位元；又即G的逆元存在.所以(G,)是群且是交换群

28、. 因为，故i是它的生成元，G(i). G是循环群. 例7.10 对于下面给定的群G1和G2，函数f：G1G2，判断f是不是群G1到G2的同态，如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像f(G1). (1) ,其中，是数的加法和乘法，R*是非0实数集. (2) ,其中，是数的加法和乘法， ，其中C是复数集, (3) ,其中，是数的加法和乘法， 解 (1) 总之，f(a+b)=f(a)f(b),所以f是同态函数. 因为任何偶数，都映射为1，故f不是单射；又Ran(f)=1,1R*，故f不是满射. f(G1)=1,1 故f=cosx+isinx是同态函数. 容易验证，所以，f(x)=cos

29、x+isinx是单射. x取值可数个，而A是单位圆上的连续点，不是满射. 所以f(Z)A，f(x)=cosx+isinx不是满射. (3) 故f=lnx是同态函数. 又因为f(x)=lnx是严格单调函数，只要，所以，f=lnx是单射. 再由f(R+)=R,故f=lnx是满射，最后得到是双射. R的像，f(R+)=R例7.11 单项选择题1. 设集合A1,2,3,10,在集合A上定义的运算，不是封闭的为( )(A) a,bA, a*b=lcma,b(最小公倍数) (B) a,bA, a*b=gcda,b(最大公约数)(C)a,bA, a*b=maxa,b (D) a,bA, a*b=mina,b

30、答案：(A)解答：在(A)中，取5,7A,lcm5,7=35A,故选择(A)正确. 说明：在(B)中，A中任意两个数的最大公约数为1A，故运算封闭. 在(C)，(D)中，A中任意两个数的最大和最小者，都在1，10之间，仍然是A的元素，故运算封闭. 2. 在自然数N上定义的二元运算，满足结合律的是( )(A) ab=ab (B) ab=a+2b (C) ab=maxa,b (D) ab=ab答案：(C)解答：a,b,cN, 对于(A),有(ab)c=(ab)c=abc，而a(bc)=a(bc)=ab+c对于(B),有(ab)c=(a+2b)c=a+2b+2c，而a(bc)=a(b+2c)=a+2

31、b+4c对于(C),有(ab)c=maxa,b)c=maxa,b,c，而a(bc)=amaxb,c=maxa,b,c，故选择(C)正确. 3. 下列代数系统(G,*)中，其中*是加法运算. ( )不是群. (A) G为整数集合 (B) G为偶数集合 (C) G为有理数集合 (D) G为自然数集合答案：(D)解答：代数系统能构成群，须满足：二元运算满足结合律、存在单位元和逆元. 因为*为加法运算，在(A),(B),(C)中，加法运算满足结合律，单位元为0，任意元素a的逆元为a. 故是群. 在(D)中除元素0有逆元是它自身外，其它元素没有逆元，故不能构成群. 选择(D)正确. 例7.12 填空题1. 在代数系统(N,+)中，其单位元是 ， 有逆元. 答案：0；仅有单位元0. 解答：单位元，即存在eN，使得nN,有n+e=e+nn,对于N，只有数0满足此条件,故在N中运算“”的单位元为0. nN,有n+(n)=(n)+n0=e,但nN，只有0N，又满足条件. 故只有单位元“0”有逆元. 2. 设A是非空集合，集合代数(P(A)，)中，P(A)对运算的单位元是 ， P(A)对运算的单位元是 . 答案：；A. 解答：对运算，只有满足任意集合C，有CCC，故的单