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1、动量与机械能专题【内容要点】1动量 2机械能3两个“定理”（1）动量定理：Ft=p 矢量式 (力F在时间t上积累，影响物体的动量p)（2）动能定理：Fs=Ek 标量式 (力F在空间s上积累，影响物体的动能Ek)动量定理与动能定理一样，都是以单个物体为研究对象但所描述的物理内容差别极大动量定理数学表达式：F合t=p，是描述力的时间积累作用效果使动量变化；该式是矢量式，即在冲量方向上产生动量的变化例如，质量为m的小球以速度v0与竖直方向成角打在光滑的水平面上，与水平面的接触时间为t，弹起时速度大小仍为v0且与竖直方向仍成角，如图所示则在t内：以小球为研究对象，其受力情况如图所示可见小球所受冲量是在
2、竖直方向上，因此，小球的动量变化只能在竖直方向上有如下的方程：F击t-mgt=mv0cos-（-mv0cos）小球水平方向上无冲量作用，从图中可见小球水平方向动量不变综上所述，在应用动量定理时一定要特别注意其矢量性应用动能定理时就无需作这方面考虑了t内应用动能定理列方程：W合=m02/2m02/2=04两个“定律”（1）动量守恒定律：适用条件系统不受外力或所受外力之和为零公式：m1v1+m2v2=m1v1+m2v2 或 p=p （2）机械能守恒定律：适用条件只有重力（或弹簧的弹力）做功公式：Ek2+Ep2=Ek1+Ep1 或 Ep= Ek5动量守恒定律与动量定理的关系动量守恒定律的数学表达式为
3、：m1v1+m2v2=m1v1m2v2，可由动量定理推导得出如图所示，分别以m1和m2为研究对象，根据动量定理：F1t= m1v1- m1v1 F2t= m2v2- m2v2 F1=-F2 m1v1+m2v2=m1v1m2v2可见，动量守恒定律数学表达式是动量定理的综合解动量定理可以解决动量守恒问题，只是较麻烦一些因此，不能将这两个物理规律孤立起来6动能定理与能量守恒定律关系理解“摩擦生热”(Q=fs)设质量为m2的板在光滑水平面上以速度2运动，质量为m1的物块以速度1在板上同向运动，且12，它们之间相互作用的滑动摩擦力大小为f，经过一段时间，物块的位移为s1，板的位移s2，此时两物体的速度变
4、为1和2由动能定理得： -fs1=m112/2m112/2 fs2=m222/2m222/2 在这个过程中，通过滑动摩擦力做功，机械能不断转化为内能，即不断“生热”，由能量守恒定律及式可得：Q=(m112/2+m222/2)(m112/2m222/2)=f(s1s2)= fs 由此可见，在两物体相互摩擦的过程中，损失的机械能（“生热”）等于摩擦力与相对位移的乘积。特别要指出，在用Q= fs计算摩擦生热时，正确理解是关键。这里分两种情况：（1）若一个物体相对于另一个物体作单向运动，s为相对位移；（2）若一个物体相对于另一个物体作往返运动，s为相对路程。7 功和能的关系做功的过程是物体能量的转化过
5、程，做了多少功，就有多少能量发生了变化，功是能量转化的量度动能定理合外力对物体做的功等于物体动能的增量即重力做功与重力势能增量的关系重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力势能增加重力对物体所做的功等于物体重力势能增量的负值即WG=EP1EP2= EP弹力做功与弹性势能增量的关系弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加弹力对物体所做的功等于物体弹性势能增量的负值即W弹力=EP1EP2= EP功能原理除重力和弹簧的弹力外，其他力对物体做的功等于物体机械能的增量即WF=E2E1=E机械能守恒定律在只有重力和弹簧的弹力做功的物体系内，动能和势能可以互相转化，但机械能的总量保持不变即 EK
6、2+EP2 = EK1+EP1， 或 EK = EP静摩擦力做功的特点（1）静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；（2）在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的互相转移，而没有机械能与其他形式的能的转化，静摩擦力只起着传递机械能的作用；（3）相互摩擦的系统内，一对静摩擦力对系统所做功的和总是等于零滑动摩擦力做功的特点（1）滑动摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；（2）相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力对系统所做功的和总表现为负功，其大小为 W= fS相对 （S相对为相互摩擦的物体间的相对位移；若相对运动有往复性，则S相对为相对运动的路程）（3）在滑动摩擦力对系统做功的过程中，系统
7、的机械能转化为其他形式的能，其大小为 Q= fS相对一对作用力与反作用力做功的特点(1)作用力做正功时，反作用力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功；作用力做负功、不做功时，反作用力亦同样如此(2)一对作用力与反作用力对系统所做功的总和可以是正功,也可以是负功,还可以零【典型例题】V0ABC例1 如图所示，三块完全相同的木块固定在水平地面上，设速度为v0子弹穿过木块时受到的阻力一样，子弹可视为质点，子弹射出木块时速度变为v0/2.求：(1) 子弹穿过A和穿过B时的速度v1=? v2=? (2)子弹穿过三木块的时间之比t1t2t3?解析 (1)应用动能定理求速度：得：(2)应用动量定理求时间比
8、：得： t1t2t3=例2 钢球从高处向下落，最后陷入泥中，如果空气阻力可忽略不计，陷入泥中的阻力为重力的n倍，求(1)钢珠在空中下落的高度H与陷入泥中的深度h的比值Hh=?(2)钢珠在空中下落的时间T与陷入泥中的时间t的比值Tt=？解析 (1)动能定理，选全过程mg(H+h)nmgh=0 H+h=nh (2)动量定理，选全过程mg(T+t)nmgt=0 T+t=nt 说明：全程分析法是一种重要的物理分析方法，涉及到多个物理过程的题目可首先考虑采用全过程分析例3 一物体静止在光滑水平面，施一向右的水平恒力F1，经t秒后将F1换成水平向左的水平恒力F2，又经过t秒物体恰好回到出发点，在这一过程中
9、F1、F2对物体做的功分别是W1、W2，求：W1W2=？解法一 用动能定理、动量定理V1V2F1F2得： 由动能定理： 解法二 将代入得F1F2=13 解法三 用平均速度: 由动能定理： V012mM例4 如图所示，一块质量为M的长木板A静置于水平地面上，质量为m的木块B以速度v0沿水平方向运动并恰好落在木板上面。设木板足够长，木块始终在板上运动，木板与地面间的动摩擦因数为2，木块与木板间的动摩擦因数为1，若M=m，1=3，2 =求：(1) 从木板开始运动到最后停止运动共经历了多长时间？(2) 木板在地上滑行的距离？(3)木块在木板上滑行的距离？解法一 用动量定理和动能定理m作匀减速直线运动，
10、直至与木板有共同速度后，再最后一起匀减速运动。M作匀加速直线运动，直到有共同速度后，再作匀减速直线运动。动能定理: 对m: 对M: 动量定理: 对 对其中v为两物相对静止时的共同速度,t为相对运动的时间，S1、S2分别为木块和木板的对地位移. 代入得 代入得木块在木板上滑行的距离代入得 至停下木板的总路程: 总时间: 解法二 用牛顿定律和运动学公式 共同 画出v-t图，用加速度一斜率关系 得：v0=4v 例5 在光滑的水平面上，有质量分别为m1、m2的两个物块，分别以速度v1、v2向右运动，v1v2，m2左侧固定有轻弹簧，如图所示求：（1）弹簧的最大弹性势能 （2）弹簧被压缩又回复到原长时，m
11、1、m2 的速度分别为多大？解析 整个过程系统的总动量始终守恒，当两物有共同速度时，弹性势能最大： m1v1+m2v2=（m1+ m2）v共，则最大弹性势能：设弹簧又回复原长时m1、m2的速度分别为v1、v2，则有：说明：弹性碰撞例5这样的碰撞有完整的形变阶段和回复形变过程，形变回复后动能总和守恒的碰撞叫弹性碰撞。此类碰撞遵守两个守恒，即为计算上的方便，可将方程、相除，得v1+v1=v2+v2 平常可用方程联立解题较为简便例5中若两物体质量相等m1=m2，则不难发现v1=v2 ，v2=v1，两物体交换了速度。这是一个规律。完全非弹性碰撞如果只有形变阶段，没有回复形变阶段，碰撞两物达共同速度时不
12、再分开，叫完全非弹性碰撞，这种碰撞动能损失最大，由于碰后两物不分开，所以可以求出碰后速度：非弹性碰撞介于弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间，两个物体发生碰撞时有形变阶段和部分回复形变阶段，不能完全回复形变，有部分动能损失的碰撞叫非弹性碰弹例5中的弹簧如果超过了弹性限度，m1、m2分开时弹簧没有回复原长，那么原来的碰撞就叫非弹性碰撞非弹性碰撞只遵守动量守恒，碰撞以后的情况由两个碰撞物体的弹性性质决定，或通过实验测量的方法测量得到碰撞后的速度例6 一传送皮带与水平面夹角为30，以2m/s的恒定速度顺时针运行。现将一质量为10kg的工件轻放于底端，经一段时间送到高2m的平台上，工件与皮带间的动摩擦因数为（
13、=/2），求带动皮带的电动机由于传送工件多消耗的电能。解析 首先要弄清什么是电动机“多消耗的电能”。当皮带空转时，电动机会消耗一定的电能。现将一工件置于皮带上，在摩擦力作用下，工件的动能和重力势能都要增加；另外，滑动摩擦力作功还会使一部分机械能转化为热，这两部分能量之和，就是电动机多消耗的电能。设工件向上运动距离s时，速度达到传送带的速度，由动能定理可知-mgs sin30+mg s cos30=0 m2/2代入数字，解得s=0.8m，说明工件未到达平台时，速度已达到，所以工件动能的增量为： Ek=m2/2=20J工件重力势能增量为： Ep=mgh=200J在工作加速运动过程中，工件的平均速度
14、为平=/2，因此工件的位移是皮带运动距离s的1/2，即s=2s=1.6m。由于滑动摩擦力作功而增加的内能E（摩擦生热）为 E=fs=mgcos30(ss)=60J电动机多消耗的电能为 Ek+Ep+E=280J说明：当我们分析一个物理过程时，不仅要看速度、加速度，还要分析能量转化情况。在工件加速和匀速两个阶段，能量转化情况不同。知道了能量变化情况，尤其是“多消耗”电能的涵义，问题就迎刃而解了。例7 质量为m的钢板与直立轻弹簧的上端连接，弹簧下端固定在地上平衡时，弹簧的压缩量为x0，如图所示一物块从钢板正上方距离为3x0的A处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连，它们到达最低点后
15、又向上运动已知物块质量也为m时，它们恰能回到O点若物块质量为2m，仍从A处自由落下，则物块与钢板回到O点时，还具有向上的速度求物块向上运动到达的最高点与O点的距离。解析 对于这类综合题，要善于分析物理过程中各个阶段的特点及其遵循的规律，要注意两个物体在运动过程中相关量的关系质量为m的物块运动过程应分为三个阶段：第一阶段为自由落体运动；第二阶段为和钢板碰撞；第三阶段是和钢板一道向下压缩弹簧运动，再一道回到O点质量为2m的物块运动过程除包含上述三个阶段以外还有第四阶段，即2m物块在O点与钢板分离后做竖直上抛运动弹簧对于m：第二阶段，根据动量守恒有： mv0=2mv1 对于2m物块：第二阶段，根据动
16、量守恒有： 2mv0=3mv2 第三阶段，根据系统的机械能守恒有： 又因： Ep=Ep 上几式联立起来可求出： l=x0/2说明：本题中，系统机械能守恒的初态应选碰撞后具有共同速度的时刻，而不能选碰撞前的时刻（碰撞中机械能有损失），这是一个关键。例8 （2003全国理综34） 一传送带装置示意如图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相
17、邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。解析 以地面为参考系(下同)，设传送带的运动速度为v0，在水平段运输的过程中，小货箱先在滑动摩擦力作用下做匀加速运动，设这段路程为s，所用时间为t，加速度为a，则对小箱有： 在这段时间内，传送带运动的路程为： 由以上可得： 用f表示小箱与传送带之间的滑动摩擦力，则传送带对小箱做功为 Afs传送带克服小箱对它的摩擦力做功A0fs0两者之差
18、就是摩擦力做功发出的热量 Q也可直接根据摩擦生热Q= fs= f（s0- s）计算可见，在小箱加速运动过程中，小箱获得的动能与发热量相等T时间内，电动机输出的功为： 此功用于增加小箱的动能、势能以及克服摩擦力发热，即： 已知相邻两小箱的距离为L，所以：v0TNL 联立，得： 【巩固练习】1在平直公路上，汽车由静止开始作匀加速直线运动，运动中所受阻力f恒定。10s后关闭发动机，汽车滑行直到停下，其运动过程的速度-时间图像如图所示，设汽车的牵引力为F，全过程牵引力做功W，阻力做功Wf，则 （ ）AF/f=1/3BF/f=4CW/Wf=1 DW/Wf=1/32水平传送带匀速运动，速度大小为v，现将一
19、个小工件轻轻放到传送带上(初速为0)，它将在传送带上滑动一段距离后才达到速度v而与传达带保持相对静止。设工件质量为m，它与传送带间的动摩擦因数为，在这个相对滑动的过程中 （ ）A滑动摩擦力对工作所做的功为mv2/2B工件的机械能增量为mv2/2C工件相对于传送带滑动的距离是v2/2gD传递带对工件做功为零3一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，又可能返回到斜面底端。已知小物体的初动能为E时，它返回斜面底端时的速度大小为v，整个过程克服摩擦力做功为E/2，若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则小物块 （ ）A返回斜面底端时的动能为EB返回斜面底端时的动能为3E/2 C返回斜面底端时的速度大小为2
20、vD返回斜面底端时的速度大小为v4向空中发射一个物体，不计空气阻力，当此物体的速度恰好沿水平方向时，物体炸成A、B两块，若质量较大的A块的速度方向仍沿原来的方向，则 （ ）AB的速度方向一定与原速度方向相反BA块飞行的水平距离一定比B块大CA、B一定同时到达地面DA、B两块受到爆炸力的冲量大小一定相等 5如图所示，小球在竖直力F的作用下将竖直轻弹簧压缩。若将力F突然撤去，小球将向上弹起并离开弹簧一直到小球的速度达到零时为止。在小球上升的过程中 （ ）A小球的动能先增加后减少B小球在离开弹簧时动能最大C小球动能最大时弹簧的弹性势能为零D小球动能减为零时，重力势能最大6矩形滑块由上、下两层不同材料
21、固定在一起组成，置于光滑水平面上，一颗子弹以一定水平速度射向滑块若射中滑块上层，子弹将穿出；若射中下层，子弹将嵌入，比较这两种情况，错误的是 （ ）A射入下层时，系统（子弹和滑块）损失的动能较大B射入下层时，子弹和滑块摩擦产生的热量较多C射入上层时，子弹损失的动能较大D射入上层时，滑块动量的变化较小7如图所示，质量为M的小车AB的A端涂有油泥，B端固定一根轻弹簧，弹簧的另一端放置一块质量为m（mM）的物体C，小车底板光滑，开始时，弹簧处于压缩状态，（用细绳将物体C和小车B端相连）当突然烧断细绳，弹簧被释放使C离开弹簧向A端冲去，并跟A端油泥粘在一起，不计一切摩擦，以下说法中正确的是 （ ）A物
22、体C离开弹簧时，小车一定向右运动B物体C与A粘合后，小车的速度为零C在物体C从B端向A端运动过程中，小车与物体C速度大小之比为mMD在物体C从B端向A端运动过程中，物体C的机械能不变8在光滑的水平面上，有A、B两个小球，它们向右沿一直线运动，如图所示，并发生对心碰撞，已知碰前两个小球的动量分别为pA=12kgm/s，pB=13kgm/s，碰撞以后两小球动量的改变可能是：（取向右为正方向） （ ）ApA=5kgm/s PB=5kgm/sBPA=5kgm/s PB=-5kgm/sCpA=-5kgm/s pB=5kgm/sDpA=-24kgm/s pB=24kgm/s9甲乙两物体的质量分别为m甲、m
23、乙，且m甲m乙，它们运动过程中受到相同的阻力作用，则 （ ）A若它们的初动能相同，则甲物运动的时间较长B若它们的初动量相同，则甲物运动的距离较长C若它们的初速度相同，则乙物运动的距离较大D若它们的初速度相同，则乙物运动的时间较长10如图所示，光滑水平桌面上开一个小孔，穿一根细绳，绳一端系一个小球，另一端用力F向下拉，维持小球在水平面上做半径为r的匀速圆周运动现缓缓地增大拉力，使圆周半径逐渐减小当拉力变为8F时，小球运动半径变为r/2，则在此过程中拉力对小球所做的功是： （ ）A0 B7Fr/2 C4Fr D3Fr/211如下图所示，M为固定在桌面上的木块，M上有一个3/4圆弧的光滑轨道abcd
24、，a为最高点，bd为其水平直径，de面水平且有足够的长度，将质量为m的小球在d点的正上方高h处从静止释放，让它自由下落到d点切入轨道内运动，则 （ ）A在h为一定值的情况下，释放后，小球的运动情况与其质量的大小无关B只要改变h的大小，就能使小球通过a点后，既可以使小球落到轨道内，也可以使小球落到de面上C无论怎样改变h的大小，都不能使小球通过a点后又落回到轨道内D使小球通过a点后飞出de面之外（e的右边）是可以通过改变h的大小来实现的12如图1-所示，光滑的水平面上，质量mA=mB=0.2kg的两木块靠在一起，质量m=0.02kg的子弹以v0=700m/s的速度水平射入木块A，在子弹射透木块B
25、后，速度大小减小为v子=100m/s，已知子弹穿透A、B两木块克服摩擦阻力做的功相等，求（1）子弹穿过A时的速度（2）木块A、B最后的速度多大？13如图所示，质量分别为m1、m2的木块用轻弹簧相连，静止在光滑的水平地面上，m2与墙壁挨在一起，质量为m子的子弹用速度为v0的水平初速度射入木块m1中，并留在m1中，求子弹射入m1以后的过程中，轻弹簧压缩到最短时的弹性势能和弹簧伸长到最长时的弹性势能14如图所示，光滑水平面上有质量为M的长木板以水平向右的速度v0运动，某时刻质量为m的物块以大小也为v0，方向向左的速度从木板右端冲上木板，已知Mm，且物块始终没有滑离木板，求：（1）从物块冲上木板到m、
26、M相对静止，木块和木板的最小速度分别为多大？（2）从物块冲上木板到m、M相对静止，木块和木板的位移大小之比（位移指相对地面的位移）15一段凹槽A倒扣在水平长木板C上，槽内有一小物块B，它到槽两内侧的距离均为l/2，如图所示，木板位于光滑水平的桌面上，槽与木板间的摩擦不计，小物块与木板间的动摩擦因数为，A、B、C三者质量相等，原来都静止现使槽A以大小为v0的初速向右运动，已知v0，当A和B发生碰撞时，两者速度互换。求：（1）从A、B发生第一次碰撞到第二次碰撞的时间内，木板C运动的路程（2）在A、B刚要发生第四次碰撞时，A、B、C三者速度的大小16如图所示，有一半径为R的半球形凹槽P，放在光滑的水
27、平地面上，一面紧靠在光滑的墙壁上，在槽口上有一质量为m的小球，由静止释放，沿光滑的球面滑下，经最低点B，又沿球面上升到最高点C，经历的时间为t，B、C两点高度差为0.6R求：（1）小球到达C点的速度（2）在这段时间t里，竖墙对凹槽的冲量以及地面对凹槽的冲量17.如图所示，质量为m=0.4kg的滑块，在水平外力F作用下，在光滑水平面上从A点由静止开始向B点运动，到达B点时外力F突然撤去，滑块随即冲上半径为 R=0.4米的1/4光滑圆弧面小车，小车立即沿光滑水平面PQ运动。设：开始时平面AB与圆弧CD相切，A、B、C三点在同一水平线上，令AB连线为X轴，且AB=d=0.64m，滑块在AB面上运动时
28、，其动量随位移的变化关系为P=1.6kgm/s，小车质量M=3.6kg，不计能量损失。求：(1)滑块受水平推力F为多大? (2)滑块通过C点时，圆弧C点受到压力为多大? (3)滑块到达D点时，小车速度为多大? (4)滑块能否第二次通过C点? 若滑块第二次通过C点时，小车与滑块的速度分别为多大? (5)滑块从D点滑出再返回D点这一过程中，小车移动距离为多少? (g取10m/s2) 18如图所示，一排人站在沿x轴水平轨道旁，原点O两侧的人的序号都记为n（n=1，2，3），每人只有一个沙袋，x0一侧的每个沙袋质量为m=14kg，x0一侧的每个沙袋的质量m=10kg，一质量为M=48kg的小车以某一初
29、速度从原点出发向正x方向滑行，不计轨道阻力，当车每经过一人身旁时，此人把沙袋以水平速度u朝与车速相反方向沿车面扔到车上，u的大小等于扔此沙袋之前瞬间车速大小的2n倍（n是此人的序号）（1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋后，车就反向滑行？（2）车上最终有大小沙袋共多少个？19如图所示，质量为9m的圆木板，中心系一根长为L的细绳，绳的另一端拴一质量为m的小球最初将小球与圆木板靠在一起从固定钢板C正上方高h=0.2m处由静止释放钢板C中心有一孔，孔径比小球直径大，但比圆木板直径小小球与圆木板落下后，圆木板与钢板C发生无机械能损失的碰撞，小球穿过孔后继续下落，运动到细绳绷紧时，球与圆木板达到一共同速度
30、v，若不计空气阻力，细绳绷紧时，绳的拉力远大于圆木板和球的重力，要使球与圆木板达到共同速度v时方向向下，试确定细绳的长度L应满足的条件20如图所示，质量为m的小球，由长为的细线系住，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为AB上的一点，且AE=，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，若线能承受的最大拉力是9mg，现将小球悬线拉至水平，然后由静止释放，若小球能绕钉子在竖直面内作圆周运动，求钉子位置在水平线上的取值范围。不计线与钉子碰撞时的能量损失。21如图所示，光滑水平面上的长木板，右端用细绳栓在墙上，左端上部固定一轻质弹簧，质量为m的铁球以某一初速度（未知）在木板光滑的上表面上向左运动，
31、压缩弹簧，当铁球速度减小到初速度的一半时，弹簧的弹性势能等于E. 此时细绳恰好被拉断，从而木板向左运动，为使木板获得的动能最大，木板质量应多大？木板动能的最大值是多少？巩固练习参考答案1BC 2ABC 3AD 4CD 5AD 6C 7ABC 8C 9BCD 10D11ACD 12（1） 子：500m/s (2)A :10m/s B: 50m/s13.14.15.16. (1) (2) 2.5mgt17 .(1) 3.2N (2) 14.24N (3) 0.32m/s (4) 0.64m/s -2.56m/s (5) 0.07m18. (1)3 (2) 1119 .L0.64m20. 21. (1) M= (2) 最大动能为
