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1、第一章 质点运动学一、基本要求1、掌握描述质点运动的基本物理量，位置矢量、位移、速度、加速度的概念，明确它们具有的矢量性、相对性、瞬时性；2、明确运动方程和轨道方程的物理意义，并能用求导方法由已知的运动方程求速度加速度；反之用积分方法由已知质点运动的速度或加速度求质点的运动方程；3、熟练掌握直线运动，抛体运动和圆周运动的规律，及直线运动的位置一时间曲线，速度一时间曲线。二、基本概念和规律1、参照系与坐标系参照系：在描述机械运动时被选作参考的物体称为参照系。由于运动的相对性，所以参照系的选择也具有注意性，而参照系的选择主要问题的性质和研究的方便，但必须指出，同一物体的运动，由于参照系的选择不同，
2、而对它运动的描述亦不同。因此，当其描述物体的运动时，必须指出是对哪个参照系来说的。坐标系：参照系选定后，只能对物体的运动作定性描述。为了定量地描述物体的运动。就需要在参照系上选用一个固定的坐标系。因此，坐标系不仅在性质上起到了参照系的作用，而且使运动的描述精确化。常用的坐标系有直角坐标系，自然坐标系（本性坐标系）和平面极坐标系等。从运动学的观点看，所有参照系都是等价的，无优劣之分。2、质点质点就是把物体视为只有质量而无形状大小的几何点。质点的概念突出了物质“具有质量”和在空间“占有位置”这两个根本性质。质点是理想模型，是对客观实际进行全面的科学的分析之后，用简单、抽象的模型-质点来代替复杂的具
3、体的物体，以抓住其中的主要因素（质量）。忽略次要因素（形状和大小），掌握其物体的基本运动规律，从而为研究一般物体的运动打下基础。理想模型方法是一种重要科研究方法，它能使物理现象的研究达到定量化、精确化。3、位置矢量位置矢量：由参考系上某一参考点间质点所在的位置所作的有向线段称为质点在该时刻的位置矢量，简称矢径，记为r(t)。它是描写质点某时刻在空间的位置的物理量，也是描写质点运动状态的一个物理量，它具有矢量性、瞬时性、相对性。运动方程：质点的位置矢量r(t)（如在直角坐标系中x、y、z）随时间t变化的函数，即r=r(t)（或x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)）称为运动方程。它详尽地描述了
4、质点相对于参照系的运动情况。轨道：质点在空间运动的实际路径称为轨道或轨迹，由运动方程消去的时间t可得到质点在空间运动的轨道方程。如在直角坐标系中(x、y)=c1、(y、z)=c2、c1、c2为常数。由上经可见，运动方程不仅给出了质点运动的轨道，而且还指出随着时间的流逝质点如何在轨道上运行（由此可得出质点的速度加速度）。因此，确定质点的运动方程是质点运动学的最基本的问题。4、位移和路径位移：质点在未时刻(t+t)的位置矢量r2与初始时刻(t)的位置矢量r1之差，即，称为质点在时间tt+t内的位移。路程；质点由初始时刻到末时刻间质点运动所经过的路线的总长度。记为s。必须指出：1）位移和路程是两个不
5、同的概念，切不可混淆。位移是矢量，路程是标量且恒为正。2）一般说来，位移的大小水等于相应的路程。只有在下列两种情况下位移的大小等于相应的路程：a、在不同一个方面运动的直线运动中；b、在时间t0时，|lr|s，这也正是我人利用路程来计算位移大小的依据。c、位移具有相对性，即式中为以C为参照系质点A在tt+t时间的位移；为以B为参照系质点A在tt+t时间的位移；为以C为参照系质点B在tt+t时间的位移；5、速度平均速度：质点的位移与其所需时间的t的比值称为质点在时间tt+t内的平均速度，即平均速度是矢量，它的方向一般不在轨道的切线方向，而是与方向相同。平均速率：质点通过的路程s与其所需时间t的比值
6、，称为质点在时间tt+t内的平均速率，即平均速率是标量，且恒为正，一般而言，。速度，在某时刻t附近，当时间t0时平均速度的极限值定义为质点在该时刻的瞬时速度，简称速度。即必须指出：1）速度是矢量，是描述质点运动快慢和运动方向的物理量。它的方向始终在轨道的切线方向并指向质点的运动方向。速度是描述质点运动状态的一个物理量。因此，描述一个质点的运动状态，需要位置矢量和速度这两个物理量。2）瞬时速度的大小称为速率，由于t0时|ds。所以：但必须注意3）速度具有瞬时性。4）速度具有相对性。即5）速度的计算在直角坐标系中，分量式： 在自然坐标系中 S= S(t)6、加速度加速度：在某时刻t附近，录时间t0
7、时平均加速度的极限值定义为该时刻质点的加速度。即注意：1）加速度是矢量，是描述质点速度变化的物理量。速度的变化包括大小和方向。一般说来，在曲线运动中，加速度不是沿曲线的切线方向，而是指向曲线扔凹侧。如众所周知的抛物运动就是一个例子。2）加速度具有瞬时性。3）加速度具有相对性，即4）加速度的计算在直角坐标系中：在自然坐标系中切向加速度：法向加速度：式中P为曲线在该点的曲半径ac是改变速度的大小，an只改变速度的方向。质点作圆周运动时：式中为质点作圆周运动的角加速；w为质点作圆周运动的角加速，R为圆周半径。而U=WR|R三、解题方法1、问题的提法质点运动学研究的基本问题是：物体在空间的位置随时间变
8、化的规律。亦即研究物体在空间中的位置、速度，加速度和轨道等。为此，根据问题的性质可将质点运动学分为三类：第一类问题：已知质量的运动规律用函数形式表示。不是微分方程形式表示，求质点的速度，加速度轨道等。质点的运动规律或以确定的函数形式给出，或从位置一时间曲线给出，或者以叙述具有某种特征的形式给出，那来，首先写出活动方程，由运动方程消去时间t得轨道方程，而求速度，加速度实为求导数问题。第一类问题：已知质点的运动规律用微分方程的形式给出，即已知速度或加速度，求运动方程。第二类问题：实际上是积分问题，并由初始条件（根据是中的文字叙述或直接给出）确定积分常数。第三类问题：相对运动，实为运动的合成问题。2
9、、解题步骤解质点运动学问题的步骤是：1）弄清题意，明确问题，选用坐标，建立方程弄清题意，明确问题是首先分析题中物体的运动性质、特点，是属于什么样的运动，是属于哪一类问题，选用坐标建立方程，矢径、速度、加速度的定义为矢量式对任何坐标系均适用。但在解题中一般根据问题的性质，选用相应的坐标系。才能使计算得以进行下去，根据题意并有所选用的坐标系建立方程。2）解运动方程若属第一类问题，将运动议程对时间t求一阶导数得速度的各个分量，自对时间t求一次导数得加速度的各个分量，再对时间t求一次导数得加速度的各个分量，从运动主程消去时间t得轨道方程。若属第二类问题，若已知速度实为一阶常微分方程（二维直角坐标系有二
10、个、三维直角坐标有三个）根据初始条件，对微分方程积分一次得运动方程。若已知加速度，实为二阶常微分方程，根据初始条对微分方程积分二次得运动方程。若属第三类问题，如求相对运动中的速度。关键在于找出三个相对运动的物体A、B、C及它们的相对速度然后根据求其所求之速度3、解题注意之点1）必须注意，矢径、位移、速度，加速度是矢量，应按矢量的运算规则运算。2）列方程时，必须注意矢径、位移、速度、速度在各坐轴上分量的正负。四、解题示例例1，已知质点的运动方程为米，t以秒计。求：1）质点的轨道方程；2）质点在01秒内的位移和平均速度；3）质点的速度和加速度。解：本题属质点运动学的第一类问题，题中的坐标系实际上已
11、经选定，运动方程已经给出，其分量式为：x=2-t, y=5-t31）由运动方程的分量式消去时间t得质点的轨道方程y=5-(2-x)32）质点在01秒内的位移为其平均速度为3）质点的速度为其速度为本题说明如何由运动方程求质点的轨道方程，位移、平均速度、速度、加速度，位移、平均速度与选取的时间间隔有关，一定要把握速度加速度的瞬时性、矢量性、相对性。例2、一个正在行驶的摩托快艇于发动机关闭后，得到一个与快艇速度方向相反，大小与其速度平方成正比的加速度，设比例系数为K.求：1）在发动机关闭后t时刻的速率；2）在t时间内所行驶的距离；3）在行驶x距离后的速率。设发动机关闭时快艇的速率为V。解：依题意摩托
12、快艇作减速直线运动，而运动方程是以文字叙述的形式给出，翻译成数学语言为：所以本题为运动学中的第二类问题现选取发动机关闭时为计时起点，且此时快艇所在位置作为直线坐标系的原点O点，坐标轴取向与发动机关闭时的速度。方向同 那未初始条件为t0时，x00，VV01）设tt时，VV时，则由和初始条件t0，x00，VV0得解得：（1）2）设t=t时，快艇行驶的距离为x，则由和初始条件t=0，x0=0得解得（2）3）由式(1)、(2)消去t得VV0e-kx即摩托快艇行驶x距离后的速率为VV0e-kx亦可利用来计算V与X之关系。事实上，由而即当x0=0时，VV0，而xx时，VV，所以解得VV0e-kx其结果相同
13、。说明，本题首先应将文字叙述用运动微分方程表示出来，此后，根据题意得到初始条件，最后解运动微分方程。例3、一架飞机从南A处向北飞到B处(如图)，然后又向南飞回A处，飞机相对于空气的速度为V，而空气相对于地面的速度为，且的方向偏离南北方向某一角度Q，A、B之间的距离为L、飞机相对于空气的速率V保持不变。求飞机来回飞行所需时间。解：本题的飞机、空气、地面的运动是一种相对运动，因此属于质点运动学的第三类问题。分析和确定A、B、C三个物体和乃是解题的关键。本题的A、B、C物体分别是飞机、空气、地面，所以，根据运动的相对性得飞机由A飞到B时，飞机相对于地面的速度的方向必须由A指向B。设与南北方向的夹角为
14、（如例3图a所示），则有：解得飞机由B飞回A，如题例3图6，同理可得解得飞机来回飞行所需时间为讨论：a、当u=0，即空气静止时，这是我熟知的结果。B、当，即空气相对于地面的速度由东向西时c、若u v，从数学结果看，这种情况下的时间t的表达式为一页数或复数。虽然，负时间或复时间是没有意义的。实际情况是，飞机从A出发后也不能飞到B，当然也就谈不上从B飞回A了。由此可见，飞机相对于空气的速度不仅有方向的要求，而且还有大小的要求。例4，如图所示，山岗的斜面上水平面成角，在斜面上某点以初速度。把手榴弹向上投出，问与斜面成怎样的角度投出 时，才能投得最远，空气阻力忽略不计。解：本题是抛射体运动，根据运动的
15、选加原理可将它分解为竖直方向的变速直线运动和水平方向的速直线运动，选取如题例5图a的直角坐标系。设与斜 面的夹角为，手榴弹在斜面上的射程为L。则抛射体的运动方程为Lcos=V0cos(x +)tLsin=V0sin(+)t消去t，整理得 L随X而变，按求极值条件：得不难证明，当时，所以当时，L的值是取大值，即投得最远。本题说明了在研究抛射体运动时常用的一种方法正交分解法，我们采用的的直角坐标系分解，这是一种重要的方法。另又用到高等数学求极值的方法，求最大射程。例5，如图所示，用枪瞄准在高处的靶子A，当子弹离开枪口时，靶由自动机械释放自由下落。设靶的水平距离在枪的射程之内，问枪弹能否击中靶？空气
16、的阻力忽略不计。解：子弹欲击中靶必须满足：(1) 子弹和靶的轨道相交；(2) 子弹和靶同时到达交点。取枪口位置为坐标原点，选取如图所示的直角坐标系，设子弹的初速为，与X轴夹角为，靶子在A点的坐标为（x0、y0），子弹刚离开枪口时刻计时，则子弹的运动方程为：x1=v0t cos靶的运动方程为x = x0欲使子弹击中靶，则有x1 = x2，y1 = y2，即v0t cos= x0解得结果表明：应瞄准射击，才能击靶上述结果似乎与子弹的初速V0大小无关。事实上，若V0很小，子弹水平飞行距离小于x0，无法在地面之上击中靶，因此初速V0选取的值应保证t内水平飞行距离大于或等于x0，即v0t cos x0可得代入上式，得到即欲使子弹击中靶，一是要瞄准射击；二是要使V0之值满足上式条件。9
