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1、4 间接平差4.1 间接平差原理1）间接平差的定义在一个平差问题中，当所选的独立参数的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成这t个参数的函数，组成观测方程，这种以观测方程为函数模型的平差方法，就是间接平差。2）间接平差的函数模型或 或 3）间接平差的随机模型4）间接平差的平差准则V TPV = min4.1.1 间接平差原理设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵，必要观测数为t，选定t个独立参数，其近似值为，有，观测值L与改正数V之和，称为观测量的平差值。可列出n个平差值方程为其纯量形式可表示为 （=1，2，3，n）令则平差值方程的矩阵形式为顾及，并令式中为参数的充分近似值，可得误差
2、方程式为按最小二乘原理，根据数学上求函数自由极值的方法，得转置后得有唯一解，此两式联合称为间接平差的基础方程。解此基础方程，代入得令上式可简写成式中系数阵为满秩矩阵，即，有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解得或将求出的代入误差方程求得改正数V，从而平差结果为特别地，当P为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程的纯量形式为4.1.2计算步骤1根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数；2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程；3由误差方程系数B和自由项组成法方程，法方程个数等于参数的个数t ；4. 解算法方程，求出参数，计算参数的平差值；5
3、由误差方程计算V，求出观测量平差值；6. 评定精度。ABC图4-1例4-1 在图4-1所示的水准网中，A、B、C为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：= +1.003m， = +0.501m， = +0.503m， = +0.505m； =1km， =2km， =2km， =1km。已知 =11.000m， =11.500m， =12.008m，试用间接平差法求及点的高程平差值。解：1.t=2，选取、两点高程平差值为参数、，取未知参数的近似值为(m)、(m)，令2km观测高差为单位权观测值，依据定权公式有：。2.根据图形列平差值方程式，得到误差方程式高差误差方程： 代入具体数值，并将改正数以
4、毫米为单位，则有可得矩阵如下，3.组成法方程得解得 (mm)4.计算参数的平差值(m)5.由误差方程计算，求出观测量平差值；(m)4.2 误差方程在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数，而且要求这个参数必须是独立的。参数的选取：在水准网中，常选取待定点高程作为参数；在平面控制网、GPS网中一般选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数。图4-2jk4.2.1 测角网函数模型1）坐标方位角（计算）误差方程在图4-2中，j、k是两个待定点，它们的近似坐标为。根据这些近似坐标可以计算j、k两点间的近似坐标方位角和近似边长。设这两点的近似坐标改正数为，则有坐标方位角的改正数为根据图4-2可
5、以写出将上式右端按泰勒公式展开，得等式中右边第一项就是近似坐标方位角，故式中同理可得将上列结果代入，并顾及全式的单位得或写成以上两式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程，它是解算测角网、测方向网的基础方程。讨论：1.若某边的两端均为待定点， 与前的系数绝对值相等；与前的系数绝对值也相等。2.若测站点j为已知点，则，得若照准点k为已知点，则，得3.若某边的两个端点均为已知点，则，得，。4.同一边的正反坐标方位角的改正数相等，因为顾及，得2）角度误差方程对于角度观测值（图4-3）来说，其观测方程为： 将代入，并令可得代入即得线性化后的误差方程。例如，j、h、k点
6、都是未知点时合并同类项最后可得上式即为线性化后的观测角度的误差方程式。讨论：如果是测角网，角度权阵为单位阵，按照角度误差方程解算是严密平差；如果是测方向网，按照方向误差方程和方向权阵为单位阵解算是严密平差，同样按照角度误差方程和角度权阵为非对角阵解算也是严密的，而按照角度误差方程和角度权阵为单位阵解算非严密的。综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：1. 计算各待定点的近似坐标；2. 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角和近似边长；3. 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；4.列出误差方程。jk图4-44
7、.2.2 测边网函数模型在图4-4中，测得待定点间的边长，设待定点的坐标平差值、和为参数，令由图4-4可写出的平差值方程为按泰勒公式展开，得式中，再令则可得测边的误差方程为讨论：1边长误差方程中，与的系数的绝对值相等，与的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。2若j为已知点，则，得若k为已知点，则，得若j、k均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。3某边的误差方程，按j到k方向列立或按k到j方向列立的结果相同。4.2.3 数字高程模型、GPS水准的高程异常拟合模型常采用多项式拟合模型。已知m个点的数据为（Z i,xi,yi）(i=1,2,m)，其中Z i
8、是点i的高程（数字高程模型）或高程异常（GPS水准拟合模型），（xi,yi）为点i的坐标，视为无误差，并认为Z是坐标的函数Z=f(x,y)，拟合函数可取为式中，未知参数为。（xi,yi）为常数，则其误差方程为也可取一次项或更高项。4.2.4 坐标转换模型1）公式的推导坐标系统转换模型为：式中：、新坐标系的坐标； 、旧坐标系原点在新坐标系中的坐标；、旧坐标系的坐标；、分别为纵向和横向尺长比因子；旋转因子。 令 代入并线性化，得到改正数方程：式中： =同理有：式中： =由改正数组成矩阵方程：设两坐标系统中有n个公共点（、）和（、），令：则误差方程可以写为：4.3 精度评定4.3.1 单位权中误差单
9、位权方差 中误差为 的计算除了将代入直接计算外，还可以按下式计算4.3.2 协因数阵在间接平差中，基本向量为，和。已知，根据前面的定义和有关说明知，故，。设，则的协因数阵为现分别推求如下。按协因数传播定律容易得出 表4-3 间接平差协因数阵0000由表4-3可知，平差值、与改正数的互协因数阵为零，说明与，与统计不相关，这是一个很重要的结果。4.3.3 参数函数的中误差在间接平差中，解算法方程后首先求得的是t个参数。网中任何一个量的平差值都可以表达为所选参数的函数。设参数的函数为顾及代入上式后，全微分得令，由此，上式可以写成称为参数函数的权函数式，简称权函数式。令，则根据协因数传播律，函数的协因
10、数为函数的中误差为图4-6例4-3 在图4-6中，A、B为已知水准点，高程为、，设为无误差，各观测的路线长度分别为km，km，km，km，试求平差后P1和P2点高程的权。解：平差的参数选取P1和P2点高程平差值，设为和，按图组成误差方程为 定权时令C4，即以4 km观测高差为单位权观测值，因观测值相互独立，故，相关协因数，由此得法方程为因为，故有平差后P1、P2点高程的协因数分别为，平差后P1、P2点高程的权分别为图 4-7例4-4 对固定角内插点的平差问题（图4-7），平差时选待定点坐标平差值为参数、，设平差后求得参数及观测量的平差值为、，法方程系数阵为，平差后单位权中误差为，求平差后D点坐
11、标、边的坐标方位角和边长的协因数及其中误差。解：1列出边坐标方位角的权函数式。全微分得权函数式为式中的单位为秒，、的单位为分米。将具体数据代入，有顺便指出，上式实际上就是DA边坐标方位角的改正数方程。由此可知，列误差方程时所用的坐标方位角改正数方程，可以直接用来作为坐标方位角的权函数式。2列出边长的权函数式。对函数进行全微分，得式中的单位为m，、的单位为分米。将具体数据代入上式,有顺便指出，上式实际上与DA边边长的改正数方程相似。由此可知，列误差方程时所用的边长数方程，可以间接用来作为边长的权函数式。3计算函数的协因数综合以上两个权函数式，写成矩阵形式为按协因数传播定律得平差后参数的协因数阵为
12、于是4计算、，的中误差(dm)(dm)(m).4.5 间接平差特例直接平差对同一个待定量进行多次独立观测，求该量的平差值并评定精度的平差，称为直接平差。实际上它是间接平差中只有一个参数的特殊情况。4.5.1 平差原理设对某待定量进行n次不同精度的观测，观测值为，权阵为，且它为对角阵，对角线元素分别为，按间接平差选该量的平差值为参数，可以列出误差方程为组成法方程解得由此可见，直接平差的结果就是观测值的加权平均值。 为方便计算，通常取参数的近似值，有，则误差方程为式中组成法方程解得 于是有特别地，当各观测值等精度时，取权全为1，则 4.5.2 精度评定单位权中误差参数的协因数参数的权由此可见，加权
13、平均值的权为各观测值权之和。参数的中误差为特别地，当各观测值等精度时，精度评定公式为4.6 间接平差算例水准网坐标平差例4-5题目同例4-1，按间接平差法，1.求及点的高程平差值。2.求平差后待定点及高程的中误差。解：1见例4-1，略。2由例4-1知，观测值的改正数和权阵分别为, 单位权中误差为(mm)参数的协因数阵为平差后待定点及高程的中误差为测角网坐标平差46579811141101213315ABCD23161718图4-8例4-6如图4-8所示，网中P1、P2是待定点，同精度观测了18个角度,起算数据和观测值见表4-4及表4-5，试按间接平差求平差后P1、P2点的坐标及P1、P2点坐标
14、的中误差。表4-4 起算数据点名纵坐标x 横坐标y边长（m）坐标方位角ABCDA9684.2810649.5519063.6617814.6343836.8231996.5037818.8649923.1911879.6010232.1612168.6010156.11274 39 38.434 40 56.395 53 29.1216 49 06.5表4-5 观测数据角度编号观 测 值 角度编号观 测 值 角度编号观 测 值 123456126 14 24.123 39 46.930 05 46.7117 22 46.231 26 50.031 10 22.678910111222 02 4
15、3.0130 03 14.227 53 59.365 55 00.867 02 49.447 02 11.413141516171846 38 56.466 34 54.766 46 08.229 58 35.5120 08 31.129 52 55.4解：1按余切公式算得待求点的近似坐标（m）根据已知点的坐标和待定点的近似坐标反算各边的近似坐标方位角。 2计算与待定点P1和P2相连各边的坐标方位角改正数方程的系数3计算误差方程系数和常数项4组成并解算法方程由可得观测值改正数5坐标平差值计算 观测值的平差值计算略。6精度计算单位权中误差，即测角中误差为由中取得参数的权倒数，待定点坐标中误差按下
16、式计算（单位：dm）， 测边网坐标平差例4-7有测边网如图4-9所示。网中为已知点，为待定点，现用某测距仪观测了13条边长，测距精度。起算数据及观测边长见表4-6。试按间接平差法求待定点坐标平差值及其中误差。10897654321DCBA111213图4-9表4-6点名纵坐标X横坐标Y边长（m）坐标方位角 “ABCD53743.13647943.00240049.22936924.72861003.82666225.85453782.79061027.0867804.5587889.381138 00 08.6113 19 50.8编 号边观测值（m）编 号边观测值（m）编号边观测值(m)12
17、3455 760.7065 187.3427 838.8805 483.1585 731.7886789108720.1625598.5707494.8817493.3235438.3821112135487.0738884.5877228.367解：1计算待定点近似坐标。按测边交会计算各待定点近似坐标(单位：m)，其结果为 2计算误差方程的系数及常数项根据测边网误差方程的列立方法，可得到误差方程系数阵和常数项。3计算观测值的权将边长观测值代入测距精度公式，算得各边的测距精度，设，由此算得各边的权，得到权阵的对角线元素为4组成并解算法方程根据误差方程系数阵、常数项及观测值的权阵，计算得法方程系
18、数阵和常数项解算法方程得到参数的改正数将求得参数改正数带入误差方程，得观测值改正数5平差值计算 参数平差值(单位：m)边长平差值(单位：m)6精度计算单位权中误差（dm）由参数的协因数阵（即）取得参数的权倒数，计算待定点坐标和点位中误差(单位：dm) 导线网坐标平差边角网（导线网）函数模型在边角网（导线网中），有两类观测值，即边长观测值和角度观测值。边角网中角度观测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差的误差方程相同，因此边角网中观测值的误差方程列立与上述测角、测边网相同。确定两类观测值的权是平差中的重要环节。设先验单位权方差为，测角中误
19、差为，测边中误差为，则定权公式为，当角度为等精度观测时。定权时一般令，即以测角中误差为导线网平差中的单位权观测值中误差，得，为了确定边、角观测的权，必须已知和，平差前是无法精确知道的，采用按经验定权的方法，采用厂方给定的测角、测距仪器的标称精度或者是经验数据。在边角同测网中，角度权为无量纲，而边长的权，其单位为秒2/cm2。角度的改正数要取秒为单位，而边长改正数则要取厘米为单位，这样与单位才能一致。例4-2 例4-8 如图4-5所示，A、B、C为已知点，P1、P2是待定点。同精度观测了六个角度、，测角中误差为2.5，测量了四条边长，起算数据见表4-1，观测结果及其中误差见表4-2，试按间接平差
20、法求（1）待定点及的坐标平差值；求各待定点的点位中误差。 ABCDAA图4-5表4-1 起算数据表点名x(m)Y(m)S(m)坐标方位角（）ABCD3143.2374609.3614157.1973822.9115260.3345025.6968853.2549795.7261484.7811000.000350 54 27.0109 31 44.9表4-2 观测数据表编号角度观测值（）编号观测值（）编号边长观测值s（m）中误差(cm)123444 05 44.893 10 43.142 43 27.2201 48 51.256201 57 34.0168 01 45.2789102185.0
21、701522.8531500.0171009.0213.32.32.21.5解： ，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必要观测数。现取待定点坐标平差值为参数，即1 计算待定点近似坐标(m)2 计算待定边的近似坐标方位角和近似边长，（m）3 列立误差方程。计算时、均以m为单位，而、因其数值较小，采用cm为单位。 坐标方位角误差方程为角度和边长的误差方程为4 法方程的组成和解算权的确定：由误差方程取得系数阵、常数项，组成法方程 由算得参数改正数：（cm）5 平差值计算坐标平差值 （m）根据公式得各改正数为 得平差值为 6单位权中误差为7未知参数的协因数阵为8待定点的纵、
22、横坐标中误差为待定点的点位中误差为GPS网坐标平差GPS网函数模型在GPS测量时，可以得到两点之间的基线向量观测值，它是在WGS-84坐标系下的三维坐标差，用这些基线向量构成的网称为GPS网，平差该网时一般采用间接平差。设GPS网中某一基线向量观测值为，平差时选GPS网中各待定点的空间直角坐标平差值为参数，并取相应的近似值，则有按照间接平差时列立误差方程的方法，每个基线向量可以列出3个误差方程，有基线向量的误差方程为或令则编号为K的基线向量的误差方程为式中当网中有m个待定点，n条基线向量时，则整个GPS网的误差方程为关于观测值随机模型的确定，一般形式仍然为现以两台GPS接收机测得的结果为例，说
23、明GPS网平差时随机模型的组成。用两台GPS接收机在一个时段内只能得到一条观测基线向量，它们的协方差阵直接由软件给出，设为不同基线向量之间认为是独立的，因此，对整个GPS网而言， 是块对角阵，即矩阵中各个的下角编号为各观测基线向量号。对于多台GPS接收机测量的随机模型的组成，其原理同上，全网的也是一个块对角阵，只是对角块阵是多个同步基线向量的协方差阵。根据（4-38）式可得观测基线向量的权阵为式中可任意选取。A1A2A3A4图4-10例4-9图4-10为一简单GPS网, 网中A1点三维坐标已知，见表4-7,其余三个点为待定点,参数个数t=9。用两台GPS接收机观测,测得5条基线向量，见表4-8
24、,n=15,每个基线向量中三个坐标差观测值相关,由于只用两台GPS接收机观测，所以各观测基线向量相互独立，试按间接平差法平差该网。表4-7 已知点信息(单位:m)点名XYZA11974638.73404590014.81903953144.9235表4-8 观测基线信息编号起点终点基线方差阵1A2A11218.5611039.2271737.7202A4A1270.457503.2081879.9233A4A21489.013536.030142.2184A3A21405.531178.1571171.3805A4A383.497714.1531029.199解：1设A2、A3、A4点的三维坐
25、标平差值为参数,即取参数的近似值 2列立误差方程，如下取先验单位权中误差,按公式确定观测值的权阵为4 按组成法方程解算法方程得 4平差结果(单位:m)5精度评定(m) (m) (m) (m)(m) (m) (m)(m) (m) (m)96拟合求参例4-10为确定某一直线方程，观测了6个点处的y值，数据见表4-9，设观测值等精度独立，试按间接平差法求：1.该直线的方程；2.直线方程参数的中误差。表4-91.002.003.004.005.006.003.304.565.907.108.409.60解：1要确定直线的方程，需要确定方程的系数，本题n=6，t=2，平差时选方程系数为参数，设为，按照间
26、接平差列立误差方程组成法方程参数的解直线方程为 2将求得的参数代入误差方程，可以求出观测值的改正数单位权中误差为（单位：cm）参数的协因数阵为参数的中误差为（单位：cm）作业4.7.5 在图4-13的单一附合导线上观测了4个角度和3个边长，已知数据为：，观测值为表4-12中数据，已知测角中误差，测边中误差，试按间接平差法求（1）导线点的坐标平差值；（2）导线点点位中误差；（3）求；（4）求。AAAB（1）C（4）图4-13D32表4-12 观测数据表点号角度观测值边长观测值B（1）230 32 37204.9522180 00 42200.1303170 39 22345.153C(4)236 48 37
