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1、抛物线方程及性质的应用,1.直线与抛物线的位置关系(1)直线与抛物线的位置关系有_、_、_.(2)直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线有_个交点.,相离,相切,相交,1,x,y,F,2.弦长公式设直线l的方程为：y=kx+m，抛物线的方程为y2=2px(p0)，直线与抛物线相交，两个交点P1，P2,将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).设P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，则弦长|P1P2|=|x1-x2|或|y1-y2|.,1.直线与抛物线只有一个公共点时，当且仅当直线与抛物线相切，对吗？提示：不对.直线与抛
2、物线只有一个公共点包括两种情况：相切；直线为抛物线的对称轴或与抛物线的对称轴平行.2.过坐标平面上任意一点都能作出抛物线的切线吗?提示：不一定.根据点的位置不同而确定，当点在抛物线内部时，作不出切线.,3.抛物线y2=4x被直线y=x所截，截得弦长是_.【解析】方法一：把抛物线y2=4x和直线y=x联立得方程组：即交点坐标是(0,0)和(4,4)，根据两点间距离公式得方法二：把抛物线y2=4x和直线y=x联立方程组：消元得x2-4x=0，设两交点的横坐标为x1,x2，解得x1=0，x2=4,直线斜率为1，代入弦长公式得：答案:,对抛物线的焦半径与焦点弦的认识(1)焦半径：抛物线上一点与焦点F连
3、线得到的线段叫做焦半径.(2)焦点弦:过焦点的直线与抛物线相交所得到的弦叫做焦点弦.(3)求抛物线的焦半径和焦点弦长一般不用弦长公式，而是借助于抛物线定义的功能，即把点点距转化为点线距解决.设抛物线上任意一点P(x0,y0)，焦点弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2)，则可根据抛物线的定义得出抛物线四种标准形式下的焦半径及焦点弦长，公式如下：,y2=2px(p0),y2=-2px(p0),x2=2py(p0),x2=-2py(p0),|AB|=x1+x2+p,|AB|=p-(x1+x2),|AB|=y1+y2+p,|AB|=p-(y1+y2),|PF|=x0+,|PF|=-x0,|PF|
4、=y0+,|PF|=-y0,直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线位置关系的两种方法(1)几何法利用图象，数形结合，判断直线与抛物线的位置关系，但有误差影响判断的结果；,(2)代数法设直线l的方程为：y=kx+m，抛物线的方程为y2=2px(p0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x(或y)的一元二次方程形式：Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).相交：有两个交点：有一个交点：A=0(直线与抛物线的对称轴平行，即相交);相切：有一个公共点，即相离：没有公共点，即,【典例训练】1.过点(0，-1)的直线与抛物线x2=-2y公共点的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)1或22.过
5、点P(0,3)且与抛物线y2=5x只有一个公共点的直线方程分别为_.,【解析】1.选D.因为点(0，-1)在抛物线内部，故过该点的直线斜率不存在时，与抛物线有一个公共点，是相交的，斜率存在时，有两个公共点，因此公共点的个数是1个或2个.,2.分斜率存在和不存在两种情况讨论.(1)斜率不存在时,过P(0，3)的直线方程是x=0;(2)斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=kx+3，与抛物线方程y2=5x联立得方程组 消去x得ky2-5y+15=0，当k=0时，解得y=3，当k0时，=(-5)2-4k15=0解得k=，代入直线方程得5x-12y+36=0，综上，所求直线方程是x=0，y=3，5x
6、-12y+36=0.答案:x=0，y=3，5x-12y+36=0,【归纳】解答题2的注意点.提示：设直线方程时要注意斜率存在与不存在两种情况讨论，否则会丢根.,求抛物线被直线所截弦长弦长的求法及注意点(1)求抛物线被直线所截弦长常用的方法是设而不求，结合根与系数的关系，利用弦长公式求弦长.(2)弦长公式(3)化简整理出的一元二次方程形式中，注意0此方法可以推广到任意的二次曲线.,【典例训练】1.抛物线y2=12x截直线y=2x+1所得弦长等于_.2.设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长|AB|=则k=_.,【解析】1.解题流程:答案:,2.把抛物线y2=4x与直线y=2x+k联立得方
7、程组消元y整理得4x2+(4k-4)x+k2=0，=(4k-4)2-44k20即k，设两交点为A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系知x1+x2=1-k，x1x2=,代入弦长公式得|AB|=解得k=-4.答案:-4,【互动探究】若题2中题干不变,k取何值时直线与抛物线无交点？【解析】把抛物线y2=4x与直线y=2x+k联立方程组得消元y整理得4x2+(4k-4)x+k2=0，=(4k-4)2-44k20解得k.综上，当k 时直线与抛物线没有交点.,【想一想】解答题1的关键是什么？解答题2应注意的问题是什么?提示：(1)关键是联立直线与抛物线方程利用弦长公式求解.(2)利用弦长公
8、式求解k的取值时要注意满足直线与抛物线联立后一元二次方程的0,平分弦解决平分弦问题常用方法(1)点差法.设而不求，结合中点坐标公式.(2)待定系数法.(3)对称点法.利用对称点都在抛物线上，满足抛物线方程求解.,【典例训练】1.已知抛物线y2=2x，点(5,0)恰是直线被抛物线所截得的弦的中点，则直线方程是_.2.抛物线y2=-8x中，以(-1,1)为中点的弦的直线方程是_.,【解析】1.由于(5,0)恰在抛物线对称轴上，能符合题意的直线与对称轴垂直，故直线方程是x=5.答案:x=5,2.方法一：设弦的两个端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)，则有y12=-8x1,y22=-8x2，两
9、式相减得(y1+y2)(y1-y2)=-8(x1-x2)，则直线的斜率k=由于(-1,1)为中点，=1即y1+y2=2,k=-4，所以直线斜率为-4且过点(-1,1)，则直线方程是y-1=-4(x+1)，整理得直线方程4x+y+3=0.,方法二：设抛物线y2=-8x关于点(-1,1)对称的抛物线上的任意点为(x,y)，则点(x,y)关于点(-1，1)的对称点(-2-x,2-y)必在抛物线y2=-8x上，所以有(2-y)2=-8(-2-x)两式相减得 4-4y=16x+16即4x+y+3=0为所求直线的方程.答案:4x+y+3=0,【想一想】解答题2的关键点是什么？提示：解答题2的关键是设出坐标联立方程组求解或抓住抛物线的对称性求解.,
