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1、APT套利定价理论,单因素和多因素模型推导,一、单因素模型推导 资本资产定价模型中，证券市场线认为证券的收益率和贝塔系数存在线性关系，可以将收益率表示成：变形得到：其中，代表市场上所有证券构成的组合，即市场组合。,在实际运用中，通常用市场指数近似代替市场组合，得到证券i的收益率为：同时为了分析的需要，通常对随机项 做出如下假设：,有了随机项的这些假设，可以根据市场模型求出证券i的期望收益率和方差：其中证券i的方差有两部分构成，一是由宏观因素的不确定性导致的风险，相当于系统风险，二是由随机项带来的风险，相当于非系统风险。,市场模型中，证券的收益率由市场组合即市场指数决定，将这个结论推广就得到单因
2、素模型。证券的收益率由某一个经济因素决定，这个因素可以是市场组合的收益率，也可以是其他任何经济因素。可以简单用一个回归模型来表达这种关系。其中F代表决定争取收益率的经济因素，对随机项的假设和市场模型一致。,根据这些假设条件可以得到任意两个证券协方差计算公式：对于由N个证券构成的组合P而言，收益率有两种表达方式，即 和所以组合P的收益率为：,其中，同时可以推出组合P的方差：公式表明：证券组合的风险也由系统性风险和非系统性风险两部分组成。,二、多因素模型的推导 单因素模型假定证券收益率只受一个经济因素的影响，证券之间的协方差由该因素决定。而多因素指对证券收益率产生的共同影响的因素不止一个，同时模型
3、也没有明确表明有多少个因素，所以一般表达式为：同样的进行一些假设：,多因素模型下，证券i的方差为：同时类似单因素模型的推导得到：其中，,套利定价理论,套利定价理论认为，套利行为是现代有效市场形成（也就是市场均衡价格形成）的一个决定因素。套利行为：是指利用同一资产的不同价格来赚取无风险利润的行为。（在不同市场上商品存在价格差异，利用低买高卖获取价差收益，这种套利行为会改变市场上商品的供求，最终供求均衡）。,同样，可以由每个证券的方差：最后需要强调的是，无论单因素模型还是多因素模型，都不像资本资产定价模型那样明确指出市场组合这个因素会影响证券收益率。,三、纯因素组合 介绍了单因素和多因素模型，有必
4、要引入纯因素组合。所谓纯因素组合是指消除了其他因素的影响，只对某一个因素具有敏感性，而且敏感性为1的资产组合。,套利定价理论的假设,APT最基本假设就是投资者都相信证券i的收益率会受到k个共同因素的影响。应用多因素模型表示为：,其他假设,APT的限制条件不如CAPM那样严格。APT和CAPM相同的假设包括：投资者具有相同的预期；投资者追求效用最大化；市场是完美的。,套利组合,套利组合需要满足以下三个特征：特征一：套利组合不需要投资者增加任何额外资金。用公式表示为：表示投资者对证券n的持有量变化。,特征二：套利组合对任何因素都没有敏感性。这一特征可以表示为：在存在多个影响因素的情况下，可以表示为
5、：同时为了满足特征1和2的解，要求。,特征三；套利组合的期望收益率必须为正值。公式表示为：当一个组合可以同时满足上述三点要求时，该组合就是一个套利组合。当市场给出了期望收益率和敏感性的时候，利用同时特征一和特征二可以得到无穷多个满足上述特征一和特征二的组合。最后利用特征三来检验。如果期望收益率可以大于0，则是套利组合。,套利定价模型,假设一个组合中有三种证券，并且满足套利定价组合，加入证券1和证券2收益率高，而证券3收益率低。由于每个投资者必定买入证券1和证券2并卖出证券3，届时他们的期望收益率做出相应的调整。具体来说由于不断增加的买方压力，证券1和证券2的价格将上升，进而导致期望收益率的下降
6、，相反证券3的价格下降和期望收益率上升。,这种买卖行为将持续到所有套利机会明显减少或者消失为止。而此时，期望收益率和因素风险之间将近似买足如下的线性关系（假定单因素模型）：（11）其中 和 为常数，意味着，期望收益率和因素敏感性之间存在线性关系。,对套利定价中的 和 的解释：假设存在一项无风险资产，这样的资产具有一个为常数的期望收益率，因而对因素无敏感性。从 可以看出，对任何 的资产均有。因此对于无风险资产又有。可见，方程中的常数 一定等于，从而该方程可改写为：（12）就 而言，可以考察一个纯因素组合，用 表示，意味着=1.0，从而得出 的值。,于是 称为单位敏感性的组合的期望超额收益率（即表示高出无风险利率的那部分期望收益率），也被称作因素风险溢价。用表示对因素有单位敏感性的组合的期望收益率，则可以得到：则套利定价的第二种形式为：,对套利定价模型进一步扩展，可以考察证券收益率有多个因素生成的情形，即多因素模型的情形：因此，证券的期望收益率等于无风险利率加上证券对K个因素敏感性的风险溢价。,APT和CAPM的区别体现,第一：假设不同，相对于CAPM来说，APT的假设更少更复合现实。第二：风险因素不同。APT可以是多个或者一个。第三：CAPM成立，APT一定成立。第四：APT成立并不能拒绝CAPM。,
