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1、例 1 求解一端自由的半无限长杆的自由纵振动,(1),(2),(4),(3),行波法例题,(5),(6),其中：C=f1(0)f2(0),解：(1)式的通解为,故由(2)式有,由(3)式有,即,解(5)、(6)式得,(7),(8),以上二式均是在 0 x 的前提下推得的。因为 x+at总是大于、等于零的，故由(7)式有,(9),至于 x at 就不一定是大于零了。,(I)若 x at 0，则由(8)式，有,(II)若x at 0，则(8)式不能用。但将(4)式代入通解，得,(10),令 x at 0，并对上式从 0 到 x 积分，得到,即,(11),故,(11),(7),(12),将(9)、(
2、10)、(12)各式一并代入通解，得,(13),例 2 求解定解问题,(1),(3),(2),解(1)式的通解为,(4),故类似于上例解法一，由(2)、(4)式可得,(6),(5),从而有,(7),且当 x at 0 时，有,(8),当 x at 0 时，(6)式不能用，但由边界条件(3)、(1)的通解(4)有,(9),所以，此时由(9)式可得,(5),(10),即,将(7)、(8)、(10)各式一并代入(4)式，得,6.3 非齐次方程及非齐次边界条件,前面讨论的波动问题：除了在端点以外弦不受外力的作用，振动纯粹是由位移和初速度引起的。,驱动力：方程非齐次 边界非齐次如何求解？,补充 非齐次方
3、程,(1),设 y1(x),y2(x)是与式(1)相应的齐次方程 y+py+qy=0的线性无关的特解。,(I)非齐次方程的通解是相应齐次方程的通解,与非齐次方程的特解之和。,(II)常系数变易法。将 C1 变为 u(x)，C2 变为 v(x)，即设式(1)的解具有下述形式：,(2),将它代入式(1)，得到确定 u(x)与 v(x)的一个条件,(3),确定两个函数需要两个条件，因此还可以附加一个确定,u(x)，v(x)的条件。为此，对式(2)两边求导，得,为方便起见，第二个条件规定上式第二项为零，即,(5),(4),将式(5)代入式(3)，并利用 y1(x)及 y2(x)是齐次方程的解，即有,将
4、式(5)和式(6)联立，即可求出：,(6),(7),式中(y1,y2)=y2 y1 y2 y1 为朗斯基行列式。用表示式(7)中的 x，再对由 0 到 x 积分，得到,(8),将式(8)代入式(2)即得式(1)的通解为,(9),例1 求解常微分方程的初值问题,(11),(10),解：与式(10)相应的齐次方程 T n(t)+2 T(t)=0 的线性无关的特解为 cost 和 sint，朗斯基行列式为,代入式(9)便有,(12),将式(12)代入式(11)，可得 C1=n,C2=n/。再将 C1 及 C2 代入式(12)即得解。,现在研究：一、有外力作用的情况 为了把外力作用引起的振动和初值引起
5、的振动区别开，考虑纯强迫振动，即初值为零的情况。这样方程是非齐次的，边界条件和初始条件是齐次的。,例：求两端固定弦的受迫振动的规律,(6-3-1),(6-3-2),(6-3-3),解：对于非齐次方程(1),如果直接用分离变量的方法,设特解 u(x,t)=X(x)T(t),不能把方程(1)化为两个常微分方程。但其对应的齐次方程在分离变量后得到本征函数系，可将u(x,t)及非齐次项f(x,t)对 展开，有,(6-3-4),(6-3-5),(6-3-6),其中：,把(4)和(5)代入(1)，得,求 u(x,t)的问题变为在初始条件(8)下解非齐次常微分方程。由常数变易法可求得,由(6-3-3),(6
6、-3-4)可得到初始条件,再由 的正交性可得,把(6-3-9)代入(6-3-4)式，即为所求。,(6-3-9),(6-3-7),(6-3-8),例：求解下列定解问题,解 方法一：用相应齐次方程的本征函数展开的方法设解为,将非齐次项展开，这时只有一项，即,将它们代入原方程及边界条件，即得,易解得,因此，得解为,方法二：猜特解的方法，不难猜到，方程,有特解,设解为,v(r,)应该满足如下定解问题,其一般解为,由边界条件定出系数,解得,于是，求得,二、非齐次边界条件的处理,定解问题：,(6-3-10),(6-3-11),(6-3-12),思路：把非齐次边界条件齐次化(1)设：u(x,t)=v(x,t
7、)+w(x,t)w(x,t)满足u(x,t)的边界条件，即 w(0,t)=u1(t)w(l,t)=u2(t)于是 v(0,t)=0 v(l,t)=0,(6-3-13),(6-3-14),(6-3-15),(6-3-16),(2)求解 v(x,t)的定解问题,满足条件(6-3-14)的 w(x,t)很多,最简单的是设 w(x,t)为 x 的线性函数：w(x,t)=A(t)x+B(t),由条件(6-3-14)可得,此类问题属于非齐次方程、齐次边界条件问题，已解决。,由于 w(x,t)的选取有一定的任意性，故用以上方法得到的解将随 w(x,t)的不同而不同。但可证明对定解问题(6-3-10)(6-3
8、-13)的解是唯一的；,(2)这里涉及的实际上是第一类边值问题。对第二类、第三类边值问题也可齐次化。,说明：,例 长为 l、侧面绝热的均匀细杆的导热问题，它的 x=0端保持恒温 0，另一端 x=l 有面积热流量为 q0 的定常 热流进入。设杆的初始温度分布也是0，求杆上的温度变化。,解：它的定解问题是,(2),(1),(3),按照解的叠加原理，我们设法将这个 u(x,t)的定解问题分解为 v 的定解问题与 w(x,t)的定解问题之和，即,并使得 v 满足与 u(x,t)相同的方程和边界条件。于是，函 数 w(x,t)也满足与 u(x,t)相同的方程，而所满足的边界条件就是齐次的了。为使 v 的
9、形式尽可能地简单，取它为 x 的线性函数(这必定满足原来的方程)v=Ax+B，其中常数 A,B 由边界条件 和 定出，即,所以,(4),那么 w(x,t)=u(x,t)v 的定解问题则是,既然 v 的定解问题是,因而,用分离变量法直接求解，得到,但是，现在如取 v 为 x 的线性函数，则是无法满足边界条件(2)的。考虑到本问题的直接扰动源 u|x=l=A sin t，而且这是频率为 的振动，我们试取,例 求解长为 l 的均匀杆的纵振动问题,解：为将边界条件齐次化，设,(2),(1),(3),适当地选取函数 A(x)使 v(x,t)满足方程(1)和边界条件(2)：,于是得到 A(x)的定解问题,解之得到,于是，w(x,t)的定解问题是,只要w 不是本征振动频率，用分离变量法容易求得此定解问题的解。,(4),所以,(4)式和(5)式之和即是原定解问题的解。在物理上，(4)式表示由外力引起的稳恒振动。由于这个外力是在 t=0 时开始，在端点 x=l 突然加上去的而不是“绝热地”(即“准静态地”)加上去的，所以不可避免在同时激发起由(5)式描述的振动。后者的特点是，它包括一切本征频率(而非外力频率)的振动，在实际有阻尼的情况下将随时间衰减，故常称为瞬态过程。,(5),
