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1、1,（三）偏微分方程的数值离散方法,3.1 有限差分法 3.2 有限体积法(有限元，谱方法，谱元，无网格，有限解析，边界元，特征线）,1（三）偏微分方程的数值离散方法3.1 有限差分法,2,3.1 有限差分法,3.1.1 模型方程的差分逼近3.1.2 差分格式的构造3.1.3 差分方程的修正方程3.1.4 差分方法的理论基础3.1.5 守恒型差分格式3.1.6 偏微分方程的全离散方法,23.1 有限差分法3.1.1 模型方程的差分逼近,3,3.1.1 模型方程的差分逼近,33.1.1 模型方程的差分逼近,4,3.1.2 差分格式的构造,43.1.2 差分格式的构造,5,3.1.3 差分方程的修
2、正方程,差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式：,53.1.3 差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程,6,3.1.3 差分方程的修正方程(续),63.1.3 差分方程的修正方程(续),7,3.1.3 差分方程的修正方程(续),73.1.3 差分方程的修正方程(续),8,3.1.4 差分方法的理论基础,相容性，稳定性，收敛性等价性定理Fourier稳定性分析,83.1.4 差分方法的理论基础相容性，稳定性，收敛性,9,3.1.4 差分方法的理论基础（续
3、）,Fourier(Von Neumann)稳定性分析,93.1.4 差分方法的理论基础（续）Fourier(Vo,10,3.1.4 差分方法的理论基础（续）,Fourier(Von Neumann)稳定性分（续）称为CFL条件(Courant,Friedrichs,Levy),103.1.4 差分方法的理论基础（续）Fourier(V,11,3.1.5 守恒型差分格式,流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义,113.1.5 守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒,12,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。,12
4、3.1.5 守恒型差分格式（续）守恒性质：,13,3.1.5 守恒型差分格式（续）,守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理：如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满足间断关系。用途:(加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式,133.1.5 守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的Lax-,14,3.1.6 偏微分方程的全离散方法,对差分格式的
5、一般要求：有精度、格式稳定、求解效率高特殊要求物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等)主要指非定常方程的时间离散,143.1.6 偏微分方程的全离散方法对差分格式的一般要求：,15,3.1.6偏微分方程的全离散方法(续）,两层格式Crank-Nicolson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式Runge-Kutta方法时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法多层格式Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式,1
6、53.1.6偏微分方程的全离散方法(续）两层格式,16,3.1.6.1 两层格式,Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式Lax-Wendroff 格式Mac Cormack格式Runge-Kutta方法,163.1.6.1 两层格式Crank-Nicolson格式,17,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式一步LW格式,173.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendr,18,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Lax-Wendroff 格式两步LW格式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不
7、涉及矩阵相乘。,183.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendr,19,3.1.6.1 两层格式(cont.）,Mac Cormack 格式(1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。,193.1.6.1 两层格式(cont.）Mac Corma,20,Mac Cormack格式的构造,20Mac Cormack格式的构造,21,3.1.6.2 三层格式,Leap-Frog格式Adams-Bashforth格式,213.1.6.2 三层格式Leap-Frog格式,22,第二课后阅读提示,傅德薰计算流体力学，
8、3.1 3.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.6,22第二课后阅读提示傅德薰计算流体力学，3.1 3.,23,作业2,1.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。,23作业21.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Cr,24,3.2有限体积法,出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标）以控制体为离散量计算体积分和面积分需要适
9、当的插值公式和积分公式(quadrature formula)适用于任意形状的网格，复杂几何形状缺点：难以构造大于二阶以上的格式,243.2有限体积法出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐,25,3.2.1 定常守恒型方程和控制体,253.2.1 定常守恒型方程和控制体,26,3.2.2 面积分的逼近,面积分用积分点的值表示(quadrature)积分点的值用CV的值表示(interpolation)对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度,263.2.2 面积分的逼近面积分用积分点的值表示(quad,27,3.2.4 体积分的逼近,当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼
10、近精度取决于型函数的精度。,273.2.4 体积分的逼近当被积函数为某种型函数时，可以得,28,3.2.4 体积分的逼近,四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分,283.2.4 体积分的逼近四阶精度：2D,29,3.2.5 插值和微分,积分点的函数值和其法向梯度1st UDS:取上风点的值,293.2.5 插值和微分积分点的函数值和其法向梯度,30,插值,2nd order:向积分点线性插值等价于中心差分(CDS),30插值2nd order:向积分点线性插值,31,插值,当积分点的函数是线性插值时Second order,31插值当积分点的函数是线性插值时,32,插值
11、,QUICK(quadratic upwind interpolation for convective kinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。,32插值QUICK(quadratic upwind in,33,插值,高精度：N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。界面上导数可以用插值公式的微分求出。,33插值高精度：,34,3.2.5有限体积法的边界条件,用边界条件替代面积分入口：通常给定对流通量(mass,momentum,energy,etc.)壁面和对称面：通量为零边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数,343.2.5有限体积
12、法的边界条件用边界条件替代面积分,35,FV例子,35FV例子,36,3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式,363.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式,37,37,38,3.2.6.1 Godunov方法的思想,383.2.6.1 Godunov方法的思想,39,一阶迎风格式(CIR格式),39一阶迎风格式(CIR格式),40,用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式,40用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式,41,41,42,Riemann解图示,42Riemann解图示,43,43,44,3.2.6.1 1D Euler方程
13、组的Godunov格式,Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另外考虑间断线上的间断关系,443.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov,45,移动网格上的积分回路,45移动网格上的积分回路,46,移动网格上的Godunov格式,46移动网格上的Godunov格式,47,固定网格上的Godunov格式,47固定网格上的Godunov格式,48,Lagrange网格上的Godunov格式,48Lagrange网格上的Godunov格式,49,Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解,49Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种,50,50,51,二维Euler方程组的Riemann问题,51二维Euler方程组的Riemann问题,52,52,53,仅是局部化的1D RP,53仅是局部化的1D RP,54,第3课后阅读提示,傅德薰计算流体力学，6.3水鸿寿一维流体力学数值方法Godnov格式一节 Computational Methods for Fluid Dynamics,Ferziger and Peric,Springer Chap.4,54第3课后阅读提示傅德薰计算流体力学，6.3,55,作业3,傅书习题3-13.傅书习题3-12.,55作业3傅书习题3-13.,
