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1、,二次函数的图像 及性质,复习回顾二次函数的定义,定义：一般地，形如y=ax+bx+c(a,b,c是常数,a 0)的函数叫做二次函数。其中x是自变量，a为二次项系数，ax2叫做二次项，b为一次项系数，bx叫做一次项，c为常数项。,注意：,二次函数的一般形式:,yax2bxc(其中a、b、c是常数,a0)二次函数的特殊形式：当b0时，yax2c当c0时，yax2bx当b0，c0时，yax2,知识回顾讲授新课,1、一次函数的图像有何特征？,一次函数的图像是一条。当 时，y随x的增大而增大；当 时，y随x的增大而减小。,2、反比例函数的图像有何特征？,反比例函数的图像是，共有 支，且关于 对称。当
2、时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而减小；当 时，图像在 象限，在每个象限内y随x的增大而。,直线,双曲线,两,原点,增大,一、三,二、四,k0,k0,k0,k0,3、画函数图像的基本步骤是：、。,列表,描点,连线,知识回顾,二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,画形如y=ax2的函数图像：,1、画函
3、数y=x2的图像；,观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表：,0,0,描点,连线,y=x2,二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线,二次函数 y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y=x2，,二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（1）形状是开口向上的抛物线,（2）图象关于y轴对称,（3）有最低点，没有最高点,y轴是抛物线y=x 2 的对称轴，抛物线y=x 2
4、与它的对称轴的交点（0,0）叫做抛物线y=x2 的顶点，它是抛物线y=x 2 的最低点,实际上，每条抛物线都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点是抛物线的最低点或最高点,思考：这个二次函数图象有什么特征？,（1）形状是开口向上的抛物线,（2）图象关于y轴对称,（3）有最低点，没有最高点,例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象,解：分别填表，再画出它们的图象，如图,函数 的图象与函数 y=x2 的图象相比，有什么共同点和不同点？,相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴,不同点：a 要越大，抛物线的开口越小,你画出的图象与图中相同吗？,8,4.5,2
5、,0.5,0,8,4.5,2,0.5,8,4.5,2,0.5,0,8,4.5,2,0.5,对比抛物线，y=x2和y=x2.它们关于x轴对称吗？一般地，抛物线y=ax2和y=ax2呢？,一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是_，顶点是_当a0时，抛物线的开口_，顶点是抛物线的最_点，a越大，抛物线的开口越_；当a0时，抛物线的开口_,顶点是抛物线的最_点，a越大，抛物线的开口越_,向下,高,大,练习：函数 的图象是，顶点坐标是，对称轴是，开口方向是.,y轴,原点,向上,低,小,3、试说出函数yax2（a是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表,向上,向下,y轴,y轴,(0，0
6、),(0，0),|a|越大开口越小，|a|越小开口越大。,反馈测试,抛物线y=4x2中的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是.抛物线 y=-,x2 的开口方向是，顶点坐标是，对称轴是.3.二次函数y=ax2与y=2x2，开口大小，形状一样，开口方向相反，则a=.,二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,4、二次函数y2x21的图象与二次函数y2x2的图象开口方向、对称轴和顶点坐标是否相同?它们有什么关系？我们应该采取什么方法来研究这个问题？,画出函数y2x2和函数y 2x2+
7、1的图象，并加以比较,（1）二次函数 y=2x1 的图象与二次函数 y=2x 的图象有什么关系？,（0，1）,（0，1）,问题1：当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系?反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系?,2、函数y2x21的图象可以看成是将函数y2x2的图象向上平移一个单位得到的。,1、函数y2x21与y2x2的图象开口方向、对称轴相同，但顶点坐标不同，函数y 2x2的图象的顶点坐标是(0，0)，而函数y2x21的图象的顶点坐标是(0，1)。,函数y2x21和y2x2的图象有什么联系?,你能由函数y2x2的性质，得到函数y2x21的一些性质吗?完成填空：当x
8、_时，函数值y随x的增大而减小；当x_时，函数值y随x的增大而增大，当x_时，函数取得最_值，最_值y_ 以上就是函数y2x21的性质。,0,0,=0,小,小,1,y,在同一直角坐标系中画出函数的图像,a0,（0，2）,（0，-2）,试说出函数yax2k（a、k是常数，a0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并填写下表,向上,向下,y轴,y轴,(0，k),(0，k),|a|越大开口越小，反之开口越大。,练习1.把抛物线 向下平移2个单位，可以得到抛物线，再向上平移3个单位，可以得到抛物线；2.对于函数y=x2+1，当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x
9、时，函数取得最 值,为。,0,0,=0,大,1,3.函数y=3x2+5与y=3x2的图象的不同之处是()A.对称轴 B.开口方向 C.顶点 D.形状4.已知抛物线y=2x21上有两点(x1，y1),(x2，y2)且x1x20，则y1 y2(填“”或“”)5.已知抛物线，把它向下平移，得到的抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，若ABC是直角三角形，那么原抛物线应向下平移几个单位？,C,二次函数y=ax2+k的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开口越小,关于y轴对称,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,k0,k0,k0,k
10、0,(0,k),二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,探究,解:列表,画出二次函数、的图像,并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点.,-2,0,-0.5,-2,-0.5,-8,-4.5,-8,-2,-0.5,0,-4.5,-2,-0.5,x=1,讨论,抛物线 与 的开口方向、对称轴、顶点?,抛物线 与 抛物线 有什么关系?,讨论,向左平移1个单位,归纳,向右平移1个单位,练习,在同一坐标系中作出下列二次函数:,观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点
11、.,顶点(0,0),顶点(2,0),直线x=2,直线x=2,向右平移2个单位,向左平移2个单位,顶点(2,0),对称轴:y轴即直线:x=0,练习,在同一坐标系中作出下列二次函数:,观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对称轴及顶点.,向右平移2个单位,向右平移2个单位,向左平移2个单位,向左平移2个单位,一般地,抛物线y=a(xh)2有如下特点:,(1)对称轴是x=h;,(2)顶点是(h,0).,（3）抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.,h0，向右平移;h0，向左平移,归纳,二次函数y=a（x-）2的性质,开口向上,开口向下,a的绝对值越大，开
12、口越小,直线,顶点是最低点,顶点是最高点,在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增,在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减,h0,h0,h0,h0,(,0),练习,y=-2（x+3）2,1、说出抛物线的开口方向、对称轴、顶点，最大值或最小值各是什么及增减性如何？,y=2（x-3）2,y=-2（x-2）2,y=3（x+1）2,2、若将抛物线y=-2（x-2）2的图象的顶点移到原点，则下列平移方法正确的是（）A、向上平移2个单位B、向下平移2个单位C、向左平移2个单位D、向右平移2个单位,C,3、抛物线y=4（x-3）2的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，抛物线是最 点，当x=时，y有最 值，其值为。抛物线与x轴
13、交点坐标，与y轴交点坐标。,向上,直线x=3,（3，0）,低,3,小,0,（3，0）,（0，36）,小结,3.抛物线y=ax2+k有如下特点:,当a0时,开口向上;,当a0时,开口向上.,(2)对称轴是y轴;,(3)顶点是(0,k).,抛物线y=a(xh)2有如下特点:,(1)当a0时,开口向上,当a0时,开口向上;,(2)对称轴是x=h;,(3)顶点是(h,0).,2.抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或向下平移|k|得到.,抛物线y=a(xh)2可以由抛物线y=ax2向左或向右平移|h|得到.,(k0,向上平移;k0向下平移.),(h0,向右平移;h0向左平移.),1.抛物线y
14、=ax2+k、抛物线y=a(xh)2和抛物线y=ax2的形状完全相同,开口方向一致;,(1)当a0时,开口向上,当a0时,开口向下;,如何平移：,二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,在同一坐标系中作出二次函数y=3x2和y=3(x-1)2的图象观察图象,回答问题,(1)函数y=3(x-1)2的图象与y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(2)x取哪些值时,函数y=3(x-1)2的值随x值的增大而增大?x取哪些值时,函数y=3(
15、x-1)2的值随x的增大而减少？,在同一坐标系中,作出二次函数y=3x,y=3(x-1)2和y=3(x-1)2+2的图象.,根据图象回答问题：三个图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,对称轴仍是平行于y轴的直线x=1;增减性与y=3x2类似.,顶点是(1,2).,二次函数y=3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上平移2个单位后得到的.,开口向上,当X=1时有最小值:且最小值=2.,先猜一猜,再做一做,在同一坐标系中作二次函数y=3(x-1)2-2,会是什么样?,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性
16、与y=3x2类似.,顶点是(1,-2),二次函数y=3(x-1)2-2的图象可以看作是抛物线y=3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向下平移2个单位后得到的.,二次函数y=3(x-1)2-2的图象与抛物线y=3x2和y=3(x-1)2有何关系?它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向上,当x=1时y有最小值:且最小值=-2.,二次函数y=-3(x-1)2+2和y=-3(x-1)2,y=-3x的图象有什么关系?它们的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?再作图看一看,X=1,在同一坐标系中，作出二次函数y=-3(x-1)2+2,y=-3(x-1)2-2,y=-3x和y=-3
17、(x-1)2的图象。,根据图像回答问题,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=1);增减性与y=-3x2类似.,顶点分别是(1,2)和(1,-2).,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2+2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向右平移1个单位,再沿直线x=1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,二次函数y=-3(x-1)2+2与y=-3(x-1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x-1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下,当x=1时y有最大值;且最大值=2(或最大值=-2).,想一想,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1
18、)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2,y,X=1,对称轴仍是平行于y轴的直线(x=-1);增减性与y=-3x2类似.,顶点分别是(-1,2)和(-1,-2).,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象可以看作是抛物线y=-3x2先沿着x轴向左平移1个单位,再沿直线x=-1向上(或向下)平移2个单位后得到的.,二次函数y=-3(x+1)2+2与y=-3(x+1)2-2的图象和抛物线y=-3x,y=-3(x+1)2有什么关系?它的开口方向,对称轴和顶点坐标分别是什么?,开口向下,当x=-1时y有最大值:且最大值=2(或最大值=-2).,先想一想,再总结二次
19、函数y=a(x-h)2+k的图象和性质.,x=1,一般地,由y=ax的图象便可得到二次函数y=a(x-h)+k的图象:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时,向上平移;当k0时,向下平移)得到的.因此,二次函数y=a(x-h)+k的图象是一条抛物线,它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a,h,k的值有关.,归纳,用平移观点看函数：,抛物线 与抛物线 形状相同,位置不同.,二次函数 特点：,归纳,1.图象是一条抛物线，对称轴为直线 x=h，顶点为(h，k)。,2.当a0时，开口向上；当x=h时，y取最小值为k;在对称
20、轴的左侧，y随x的增大而减小,在对称轴的右侧，y随x的增大而增大.,3.当a0时，开口向下；当x=h时，y取最大值为k;在对称轴的左侧，y随x的增大而增大,在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.,二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-h)2+k(a0),（h，k）,（h，k）,直线x=h,直线x=h,由h和k的符号确定,由h和k的符号确定,向上,向下,当x=h时,最小值为k.,当x=h时,最大值为k.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小
21、.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,1.指出下列函数图象的开口方向对称轴和顶点坐标及最值:,对于二次函数y=3(x+1)2,当x取哪些值时,y的值随x值的增大而增大?当x取哪些值时,y的值随x值的增大而减小?二次函数y=3(x+1)2+4呢?,2.(1)二次函数y=3(x+1)2的图象与二次函数y=3x2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?,(2)二次函数 y=-3(x-2)2+4 的图象与二次函数 y=-3x2的图象有什么关系?,2.不同点:只是位置不同(1)顶
22、点不同:分别是(h,k)和(0,0).(2)对称轴不同:分别是直线x=h和y轴.(3)最值不同:分别是k和0.3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.,1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小.,二次函数y=a(x
23、-h)+k与y=ax的关系,1.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标.必要时作出草图进行验证.,2.填写下表:,二次函数的图像和性质,y=ax2的函数图像y=ax2+k 的函数图像y=a(x-h)2的函数图像y=a(x-h)2+k 的函数图像y=ax2+bx+c 的函数图像,探究:,如何画出 的图象呢?,我们知道,像y=a(x-h)2+k这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二次函数 也能化成这样的形式吗?,配方,y=(x-6)+3,2,1,2,你知道是怎样配方的吗？,(1)“提”：提出二次项系数；,(2)“配”：括号内配成完全平方；,（3）“化”：化成顶点式。,求次函数y
24、=ax+bx+c的对称轴和顶点坐标,函数y=ax+bx+c的顶点是,配方:,提取二次项系数,配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方,整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项,化简:去掉中括号,这个结果通常称为求顶点坐标公式.,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？,1.说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：,函数y=ax+bx+c的对称轴、顶点坐标是什么？,y=2x2-5x+3,y=(x-3)(x+2),y=x2+4x-9,求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴,请画出草图:,小试牛刀,3,9,6,-1,例2、已知函数y=ax2+bx+c的图象如下图所示，x=为该图象的对称
25、轴，根 据图象信息你能得到关于系数a，b，c的一些什么结论？,y,1,.,.,x,1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a0)的顶点都在（）A.直线y=x上 B.直线y=-x上 C.x轴上 D.y轴上3.若二次函数y=ax2+4x+a-1的最小值是2,则a的值是（）A 4 B.-1 C.3 D.4或-1,C,B,A,4.若二次函数 y=ax2+b x+c 的图象如下,与x轴的一个交点为(1,0),则下列各式中不成立的是（）A.b2-4ac0 B.0,5.若把抛物线y=x2-2x+1
26、向右平移2个单位,再向下平移3个单位,得抛物线y=x2+bx+c,则（）A.b=2 c=6 B.b=-6,c=6 C.b=-8 c=6 D.b=-8,c=18,B,B,6.若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象是(),7.在同一直角坐标系中,二次函数 y=ax2+bx+c 与一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）,C,C,二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象和性质,.顶点坐标与对称轴,.位置与开口方向,.增减性与最值,抛物线,顶点坐标,对称轴,位置,开口方向,增减性,最值,y=ax2+bx+c(a0),y=ax2+bx+c(a
27、0),由a,b和c的符号确定,由a,b和c的符号确定,向上,向下,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.,根据图形填表：,（五）、学习回顾：,填写表格：,1.相同点:(1)形状相同(图像都是抛物线,开口方向相同).(2)都是轴对称图形.(3)都有最(大或小)值.(4)a0时,开口向上,在对称轴左侧,y都随x的增大而减小,在对称轴右侧,y都随 x的增大而增大.a0时,开口向下,在对称轴左侧,y都随x的增大而增大,在对称轴右侧,y都随 x的增大而减小.,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与y=ax的关系,2.不同点:(1)位置不同(2)顶点不同:分别是 和(0,0).(3)对称轴不同:分别是 和y轴.(4)最值不同:分别是 和0.3.联系:y=a(x-h)+k(a0)的图象可以看成y=ax的图象先沿x轴整体左(右)平移|个单位(当 0时,向右平移;当 0时向上平移;当 0时,向下平移)得到的.,回味无穷,二次函数y=ax2+bx+c(a0)与=ax的关系,
