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1、等腰三角形中的分类讨论(共22张PPT）,专题攻略,如果ABC是等腰三角形，那么存在AB=AC，BA=BC，CA=CB三种情况 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分钱。解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快。几何法一般分三步：分类、画图、计算。代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验。,例题解析,例1 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为（3，4），点P是X轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，求点P的坐标。,【解析】,分三种情况讨论等腰三角形DOP：DO=DP，OD=
2、OP，PO=PD。当DO=DP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与X轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为（6，0）（如图1-2）,当OD=OP=5JF，以O为圆心、OD为半径画圆，与X轴的正半轴交于点P（5，0）（如图1-3）当PO=PD时，画OD的垂直平分线与X轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）在RtOPE中，cosDOE=OE OP=3 5，OE=5 2，所以OP=25 6，此时点P的坐标为（25 6，0）,上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中和画好图就知道答案了，只需要对进行计算。代数法先设点P的坐标为（X，0）
3、，其中X0，然后罗列DOP的三边长（的平方）。DO2=52，OP2=X2，PD2=(X-3)2+42 当DO=DP时，52=(X-3)2+42，解得X=6，或X=0。当X=0时既不符合点P在X轴的正半轴上，也不存在DOP。,当OD=OP时，52=X2，解得X=5，当X=-5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在X轴的正半轴上（如图1-5）当PO=PD时，X2=(X-3)2+42，这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意见是两条直线（X轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点。代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验。,例2 如图2-1，在矩形ABCD中，AB=6，
4、BC=8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时由停止运动，在P、Q两点移动的过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值。,【解析】,在P、Q两点移动的过程中，PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是PCQ的大小，夹PCQ的两条边CQ=t，CP=10-2t，因此PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个C就可以了，在C的边上取点P或Q画圆。,如图2-2，当CP=CQ时，t=10-2t，解得t=10 3（秒）如图2-2，当QP=QC时，过点Q作QMAC于M，则CM=1 2
5、PC=5-t 在RtQMC中，cosQCM=4 5=CM CQ=5t t，解得t=25 9（秒）如图2-4，当PQ=PC时，过点P作PNBC于N，则CN 在RtPNC中，cosPCN=4 5=CN CP=1 2 t 102t，解得t=80 21（秒）,这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的PCQ，使得画图简洁，计算简练。,例3 如图3-1，直线y=2x+2与X轴交于点A，与y轴交于点B，点P是X轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标。,【解析】,我们先用代数法解这道题 由y=2x+2得，A（-1，0），B（0，2），
6、所以OA=1，OB=2。如图3-2，由于QPA=ABO，所以OP:OQ=OB:OA=2:1 设点Q的坐标为（0，m），那么点P的坐标为（2m，0）因此AP2=（2m+1）2,AQ2=m2+1,PQ2=m2+(2m)2=5m2,当AP=AQ时，解方程（2m+1）2=m2+1，得m=0或m=-4 3，所以符合条件的点P不存在。当PA=PQ时，解方程（2m+1）2=5m2，得m=2 5，所以P（4+2 5，0）当QA=QP时，解方程m2+1=5m2，得m=1 2，所以P（1，0）,我们再用几何法验证代数法，并进行比较，如图3-3，在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知QPO的大
7、小是不变的，因此PQA也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个P，点P在点A的右侧，暂时不画y轴（如图3-4）如果AP=AQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得到点Q（如图3-5），因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出现了，点A（-1，0）怎么可以在y轴的右侧呢？,当PA=PQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，得到点Q，再过点Q画y轴，此时由2m+1=5 m，解得m=2+5，所以P（4+2 5，0）（如图3-6）请问代数法解得的点P（4-2 5，0）在哪里？看看图3-7就明白了。当QA=QP时，点Q在AP的垂直平分线上，由于A（-1，0），所以P（1，0）（如图3-8）,我们可以体验到，几何法可以快速
8、找到目标，而且计算比较简便。,例4 如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点，P（0，m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D，当APD是等腰三角形时，求m的值。,【解析】,点P（0，m）在运动的过程中，APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解。因为PCDB，M是BC的中点，所以BD=CP=2-m，所以D（2，4-m）于是我们可以罗列出APD的三边长（的平方）：AD2=(4-m)2，AP2=m2+4,PD2=22+(4-2m)2,当AP=AD时，（4-m）2=m2+4，解得m=3
9、2(如图4-2)当PA=PD时，m2+4=22+(4-2m)2解得m=4 3(如图4-3)或m=4（不合题意，舍去）当DA=DP时，(4-m)2=22+(4-2m)2解得m=2 3(如图4-4)或m=2（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为 3 2，4 3 或 2 3,其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：如图4-2，当AP=AD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA。所以 PC CM=MB BA=1 2 因此PC=1 2，m=3 2 如图4-3，当PA=PD时，P在AD的垂直平分线上。所以DA=2PO，因此4-m=2m，解得m=4 3,例5 如图5-1，已知
10、ABC中，AB=AC=6，BC=8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADE=B，设BD的长为X，如果ADE为等腰三角形，求X的值。,【解析】,在ADE中，ADE=B大小确定，但是夹ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了。本题的已知条件ADE=B=C非常典型，由于ADC=ADE+1，ADC=B+2，ADE=B，所以1=2，于是得到典型结论DCEABD,如图5-2，当DA=DE时，DCEABD，因此DC=AB，8-X=6，解得X=2 如图5-3，如果AD=AE，那么AED=ADE=C，由于AED是DCE的一个外角，所以AEDC，如果ADE=C，那么E与C重合，此时D与B重合，X=0 如图5-4，当EA=ED时，DAE=ADE=B=C，所以DACABC 因此 8x 6=6 8，解得x=7 2,
