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第五节 无穷小量的比较,无穷小量的阶：高阶、低阶、同阶(等价)、k阶无穷小利用等价无穷小量计算极限,都是无穷小,但,引例：当,无穷小量的阶,时，,用“比”来比较它们趋于零的速度快慢,它们趋于零的速度不同：,设,(1)若,(2)若,记作,则称 是比 高阶的无穷小,或 是比 低阶的无穷小,则称 与 是同阶无穷小;,记作,则称 与 是等价无穷小,则称 是关于 的 k 阶无穷小;,(2)若,(3)若,定义,与x等价无穷小,故当,时,是关于x的二阶无穷小,且,例如 当,时,例1.证明:当,时,证:,定理,注意:相乘、相除可以替换，相加、相减不可替换,利用等价无穷小量计算极限,若,若,且,存在,定理,常用的等价无穷小,例2.求,解:,例如,例3,解,例4,解,例5,解,例6.求,解:,例7.求,解:,原式=,例8.求,解:,原式,不能滥用等价无穷小代换.,切记，只可对函数的因子作等价无穷小代换，对于函数中进行加减运算的无穷小不能分别代换.,注意,例9.求,解:,原式,END内容小结,1、无穷小阶的比较,反映了同一过程中,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.,2、利用等价无穷小计算极限,(注意适用条件),高(低)阶无穷小;等价无穷小;无穷小的阶.,常用的等价无穷小：,例.,当,时,比较无穷小,与,的阶.,解:,因,
