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1、胡光启,2.,椭圆离心率的取值范围？离心率变,化对椭圆的扁平程度有什么影响？,e,(0，,1).,e,越接近于,0,，椭圆越圆；,e,越接近于,1,，椭圆越扁,.,知识回顾：,1.,离心率的定义：,c,e,a,?,3.,双曲线离心率的取值范围？离心率,的变化对双曲线的扁平程度有什么影响？,e,(1，,+).,?,e,越大，双曲线开口越开阔；,e,越接近于,1,，双曲线开口越窄,.,4.,焦半径：,PF,ed,?,知识回顾：,1,、根据条件先求出,a,，,c,，利用,e=,c,a,求解,例,1.,已知椭圆经过原点，且焦点为,F,1,(1,，,0),，,F,2,(3,，,0),，求椭圆离,心率的值
2、。,题型一,:,求离心率的值：,解析：由,F,1,、,F,2,的坐标知,2c=3,1,，,c=1,，又椭圆过原点，,a,c=1,，,a+c=3,，,a=2,，,c=1,所以离心率,e=,c,a,=,1,2,.,故选,C,.,例,2,：,在平面直角坐标系中，椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的,焦距为,2,c,，以,O,为圆心，,a,为半径的圆，过点,(,a,2,c,，,0),作,圆,的,两,切,线,互,相,垂,直,，,则,离,心,率,e,=,P,B,A,O,y,x,2.,利用已知条件建立,a,c,的等量关系,),0,0,(,1,2,2,2,2,?,?,?,?,b,a,b
3、,y,a,x,例,3,：,已知,F1,，,F2,分别是双曲线,的左、右焦点，过,F1,且垂直于,x,轴的直线与,双曲线交于,A,，,B,两点，若,ABF2,是直角三角,形，求该双曲线离心率的值。,2.,利用已知条件建立,a,c,的等量关系：,2,1,1,2,2,2,2,2,2,2,2,1,2,1,2,b,AF,F,F,c,a,b,ac,c,a,ac,e,e,e,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,解：由,有,即：,例,4.,设,M,点是椭圆,上一,点，,F,1,、,F,2,为椭圆的左右焦点，如果,F,1,MF,2,=90,0,，求此椭圆的离心率的取值范,围。,X,Y,O,M,F,1
4、,F,2,问题的关键是寻,找,a,、,c,的不等关,系,2,2,2,2,1(,0,0),x,y,a,b,a,b,?,?,?,?,题型二,:,求离心率的取值范围：,思路,1,：巧用图形的几何特性,1,2,90,F,PF,?,?,?,1,2,|,|,2,F,F,c,?,2,2,2,2,c,b,c,b,a,c,?,?,?,?,?,由此可得,，,）,e,?,2,2,1,由,，,知点,P,在以,为直径的圆上。又点,P,在椭圆上，因此,该圆与椭圆有公共点,P,故有,问题二：,椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a,b,0),的右焦点,F,，其右准线与,x,轴的交点为,A,，在椭圆上存在点,P,满足
5、线段,AP,的垂,直平分线过点,F,，则椭圆离心,率的取值范围是,x,O,A,F,P,y,分析：,由题意，椭圆上存在点,P,，使得线段,AP,的,垂直平分线过点,F,，即,F,点到,P,点与,A,点的,距离相等，即,PF,FA,如果我们从几何的角度考虑，易知,PF,不超过,a,c,，得到一个关于基本量,a,，,b,，,c,，,e,的不等式，从而求出离心率,e,的范围；,解法一：,椭圆上存在点,P,，使得线段,AP,的垂直平,分线过点,F,，即,PF,FA,而,FA,a,2,c,c,，,PF,a,c,，,所以,a,2,c,c,a,c,又,e,=,c,a,，,所以,2,e,2,e,1,0,，解得,
6、1,2,e,1,如果我们通过设椭圆上的点,P,(,x,，,y,),，注意到,椭圆本身的范围，也可以求出离心率,e,的范围,解法二：,设点,P,(,x,，,y,),由题意，椭圆上存在点,P,，使得线段,AP,的垂直平分线过点,F,，所以,PF,FA,由,PF,a,2,c,x,e,，所以,PF,a,ex,而,FA,a,2,c,c,，,所以,a,ex,a,2,c,c,，解出,x,1,e,(,a,c,a,2,c,),由于,a,x,a,，所以,a,1,e,(,a,c,a,2,c,),a,，,所以,2,e,2,e,1,0,，解得,1,2,e,1,问题三：,已知椭圆,x,2,a,2,y,2,b,2,1(,a
7、,b,0),的焦点分别为,F,1,，,F,2,，若该椭圆上存在一点,P,，使得,F,1,PF,2,6,0,，,则椭圆离心率的取值范围是,B,2,B,1,F,1,y,x,O,F,2,P,分析：,如果我们考虑几何的大小，我们发现当,M,为椭,圆的短轴的顶点,B,1,（或,B,2,）时,F,1,PF,2,最大（需要,证明），从而有,0,F,1,PF,2,F,1,B,1,F,2,根据条,件可得,F,1,B,1,F,2,6,0,，易得,c,a,1,2,故,1,2,e,1,证明，在,F,1,PF,2,中，由余弦定理得，,2,2,2,1,2,1,2,1,2,1,2,cos,2,PF,PF,F,F,F,PF,
8、PF,PF,?,?,?,?,?,?,?,?,2,2,1,2,1,2,2,1,2,1,2,1,2,PF,PF,F,F,PF,PF,?,?,?,?,2,2,2,2,a,c,a,?,?,当且仅当,PF,1,PF,2,时，等号成立，即当,M,与椭圆,的短轴的顶点,B,1,（或,B,2,）时,F,1,MF,2,最大,如果通过设椭圆上的点,P,(,x,，,y,),，利用椭圆本,身的范围，也可以求出离心率,e,的范围在本题,中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点,P,的,坐标不易表示）因此，在解题过程中要注意方法,的选择,2,1,2,a,PF,PF,?,?,|,|,|,|,2,2,2,1,2,1,2,2,
9、2,2,2,1,2,1,2,4,|,|,|,|,2,|,|,|,|,2(|,|,|,|,),2,|,|,8,a,PF,PF,PF,PF,PF,PF,F,F,c,?,?,?,?,?,?,?,?,得,c,a,2,2,1,2,?,所以有,，,）,e,?,2,2,1,思路,2,：利用基本不等式,两边平方后得：,由椭圆的定义有：,2,2,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,2,2,4,2,2,0,PF,a,ex,PF,a,ex,PF,PF,F,F,a,cx,e,x,a,cx,e,x,c,c,a,a,e,x
10、,c,x,P,x,y,e,x,a,x,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，,又由,，,所以有,即,，,又点（,，,）在椭圆上，,且,，则知,，即,2,2,2,2,2,2,0,1,2,c,a,a,e,e,?,?,?,?,得,，,）,思路,3,：利用焦半径,由焦半径公式得,关键：建立离心率与变量,X,的等量关系,?,?,?,?,PF,F,PF,F,1,2,2,1,?,?,，,，由正弦定理有,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,|,|,|,|,|,|,|,|,sin,sin,sin,90,|,|,|,|,2,|,|,2,1,1,2,sin,cos
11、,2,2,sin(,),4,PF,PF,F,F,F,F,PF,PF,a,F,F,c,c,e,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,又,，,，则有,2,1,2,e,?,?,从而可得,思路,4,：利用三角函数有界性,设,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,|,PF,PF,a,PF,PF,PF,PF,a,1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,4,?,?,?,?,?,?,2,2,2,2,1,2,1,2,1,2,2,2,1,2,1,2,2,2,2,90,|,|,|,|,|,|,4,|,|,|,2(,),|,|,|,|,2,2(,),0,F,PF,PF,
12、PF,F,F,c,PF,PF,a,c,PF,PF,u,au,a,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,又由,，知,则可得,这样，,与,是,方程,的两个实根，因此,2,2,2,2,2,2,1,2,4,8(,),0,2,2,c,a,a,c,e,e,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,因此,，,e,?,),2,2,1,思路,5,：利用二次方程有实根,由椭圆定义知,F,c,F,c,1,2,0,0,（,，,），,（,，,）,?,1,2,1,2,1,2,1,2,2,2,2,2,(,),(,),90,0,(,)(,),0,F,P,x,c,y,F,P,x,c,y,F,PF,F,P,F,P
13、,F,P,F,P,x,c,x,c,y,x,y,c,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,，,，,，,由,，,知,，则,，即,得,2,2,2,2,2,2,2,1,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,90,0,0,a,c,a,b,x,F,PF,x,a,a,b,a,c,a,b,a,a,b,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,?,由椭圆范围及,知,即,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,2,c,c,b,c,a,c,c,a,e,a,c,e,e,a,?,?,?,?,?,?,?,?,?,可得,，即,，且,从而得,，,且,所以,，,）,
14、思路,6,：向量法：,设,P,（,x,，,y,），又知,联立方程得：,例,4.,例,3,：设点,P,在双曲线,的右支上，双曲线两焦点,求双曲线离心率的取值范围。,2,2,2,2,1(,0,0),x,y,a,b,a,b,?,?,?,?,1,2,1,2,4,F,F,PF,PF,?,思路,1,：三角形三边不等关系。,思路,2,：利用双曲线焦半径的取值范围建立不等关系。,思路,3,：利用双曲线上点的横坐标的取值范围建立不等关系。,思路,4,：利用解三角形建立不等关系。,5,1,3,e,?,?,例,5,.,总结：,1,圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭,圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心
15、,率的取值范围。,2,一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需,要由条件得到一个关于基本量,a,，,b,，,c,，,e,的一个,方程，就可以从中求出离心率,3,一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率的取值,范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几,何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是,通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆,（或双曲线）本身的范围，列出不等式,4,离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是,一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形,状有关在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，,离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围,e,(0,，,1),；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形,状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的,“,张口,”,逐渐,增大，双曲线离心率的取值范围,e,(1,，,),；在,抛物线中，离心率,e,1,
