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1、第四节 连续型随机变量及其概率密度,连续型随机变量及其概率密度的定义概率密度的性质三种重要的连续型随机变量小结 布置作业,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,则称 X为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度.,一、连续型随机变量及其概率密度的定义,有,连续型随机变量的分布函数在 上连续,二、概率密度的性质,1 o,2 o,利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,对于任意实数
2、x1,x2,(x1 x2),若 f(x)在点 x 处连续,则有,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度.,若 x 是 f(x)的连续点，则,对 f(x)的进一步理解:,若不计高阶无穷小，有,表示随机变量 X 取值于 的概率近似等于.,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,a,(1)连续型r.v取任一指定实数值a 的概率均为0.即,这是因为,请注意:
3、,当 时,得到,(2)对连续型 r.v X,有,由P(B)=1,不能推出B=,由P(A)=0,不能推出,1.均匀分布,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，,X U(a,b),三、三种重要的连续型随机变量,若 r.v X的概率密度为：,记作,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,例2 某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即 7:00，7:15，7:30,7:45 等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间 X 是7:00 到 7:30 之间的均匀随机变量,试求他
4、候车时间少于5 分钟的概率.,解,依题意，X U(0,30),以7:00为起点0，以分为单位,为使候车时间X少于 5 分钟，乘客必须在 7:10 到 7:15 之间，或在7:25 到 7:30 之间到达车站.,所求概率为：,即乘客候车时间少于5 分钟的概率是1/3.,指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.,2.指数分布,若 r.v X具有概率密度,为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布.,若X 服从参数为 的指数分布,则其分布函数为,事实上,当 时,当 时,3.正态分布,若连续型 r.v X 的概率密度为,记作,其中 和(0)都是常数,则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布.,事
5、实上,则有,曲线 关于 轴对称；,x=为 f(x)的两个拐点的横坐标；,当x 时，f(x)0.,f(x)以 x 轴为渐近线,根据对密度函数的分析，也可初步画出正态分布的概率密度曲线图.,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的图形特点,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,标准正态分布,下面我们介绍一种最重要的正态分布,的正态分布称为标准正态分布.,其密度函数和分布函数常用 和 表示：,标准正态分布,的性质:,事实上,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,定理1,证,Z 的
6、分布函数为,则有,根据定理1,只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题.,于是,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表,当 x 0 时,表中给的是 x 0 时,(x)的值.,若,若 XN(0,1),由标准正态分布的查表计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3 准则,将上述结论推广到一般的正态分布,这
7、在统计学上称作“3 准则”.,N(0,1),时，,标准正态分布的上 分位点,设,若数 满足条件,解,P(X h)0.01,或 P(X h)0.99，,下面我们来求满足上式的最小的h.,看一个应用正态分布的例子:,例 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,设车门高度为h cm,按设计要求,因为 XN(170,62),故 P(X h)=,查表得(2.33)=0.99010.99,因而=2.33,即 h=170+13.98 184,设计车门高度为184厘米时，可使男子与车门碰头机会不超过0.01.,所以.,这一节，我们介绍了连续型随机变量及三种重要分布.即均匀分布、指数分布、正态分布.其中正态分布的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道.,后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布.,四、小结,习题二 13,14,16,五、布置作业,
